Geometry of the quantum universe

A universe much like the (Euclidean) de Sitter space-time appears as background geometry in the causal dynamical triangulation (CDT) regularization of quantum gravity. We study the geometry of such universes which appear in the path integral as a function of the bare coupling constants of the theory.Comment: 19 pages, 7 figures. Typos corrected. Conclusions unchange

Holography in the EPRL Model

In this research announcement, we propose a new interpretation of the EPR quantization of the BC model using a functor we call the time functor, which is the first example of a CLa-ren functor. Under the hypothesis that the universe is in the Kodama state, we construct a holographic version of the model. Generalisations to other CLa-ren functors and connections to model category theory are considered.Comment: research announcement. Latex fil

Lattice quantum gravity - an update

We advocate lattice methods as the tool of choice to constructively define a background-independent theory of Lorentzian quantum gravity and explore its physical properties in the Planckian regime. The formulation that arguably has most furthered our understanding of quantum gravity (and of various pitfalls present in the nonperturbative sector) uses dynamical triangulations to regularize the nonperturbative path integral over geometries. Its Lorentzian version in terms of Causal Dynamical Triangulations (CDT) - in addition to having a definite quantum signature on short scales - has been shown to reproduce important features of the classical theory on large scales. This article recaps the most important developments in CDT of the last few years for the physically relevant case of four spacetime dimensions, and describes its status quo at present.Comment: 14 pages, 8 figures, write-up of plenary talk at Lattice 2010, Villasimius, Sardegna, Italy, 14-19 June 201

Continuum spin foam model for 3d gravity

An example illustrating a continuum spin foam framework is presented. This covariant framework induces the kinematics of canonical loop quantization, and its dynamics is generated by a {\em renormalized} sum over colored polyhedra. Physically the example corresponds to 3d gravity with cosmological constant. Starting from a kinematical structure that accommodates local degrees of freedom and does not involve the choice of any background structure (e. g. triangulation), the dynamics reduces the field theory to have only global degrees of freedom. The result is {\em projectively} equivalent to the Turaev-Viro model.Comment: 12 pages, 3 figure

The skeleton of the UIPT, seen from infinity

We prove that geodesic rays in the Uniform Infinite Planar Triangulation (UIPT) coalesce in a strong sense using the skeleton decomposition of random triangulations discovered by Krikun. This implies the existence of a unique horofunction measuring distances from infinity in the UIPT. We then use this horofunction to define the skeleton "seen from infinity" of the UIPT and relate it to a simple Galton--Watson tree conditioned to survive, giving a new and particularly simple construction of the UIPT. Scaling limits of perimeters and volumes of horohulls within this new decomposition are also derived, as well as a new proof of the $2$-point function formula for random triangulations in the scaling limit due to Ambj{\o}rn and Watabiki.Comment: 34 pages, 14 figure

Simplicial Methods for Solving Selected Problems in General Relativity Numerically: Regge Calculus and the Finite-Element Method

In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Verfahren betrachtet, welche spezielle Probleme der Allgemeine Relativitätstheorie näherungsweise berechnen können. Dies ist zum einen die Finite-Element-Methode und zum anderen das Regge-Kalkül. Beide Verfahren basieren auf einer Zerlegung des betrachteten Gebietes in Simplizes. Zahlreiche dieser Simplizialzerlegungen und ihre Anwendbarkeit auf beide Verfahren wurden in dieser Arbeit eingehend untersucht bevor diese zur Lösung des Problemsä verwendet wurden. Um Probleme aus der Allgemeinen Relativitätstheorie numerisch zu berechnen, wird in dieser Arbeit die 3+1-Zerlegung angewendet. Diese unterteilt die Lösung des Problems in zwei Teilschritte. Im ersten Schritt werden Anfangsdaten bestimmt mit Hilfe derer man im zweiten Schritt ein Zeitentwicklungsschema anwenden kann. Der erste Teil dieser Arbeit demonstriert, wie man das Anfangsdaten-Problem für spezielle Probleme unter Verwendung der Finiten-Element-Methode lösen kann. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich der Aufgabe, Anfangsdaten mit Hilfe des Regge-Kalküls zu entwickeln. Während viele Formulierungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie koordinatenabhängig sind und somit eine Vielzahl an Lösungen ein und dasselbe Problem beschreiben, verwendet das Regge-Kalkül Kantenlängenquadrate als Variablen. Die Länge einer Kante ist unabhängig von dem zugrundeliegenden Koordinatensystem. Die Lösung eines Problems wird somit durch genau einen Satz an Kantenlängenquadraten repräsentiert. Dass man auf das Quadrat dieser Länge zugreift, liegt daran, dass die vierdimensionale Raumzeit nicht euklidisch ist, sondern Minkowski-Signatur besitzt. Abhängig vom Vorzeichen des Kantenlängenquadrates ergibt sich eine räumliche Ausdehnung oder eine Zeitdifferenz. Anhand vieler Beispiele werden beide Verfahren untersucht. Für die Anfangsdaten wurde ein statisches und ein sich rotierendes schwarzes Loch sowie zwei sich aufeinander zubewegende schwarze Löcher betrachtet. Für die Zeitentwicklung wurden Beispiele der Apples-With-Apples-Testsuite, das Kasner-Universum und ein statisches schwarzes Loch untersucht. Es zeigt sich, das beide Verfahren auf einfache Probleme der Numerischen Relativitätstheorie anwendbar sind. Die Finite-Element-Methode liefert Anfangsdaten auf einer Excision-Domäne, wobei hier einer selbst konstruierten Triangulierung einer unstrukturierten der Vorzug zu geben ist. Im Regge-Kalkül ist es erstmals gelungen, unstrukturierte Gitter, welche von externen Gittergeneratoren erstellt werden, als Grundlage für Zeitentwicklungen im Regge-Kalkül zu benutzen. Damit können auch komplexe Gebiete schnell modelliert werden. Des weiteren zeigen die Ergebnisse dieser Arbeit, dass das QR-Verfahren einem sonst üblichen LU-Verfahren vorzuziehen ist. Vor allem in fast flachen Raumzeiten und bei der Zeitentwicklung von unstrukturierten Gittern zeigt sich, das erst durch die Anwendung des QR-Verfahrens eine stabile Simulation möglich ist. Durch den Verzicht auf die Anwendung einer simplizialen Bianchi-Identität gelingt es entsprechende Probleme zu lösen und die Ergebnisse mit bestehenden Resultaten aus Finite-Differenzen-Verfahren zu vergleichen. Erstmals wurde die Konvergenz des Regge-Kalk¸ls anhand integraler Normen der Metrik untersucht. Bisher wurden nur Abweichungen von Kantenlängen diskutiert oder das Residuum der Regge-Gleichungen betrachtet. Mittels des Linear-Wellen-Tests aus der Apples-With-Apples-Testsammlung wird das Verhalten der numerischen Lösung in den neuen Normen eingehend untersucht. Hierbei wurde auch eine aus der Kausalität abgeleitete Courant-Friedrichs-Levi-Bedingung numerisch bestätigt. Simulationen des Kasner-Unviersums und des Gowdy-Universums zeigen, dass analytisch bekannte Lösungen qualitativ und quantitativ erfolgreich numerisch approximiert werden können. Im ersten Fall stimmt die zeitentwickelte Lösung mit der analytischen bis auf einen relativen Fehler in der Größenordnung von 0,001% überein. Auch im Kasner-Universum wird die theoretisch ermittelte Courant-Friedrichs-Levi-Bedingung numerisch bestätigt. Zudem ist es auch erstmals gelungen, Probleme auf Domänen mit räumlichen Rand zu lösen, wobei geeignete Bedingungen an Randkanten ausschlaggebend für die Stabilität sind. Hiermit wurden auf unstrukturierten Gittern die gestörte flache Raumzeit und die Schwarzschild-Raumzeit zeitentwickelt. Es zeigt sich, das mit besseren Winkeln des Gitters auch die Zeitentwicklung stabiler wird. Das Regge-Kalkül wie auch die Finite-Element-Methode sind vielversprechende und wie in dieser Arbeit gezeigt wurde funktionierende Lösungsansätze für einfache Probleme der Numerischen Relativitätstheorie. Durch die höhere Flexibilität dieser Simplizialmethoden sind sie interessante Alternativen zu bisherigen, auf Finiten Differenzen basierenden Ansätzen. Weiterführende Arbeiten auf diesem Gebiet könnten beide Methoden dahingehend weiterentwickeln komplexere Probleme, wie das Einspiralen zweier schwarzer Löcher, zu lösen. Solche alternativen Lösungen könnten bestehende Verfahren verifizieren und erweitern

A Panorama on Multiscale Geometric Representations, Intertwining Spatial, Directional and Frequency Selectivity

The richness of natural images makes the quest for optimal representations in image processing and computer vision challenging. The latter observation has not prevented the design of image representations, which trade off between efficiency and complexity, while achieving accurate rendering of smooth regions as well as reproducing faithful contours and textures. The most recent ones, proposed in the past decade, share an hybrid heritage highlighting the multiscale and oriented nature of edges and patterns in images. This paper presents a panorama of the aforementioned literature on decompositions in multiscale, multi-orientation bases or dictionaries. They typically exhibit redundancy to improve sparsity in the transformed domain and sometimes its invariance with respect to simple geometric deformations (translation, rotation). Oriented multiscale dictionaries extend traditional wavelet processing and may offer rotation invariance. Highly redundant dictionaries require specific algorithms to simplify the search for an efficient (sparse) representation. We also discuss the extension of multiscale geometric decompositions to non-Euclidean domains such as the sphere or arbitrary meshed surfaces. The etymology of panorama suggests an overview, based on a choice of partially overlapping "pictures". We hope that this paper will contribute to the appreciation and apprehension of a stream of current research directions in image understanding.Comment: 65 pages, 33 figures, 303 reference

One-loop renormalization in a toy model of Horava-Lifshitz gravity

We present a one loop calculation in the context of Horava-Lifshitz gravity. Due to the complexity of the calculation in the full theory we focus here on the study of a toy model, namely the conformal reduction of the z=2 projectable theory in 2+1 dimensions. For this value of the dimension there are no gravitons, hence the conformal mode is the only physical degree of freedom, and thus we expect our toy model to lead to qualitatively correct answers regarding the perturbative renormalization of the full theory. We find that Newton's constant (dimensionless in Horava-Lifshitz gravity) is asymptotically free. However, the DeWitt supermetric approaches its Weyl invariant form with the same speed and the effective interaction coupling remains constant along the flow. In other words, the would-be asymptotic freedom associated to the running Newton's constant is exactly balanced by the strong coupling of the scalar mode as the Weyl invariant limit is approached. We conclude that in such model the UV limit is singular at one loop order, and we argue that a similar phenomenon can be expected in the full theory, even in higher dimensions.Comment: 18 pages. v2: corrected some misprints, added 3 references, some clarifying comments and a new appendi

Group field theories generating polyhedral complexes

Group field theories are a generalization of matrix models which provide both a second quantized reformulation of loop quantum gravity as well as generating functions for spin foam models. While states in canonical loop quantum gravity, in the traditional continuum setting, are based on graphs with vertices of arbitrary valence, group field theories have been defined so far in a simplicial setting such that states have support only on graphs of fixed valency. This has led to the question whether group field theory can indeed cover the whole state space of loop quantum gravity. In this contribution based on [1] I present two new classes of group field theories which satisfy this objective: i) a straightforward, but rather formal generalization to multiple fields, one for each valency and ii) a simplicial group field theory which effectively covers the larger state space through a dual weighting, a technique common in matrix and tensor models. To this end I will further discuss in some detail the combinatorial structure of the complexes generated by the group field theory partition function. The new group field theories do not only strengthen the links between the mentioned quantum gravity approaches but, broadening the theory space of group field theories, they might also prove useful in the investigation of renormalizability.Comment: accepted for publication in PoS, Frontiers of Fundamental Physics 14 (AMU Marseille