Revisiting Hyperbolicity of Relativistic Fluids

Motivated by the desire for highly accurate numerical computations of compact binary spacetimes in the era of gravitational wave astronomy, we reexamine hyperbolicity and well-posedness of the initial value problem for popular models of general relativistic fluids. Our analysis relies heavily on the dual-frame formalism, which allows us to work in the Lagrangian frame, where computation is relatively easy, before transforming to the desired Eulerian form. This general strategy allows for the construction of compact expressions for the characteristic variables in a highly economical manner. General relativistic hydrodynamics (GRHD), ideal magnetohydrodynamics (GRMHD) and resistive magnetohydrodynamics (RGRMHD) are considered in turn. In the first case we obtain a simplified form of earlier expressions. In the second we show that the flux-balance law formulation used in typical numerical applications is only weakly hyperbolic and thus does not have a well-posed initial value problem. Newtonian ideal MHD is found to suffer from the same problem when written in flux-balance law form. An alternative formulation, closely related to that of Anile and Pennisi, is instead shown to be strongly hyperbolic. In the final case we find that the standard forms of RGRMHD, relying upon a particular choice of `generalized Ohm's law', are only weakly hyperbolic. The latter problem may be rectified by adjusting the choice of Ohm's law, but we do not do so here. Along the way weak hyperbolicity of the field equations for dust and charged dust is also observed. More sophisticated systems, such as multi-fluid and elastic models are also expected to be amenable to our treatment.Comment: 28 pages, 1 figure, published versio

Solving 3D relativistic hydrodynamical problems with WENO discontinuous Galerkin methods

Discontinuous Galerkin (DG) methods coupled to WENO algorithms allow high order convergence for smooth problems and for the simulation of discontinuities and shocks. In this work, we investigate WENO-DG algorithms in the context of numerical general relativity, in particular for general relativistic hydrodynamics. We implement the standard WENO method at different orders, a compact (simple) WENO scheme, as well as an alternative subcell evolution algorithm. To evaluate the performance of the different numerical schemes, we study non-relativistic, special relativistic, and general relativistic testbeds. We present the first three-dimensional simulations of general relativistic hydrodynamics, albeit for a fixed spacetime background, within the framework of WENO-DG methods. The most important testbed is a single TOV-star in three dimensions, showing that long term stable simulations of single isolated neutron stars can be obtained with WENO-DG methods.Comment: 21 pages, 10 figure

Discontinuous galerkin methods for general relativistic hydrodynamics

Diese Arbeit dokumentiert die Implementierung und Überprüfung einer neuen numerischen Methodik zur allgemeinrelativistischen Simulation von Neutronensternen. Hierbei wurden die GHG-Gleichungen mit Hilfe einer pseudospektralen Penalty-Methode diskretisiert, um die Metrik-Variablen zu evolvieren. Zur Behandlung der hydrodynamischen Variablen wurde sowohl eine diskontinuierliche Galerkin-Methode, als auch ein Finite-Volumen-Verfahren auf krummlinigen Gittern implementiert. Zusätzlich wurden dem Code Techniken zur Schockerkennung und -behandlung hinzugefügt. Diese Bestandteile wurden in umfangreichen Tests validiert. Hierbei wurden numerische Fehler in der Massenerhaltung, in der Einhaltung von physikalischen Zwangsbedingungen und im Vergleich mit analytischen Lösungen betrachtet. Die zugehörigen Konvergenzordnungen aller Methoden wurden untersucht. Dabei wurde eine Konvergenzordnung ~2 bei aktiver Schockbehandlung und mögliche Konvergenzordnungen >2 für die reine diskontinuierliche Galerkin-Methode festgestellt. Weiterhin wurde bestätigt, dass die numerische Einhaltung der metrischen Identitäten essentiell für die Massenerhaltung in Fluiddynamik-Simulationen ist. Eine aktive Schockbehandlung erlaubte die stabile und numerisch konvergente Simulation von statischen, rotierenden oder oszillierenden Neutronensternen. Dank der vorgestellten Modifikationen des bamps Codes ist dieser nun in der Lage, die frontale Kollision zweier Neutronensterne zu simulieren. Neben der Extraktion des zugehörigen Gravitationswellensignals wurde die Simulation genutzt, um das nahezu ideale Skalierungsverhalten der Rechenzeit von bamps aufzuzeigen. Abschließend wurde der neuartige Duale-Blätterung-Formalismus angewandt, um die Wellengleichung auf einem numerischen Gitter zu lösen, welches die lichtartige Zukunftsunendlichkeit beinhaltet. Wir zeigen erste erfolgreiche Tests dieses Verfahrens

Solving 3D relativistic hydrodynamical problems with weighted essentially nonoscillatory discontinuous Galerkin methods

Discontinuous Galerkin (DG) methods coupled to weighted essentially nonoscillatory (WENO) algorithms allow high order convergence for smooth problems and for the simulation of discontinuities and shocks. In this work, we investigate WENO-DG algorithms in the context of numerical general relativity, in particular for general relativistic hydrodynamics. We implement the standard WENO method at different orders, a compact (simple) WENO scheme, as well as an alternative subcell evolution algorithm. To evaluate the performance of the different numerical schemes, we study nonrelativistic, special relativistic, and general relativistic test beds. We present the first three-dimensional simulations of general relativistic hydrodynamics, albeit for a fixed spacetime background, within the framework of WENO-DG methods. The most important test bed is a single Tolman-Oppenheimer-Volkoff star in three dimensions, showing that long term stable simulations of single isolated neutron stars can be obtained with WENO-DG methods