Structure des suites d'espaces modulaires (M2k(Γ0(N)))k∈N∗(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} et (S2k(Γ0(N)))k∈N∗(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} - Partie II : une chasse aux papillons modulaires

Dans la première partie de cet article qui en comporte trois, nous avons dégagé la notion d'unité modulaire forte de niveau $N$. Elle nous a permis de structurer la famille de formes modulaires $(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ et de proposer les bases explicites pour ces espaces. C'est dans cette optique que nous avons rédigé cette seconde partie où la structure et des bases explicites sont proposées lorsque $1\leq N \leq 10$

Structure et bases des suites d'espaces modulaires (M2k(Γ0(N)))k∈N∗(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} et (S2k(Γ0(N)))k∈N∗(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} - Partie III : Les espaces paraboliques

En s'appuyant sur la notion de forme modulaire forte développée dans la partie I, nous proposons de structurer la famille de formes paraboliques $(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ et de déterminer des bases pour chacun de ces espaces, une fois connues des bases pour les premières valeurs de $k$. Nous appliquons ensuite ces résultats théoriques pour déterminer explicitement des bases pour les familles d'espaces $S_{2k}(\Gamma_0(N))$ lorsque $1 \leq N \leq 10$

A Panorama on Multiscale Geometric Representations, Intertwining Spatial, Directional and Frequency Selectivity

The richness of natural images makes the quest for optimal representations in image processing and computer vision challenging. The latter observation has not prevented the design of image representations, which trade off between efficiency and complexity, while achieving accurate rendering of smooth regions as well as reproducing faithful contours and textures. The most recent ones, proposed in the past decade, share an hybrid heritage highlighting the multiscale and oriented nature of edges and patterns in images. This paper presents a panorama of the aforementioned literature on decompositions in multiscale, multi-orientation bases or dictionaries. They typically exhibit redundancy to improve sparsity in the transformed domain and sometimes its invariance with respect to simple geometric deformations (translation, rotation). Oriented multiscale dictionaries extend traditional wavelet processing and may offer rotation invariance. Highly redundant dictionaries require specific algorithms to simplify the search for an efficient (sparse) representation. We also discuss the extension of multiscale geometric decompositions to non-Euclidean domains such as the sphere or arbitrary meshed surfaces. The etymology of panorama suggests an overview, based on a choice of partially overlapping "pictures". We hope that this paper will contribute to the appreciation and apprehension of a stream of current research directions in image understanding.Comment: 65 pages, 33 figures, 303 reference

Analyse multiresolution par ondelettes non orthogonales et bancs de filtres numeriques

SIGLEINIST T 72423 / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Structure et bases des suites d'espaces modulaires (M2k(Γ0(N)))k∈N∗(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} et (S2k(Γ0(N)))k∈N∗(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*} - Partie I : Les unités modulaires fortes

Le discriminant modulaire $\Delta$ est connu pour structurer la famille de formes modulaires de niveau 1 $(M_{2k}(SL_2(\mathbb{Z})))_{k\in \mathbb{N}^*}$.Pour tout entier $N$, nous définissons une unité modulaire forte de niveau $N$ notée $\Delta_N$, qui permet de structurer la famille $(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ de manière identique. Nous appliquerons ce résultat à la recherche de bases pour chacun des espaces $(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$.Cet article est la première partie d'une série de trois. Dans la seconde partie nous proposerons des bases explicites de $(M_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ pour $1\leq N \leq 10$. Finalement, dans une troisième partie, nous appliquerons à $(S_{2k}(\Gamma_0(N)))_{k\in \mathbb{N}^*}$ les résultats obtenus dans les deux premières parties

Analyse multirésolution par ondelettes biorthogonales et bancs de filtres numériques

Die vorgestellte Arbeit betrifft Multiauflösungsanalysen durch orthogonale Wavelets undnicht-orthogonal, sowie auf den daraus abgeleiteten Algorithmen.Die untersuchten Analysen mit mehreren Auflösungen ermöglichen die Analyse eines Signals oder eines Bildes insie auf eine zunehmende Reihe von ineinandergreifenden Räumen zu projizieren, die maßstäblich interpretiert werden.Um nicht redundante Informationen zu extrahieren, ist es dann möglich, die Details zu isolierenbei einem Auflösungsverlust zwischen zwei Skalen gelöscht: Dies ist die Rolle des Waveletsverbunden mit Multiauflösungsanalyse.Bisher erforderte die Theorie, dass die Projektoren der Analyse orthogonal sind, wasdie Auswahl an wirklich maschinell durchführbaren Analysen stark eingeschränkt. Es isteiner der Gründe, warum wir eine Theorie der Multiauflösungsanalyse entwickelt habenvon nicht-orthogonalen Projektoren.Weiterhin hat sich die neuronale Implementierung von Multiresolution-Analysealgorithmen bewährtführte zum Studium der Theorie digitaler Filterbänke. Der eigentliche Begriff der AnalyseMultiresolution ermöglichte es uns dann, einen neuen Ansatz zum Filtern von Bänken zu definieren,sowie neue theoretische und praktische Werkzeuge, die für das Verständnis nützlich sind unddie Verwendung dieser Filtertechniken.The work presented concerns multiresolution analyzes by orthogonal wavelets andnon-orthogonal, as well as on the algorithms which are deduced therefrom.The multi-resolution analyzes studied allow the analysis of a signal, or of an image, inprojecting it onto an increasing series of interlocking spaces that are interpreted in terms of scale.In order to extract non-redundant information, it is then possible to isolate the detailserased during a loss of resolution between two scales: this is the role of the waveletassociated with multiresolution analysis.Until now, the theory required the projectors of the analysis to be orthogonal, whichgreatly restricted the choice of truly machine-implementable analyses. It isone of the reasons why we developed a theory of multiresolution analysisfrom non-orthogonal projectors.Furthermore, the neural implementation of multiresolution analysis algorithms hasled to study the theory of digital filter banks. The very notion of analysismultiresolution then allowed us to define a new approach to filter banks,as well as new theoretical and practical tools useful for understanding andthe use of these filtering techniques.Les travaux présentés portent sur les analyses multirésolutions par ondelettes orthogonales etnon orthogonales, ainsi que sur les algorithmes qui s'en déduisent.Les analyses multirésolutions étudiées permettent l'analyse d'un signal, ou d'une image, enle projetant sur une suite croissante d'espaces emboîtés qui s'interprètent en terme d'échelle.Afin d'extraire une information non redondante, il est alors possible d'isoler les détailsgommés lors d'une perte de résolution entre deux échelles : c'est le rôle de l'ondeletteassociée à l'analyse multirésolution.Jusqu'à présent, la théorie imposait aux projecteurs de l'analyse d'être orthogonaux, ce quirestreignait grandement le choix des analyses réellement implémentables sur machine. C'estune des raisons pour lesquelles nous avons développé une théorie d'analyse multirésolutionissue de projecteurs non orthogonaux.Par ailleurs, l'implémentation neuronale des algorithmes d'analyses multirésolutions nous aconduit à étudier la théorie des bancs de filtres numériques. La notion même d'analysemultirésolution nous a alors permis de définir une nouvelle approche des bancs de filtres,ainsi que de nouveaux outils théoriques et pratiques utiles pour la compréhension etl'utilisation de ces techniques de filtrages

Multiresolution analysis for images with a resolution factor √2

Recently, an algorithm for multiresolution signal analysis, based on tvavelet theory las been proposed by S. Mallat. The basic idea is to capture signifïcant détails in the signal through the analysis ai successive scales . Mallat's algorithm uses a scaling factor of 2 between two successive scales . The aim of this paper is to develop a theory and an algorith n for image processing, with a scaling factor of \F2 . This will allow for sinipler resulis interpretation and doubled sharpness of analysis . The theory is illustrated on both artificial and natural images, where our algorithni proves efficient for non-oriented contour detection .Récemment, un algorithme d'analyse multirésolution a été proposé par S . Mallat . Cet algorithme a pour but d'extraire les caractéristiques d'un signal en l'analysant à diverses échelles, un facteur de résolution 2 reliant deux échelles consécutives . Nous développons ici un cadre théorique et un algorithme dédié au traitement d'images, avec un facteur de résolution qui double la finesse d'analyse . Une autre caractéristique essentielle de cet algorithme est d'être non sélectif à l'orientation comme le montre les images sur lesquelles il a été testé