Annales Mathématiques Blaise Pascal

Mohamed Ait Ouahra

Mohamed Mellouk

Hanae Ouahhabi

Aissa Sghir

An extension of the standard multifractional Brownian motion

Flavien Mabilat

Classification des entiers monomialement irréductibles et généralisations

Azeb Alghanemi

Khadijah Abdullah Sharaf

Hichem Chtioui

Mohamed Gdarat

Existence and multiplicity results for a fractional  curvature problem

Bruno Deschamps

Paul Rodriguez

Bruno Deschamps & Paul RodriguezDe l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiairesVolume 32, no 1 (2025), p. 33-39.https://doi.org/10.5802/ambp.432Cet article est mis à disposition selon les termes de la licenceCreative Commons Attribution (CC-BY) 4.0.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/Publication éditée par le laboratoire de mathématiques Blaise Pascalde l’université Clermont Auvergne, UMR 6620 du CNRSClermont-Ferrand — FranceC EN T R EMER S ENN EPublication membre du centreMersenne pour l’édition scientifique ouvertehttp://www.centre-mersenne.org/e-ISSN : 2118-7436Annales mathématiques Blaise Pascal 32, 33-39 (2025)De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiairesBruno DeschampsPaul RodriguezRésuméGrâce à une généralisation du théorème de Brauer–Cartan–Hua, nous montrons qu’à l’exact contrairedu cas extérieur, quand on dispose d’une extension galoisienne, finie, intérieure et concentrique alorsaucune extension galoisienne intermédiaire stricte n’est stable par l’action du groupe de Galois.On the Instability of Intermediate Galois ExtensionsAbstractThanks to a generalization of the Brauer–Cartan–Hua theorem, we show that, to the exact opposite ofthe outer case, when we take a concentric finite inner Galois extension there exists no strict intermediateGalois extension invariant under the action of the Galois group.1. IntroductionNotations. Si𝐻 désigne un corps, et 𝑎 ∈ 𝐻∗, on notera 𝐼 (𝑎) : 𝑥 ↦→ 𝑎𝑥𝑎−1 l’automorphismeintérieur associé à l’élément 𝑎. Si Ω ⊂ 𝐻∗, on notera Int(Ω) = {𝐼 (𝑎), 𝑎 ∈ Ω}. Pourtoute extension de corps 𝐻/𝐾, on notera Int(𝐻/𝐾) l’ensemble des 𝐾-automorphismesintérieurs de 𝐻 et 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐻 | ∀ 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥} le commutant (ou centralisateur) de𝐾 dans 𝐻. On remarquera alors que Int(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗).La théorie de Galois généralisée aux corps gauches1 n’est pas bien plus compliquée quecelle du cas des corps commutatifs. Il faut juste prêter attention aux automorphismes inté-rieurs. Essentiellement, pour une extension galoisienne 𝐻/𝐾 finie, les correspondancesgaloisiennes s’opèrent entre l’ensemble des extensions intermédiaires de 𝐻/𝐾 et l’en-semble des sous-𝑁-groupes de Gal(𝐻/𝐾). Rappelons qu’un sous-groupe𝐺 < Gal(𝐻/𝐾)est appelé 𝑁-groupe, si l’ensembleA𝐺 = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝑥) ∈ 𝐺} ∪ {0}forme un sous-corps de 𝐻. La qualité, pour une extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 , d’êtregaloisienne sur 𝐾 se caractérise alors par le fait que le plus petit sous-𝑁-groupe quicontient le normalisateur NGal(𝐻/𝐾 ) (Gal(𝐻/𝑀)) est égal à Gal(𝐻/𝐾) tout entier (onMots-clés : Théorie de Galois des corps gauches.Classification Mathématique (2020) : 12E15.1Nous renvoyons le lecteur à [1] et [3] pour un exposé complet de cette théorie.33B. Deschamps & P. Rodriguezdit que Gal(𝐻/𝑀) est 𝑁-invariant). On voit que cette condition d’être 𝑁-invariant est,a priori, plus faible que celle d’être distingué. En fait, la distinction d’un sous-groupecaractérise la stabilité de l’extension associée :Proposition 1.1. Soit 𝐻/𝐾 une extension galoisienne finie. Pour qu’une extensionintermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 soit stable (i.e. l’orbite de 𝑀 sous l’action de Gal(𝐻/𝐾) estponctuelle), il faut et il suffit que Gal(𝐻/𝑀) soit distingué dans Gal(𝐻/𝐾). En particulier,une extension intermédiaire stable est galoisienne sur 𝐾 et l’on a donc, en toute généralité,𝑀/𝐾 galoisienne ⇐= 𝑀 est stable ⇐⇒ Gal(𝐻/𝑀) ⊳ Gal(𝐻/𝐾).Démonstration. Posons 𝐺 = Gal(𝐻/𝑀), de sorte que 𝑀 = 𝐻𝐺 . On a alors𝑀 = 𝐻𝐺 est stable ⇐⇒ ∀ 𝜎 ∈ Gal(𝐻/𝐾), 𝐻𝐺 = 𝜎(𝐻𝐺)= 𝐻𝜎𝐺𝜎−1.Si 𝜎𝐺𝜎−1 est lui aussi un 𝑁-groupe, on pourra affirmer, grâce aux correspondancesgaloisiennes, que 𝐻𝐺 = 𝐻𝜎𝐺𝜎−1 =⇒ 𝜎𝐺𝜎−1 = 𝐺. Montrons que c’est bien toujours lecas :A ∗𝜎𝐺𝜎−1= {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝑥) ∈ 𝜎𝐺𝜎−1} = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝜎−1 ◦ 𝐼 (𝑥) ◦ 𝜎 ∈ 𝐺}= {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝜎−1 (𝑥)) ∈ 𝐺} = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝜎−1 (𝑥) ∈ A ∗𝐺} = 𝜎(A∗𝐺).Puisque 𝐺 est un 𝑁-groupe l’ensemble A𝐺 est un corps et il en est donc de même de𝜎(A𝐺) = A𝜎𝐺𝜎−1 , c’est-à-dire que 𝜎𝐺𝜎−1 est bien un 𝑁-groupe. □Lorsque l’extension 𝐻/𝐾 est extérieure (e.g. lorsque 𝐻 est commutatif), c’est-à-direlorsque Gal(𝐻/𝐾) ne contient aucun automorphisme intérieur, tous les sous-groupes sontdes 𝑁-groupes et l’on a donc l’équivalence𝑀/𝐾 galoisienne ⇐⇒ 𝑀 est stable.L’objet de cette note est de montrer qu’en toute généralité, cette équivalence n’est pasvalable : quand on introduit des automorphismes intérieurs un phénomène d’instabilitépeut apparaitre. Introduisons quelques éléments de terminologie : si 𝐻/𝐾 désigne uneextension galoisienne finie, on dira qu’elle est stable (resp. totalement stable) si touteextension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 galoisienne sur 𝐾 (resp. a priori quelconque) est stablesous l’action de Gal(𝐻/𝐾). Une extension non stable sera qualifiée d’instable et l’onréservera la terminologie de totalement instable lorsque, à part les cas 𝑀 = 𝐾 et 𝑀 = 𝐻,aucune extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 n’est stable sous l’action de Gal(𝐻/𝐾).Comme on vient de le rappeler, on voit qu’une extension galoisienne finie extérieure𝐻/𝐾 est toujours stable, mais on notera qu’elle n’est que rarement totalement stable,cette dernière condition équivalent en fait à dire que tout sous-groupe de Gal(𝐻/𝐾) estdistingué. Dans une extension totalement stable, tout sous-corps intermédiaire est en fait34De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiairesgaloisien sur 𝐾 , la réciproque étant fausse (voir exemple en fin de texte). Enfin, on noteraque pour être à la fois totalement stable et totalement instable il faut et il suffit d’êtresimple (i.e. sans extension intermédiaire, e.g. d’ordre premier).Dans ce texte, on commence par étudier le cas des extensions qui sont galoisiennes,intérieures (i.e. Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐻/𝐾)) et finies. On montre (corollaire 2.3) qu’àl’exact contraire du cas extérieur, quand 𝐻/𝐾 est supposée en plus concentrique (i.e.𝑍 (𝐻) = 𝑍 (𝐾)) alors elle est totalement instable. Pour autant, il existe des situations dansle cas intérieur non concentrique où l’équivalence reste vraie et où l’on peut même assurerdu caractère totalement stable (voir corollaire 2.4). Finalement, en application de cesrésultats nous proposons dans la section 3, un découpage systématique pour une extensiongaloisienne finie donnée en trois parties « totalement stable/totalement instable/stable ».2. Cas des extensions intérieuresPour étudier cette question d’instabilité, nous commençons par donner une généralisationd’un théorème dû à Cartan, Brauer et Hua :Théorème 2.1. Soient 𝐻 un corps, 𝐻0 ⊂ 𝐻 un sous-corps et 𝐺 = Int(𝐻∗0). Si 𝑀 ⊂ 𝐻 estun sous-corps stable par 𝐺, alors, ou bien 𝑀 ⊂ 𝐻0, ou bien 𝐻0 ⊂ 𝑀 .Démonstration. Un petit calcul élémentaire montre que, pour tout 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, on a( [𝑏, 𝑎] − [𝑏, 𝑎 − 1])𝑎 = 1 − [𝑏, 𝑎 − 1]où [ · , · ] désigne le commutateur. Par hypothèse, pour tout 𝑏 ∈ 𝑀 et tout 𝑎 ∈ 𝐻∗0, ona [𝑏, 𝑎] = 𝑏.(𝑎𝑏−1𝑎−1) ∈ 𝑀, si bien que si [𝑏, 𝑎 − 1] (qui est lui aussi élément de𝑀) est différent de 1 alors, 𝑎 = ( [𝑏, 𝑎] − [𝑏, 𝑎 − 1])−1 (1 − [𝑏, 𝑎 − 1]) ∈ 𝑀. Puisque[𝑏, 𝑎 − 1] ≠ 1 ⇔ [𝑏, 𝑎] ≠ 1, on voit donc que, dès que 𝑎 ∈ 𝐻∗0 et 𝑏 ∈ 𝑀 ne commutentpas, on a nécessairement 𝑎 ∈ 𝑀 .Supposons que 𝑀 ⊄ 𝐻0 et fixons alors un élément 𝑏0 ∈ 𝑀 −𝐻0 et un élément 𝑎0 ∈ 𝐻0tel que [𝑏0, 𝑎0] ≠ 1. D’après ce qui précède, on a 𝑎0 ∈ 𝑀 . Pour tout 𝑎 ∈ 𝐻0, on a alors :• si [𝑏0, 𝑎] ≠ 1 alors 𝑎 ∈ 𝑀 , d’après ce qui précède ;• si [𝑏0, 𝑎] = 1 alors [𝑏0, 𝑎+𝑎0] ≠ 1 (car 𝑏0 (𝑎+𝑎0)−(𝑎+𝑎0)𝑏0 = 𝑏0𝑎0−𝑎0𝑏0 ≠ 0)et donc, toujours d’après ce qui précède, 𝑎+𝑎0 ∈ 𝑀 . Comme 𝑎0 ∈ 𝑀 , finalement𝑎 ∈ 𝑀 .On vient bien de prouver que, si 𝑀 ⊄ 𝐻0 alors 𝐻0 ⊂ 𝑀 . □Si l’on choisit 𝐻0 = 𝐻, alors 𝐻0 = 𝑍 (𝐻) et l’on retrouve le35B. Deschamps & P. RodriguezThéorème (Théorème de Cartan–Brauer–Hua). Si 𝐻 un corps et 𝑀 ⊂ 𝐻 est un sous-corps de 𝐻 stable par tout automorphisme intérieur de 𝐻 alors, ou bien 𝑀 ⊂ 𝑍 (𝐻), oubien 𝑀 = 𝐻.La preuve, présentée dans [1, Theorem 3.9.2], inspire celle du théorème 2.1. Appliquéau cas d’une extension intérieure le théorème 2.1 fournit alors leThéorème 2.2. Si 𝐻/𝐾 désigne une extension galoisienne, intérieure et finie alors, pourtoute extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 différente de 𝐾 , on a𝑀 est stable ⇐⇒ 𝑍 (𝐾) ⊂ 𝑀.Démonstration. Les extensions galoisiennes, intérieures et finies ont été étudiées dans [2].Dans cet article, il est montré les propriétés suivantes :(1) 𝐾 = 𝐾 [2, Proposition7.a] ;(2) 𝑍 (𝐾) = 𝐾.𝐾 ≃ 𝐾 ⊗𝑍 (𝐾 ) 𝐾 [2, Corollaire 15.b] ;(3) 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) [2, Proposition 7.b] ;(4) 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) [2, Théorème 10.b]que nous allons utiliser pour montrer l’équivalence.=⇒. Si 𝑀 est stable, alors comme Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗), on peut appliquerle théorème 2.1 avec 𝐻0 = 𝐾 et l’on trouve que :• soit 𝐾 ⊂ 𝑀, mais comme 𝐾 ⊂ 𝑀, on a alors en utilisant la propriété (b) que𝑍 (𝐾) = 𝐾.𝐾 ⊂ 𝑀 ;• soit 𝑀 ⊂𝐾 = 𝐾 (d’après la propriété (a)) et l’on a 𝑀 = 𝐾 , ce qui est exclu.⇐=. On a Gal(𝐻/𝑀) = Int(𝐻/𝑀) = Int(𝑀∗) et puisque 𝑍 (𝐾) ⊂ 𝑀, on voit que𝑀 ⊂ 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) (d’après les propriétés (c) et (d)). Si l’on prend 𝑥 ∈ 𝑀∗et 𝑦 ∈ 𝐾∗ alors 𝑦𝑥𝑦−1 = 𝑥 (puisque 𝑥 ∈ 𝑍 (𝐾)), et donc 𝐼 (𝑦)𝐼 (𝑥)𝐼 (𝑦)−1 = 𝐼 (𝑥) : legroupe Gal(𝐻/𝑀) = Int(𝑀∗) est (trivialement) distingué dans Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗) etla proposition 1.1 permet de conclure. □Si 𝐻/𝐾 est supposée, en plus, concentrique alors 𝑍 (𝐻) = 𝑍 (𝐾) et donc 𝑍 (𝐾) = 𝐻 :l’extension 𝐻/𝑍 (𝐾) est alors triviale et l’on en déduit le36De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiairesCorollaire 2.3. Toute extension galoisienne, intérieure, finie et concentrique est totalementinstable.Le cadre d’application le plus immédiat du corollaire 2.3 est celui des 𝑘-algèbresà division, c’est-à-dire des corps de dimension finie sur leur centre 𝑘 . Si 𝐻 désigneune 𝑘-algèbre à division, alors 𝐻/𝑘 est finie et concentrique par définition et elle estgaloisienne et intérieure en vertu du théorème de Skolem–Noether. Très souvent, ondispose d’extensions intermédiaires strictes 𝐻/𝑀/𝑘 qui sont galoisiennes sur 𝑘 et quifournissent donc des exemples d’extensions galoisiennes instables. Par exemple, si l’onconsidère le corps H des quaternions d’Hamilton, il est de dimension 4 sur son centreR. Les extensions intermédiaires strictes de H/R sont donc toutes d’ordre 2 et, étantobtenues par l’adjonction à R d’un élément de H − R, il s’agit d’extensions galoisiennesde R (toutes isomorphes à C)2. L’extension H/C fournit aussi un exemple d’extensionnon simple qui est totalement instable bien que toutes ses extensions intermédiaires soientgaloisiennes sur R. Le théorème 2.2 a aussi pour conséquence leCorollaire 2.4. Toute extension galoisienne, intérieure et finie 𝐻/𝐾 telle que 𝐾 = 𝑍 (𝐾)est totalement stable.Les 𝑘-algèbres à division fournissent aussi un moyen simple d’illustrer ce corollaire :si 𝐻 désigne une 𝑘-algèbre à division, on sait que les extensions commutatives maximales𝐻/𝐾/𝑘 sont caractérisées par la relation 𝐾 = 𝐾 . Pour une telle extension, on a 𝐾 = 𝑍 (𝐾)et donc 𝑍 (𝐾) = 𝐾 = 𝐾. Ainsi, par application du corollaire 2.4, dans l’extensiongaloisienne intérieure finie 𝐻/𝐾 l’équivalence « galoisienne ⇔ stable » est bien valablepour toute extension intermédiaire. Dans cette situation, il n’y aucune raison pour que𝐻/𝐾 soit sans extensions intermédiaires (et donc que la propriété soit triviale) commele montre l’exemple suivant : on se donne un corps commutatif 𝑘 et deux 𝑘-algèbres àdivision 𝐻1, 𝐻2 de dimensions respectives 𝑝2 et 𝑞2, où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers premiersentre eux. Les indices Ind(𝐻1) = 𝑝 et Ind(𝐻2) = 𝑞, étant premiers entre eux, on aInd(𝐻1 ⊗𝑘 𝐻2) = Ind(𝐻1). Ind(𝐻2) et donc 𝐻 = 𝐻1 ⊗𝑘 𝐻2 est une 𝑘-algèbre à division(de dimension 𝑝2𝑞2) qui contient canoniquement 𝐻1 et 𝐻2. On se donne maintenant 𝐾1 et𝐾2 deux sous-corps commutatifs maximaux de 𝐻1 et 𝐻2 respectivement et l’on considère𝐾 = 𝐾1 ⊗𝑘 𝐾2. C’est une 𝑘-algèbre incluse dans 𝐻, elle est donc intègre et étant dedimension finie, c’est un corps (commutatif). Puisque [𝐾 : 𝑘] = [𝐾1 : 𝑘] .[𝐾2 : 𝑘] = 𝑝𝑞,c’est une extension commutative maximale de 𝑘 dans 𝐻 et l’extension 𝐻/𝐾 vérifie doncles hypothèses du corollaire 2.4. Le compositum 𝑀 = 𝐾.𝐻2 fournit alors un exempled’extension intermédiaire stricte de 𝐻/𝐾. En effet, il est d’abord clair que 𝐾 ≠ 𝑀 car2Plus systématiquement, si l’on considère une 𝑘-algèbre 𝐻 obtenue par produit croisé d’une extensiongaloisienne de corps commutatifs 𝐿/𝑘 et d’un élément de 𝐻2 (𝐿/𝑘 ) alors 𝐿 est une extension galoisienneintermédiaire instable.37B. Deschamps & P. Rodriguezsinon 𝐻2 ⊂ 𝐾 et 𝑞2 = [𝐻2 : 𝑘] diviserait 𝑝𝑞 = [𝐾 : 𝑘]. Pour montrer que 𝑀 ≠ 𝐻 onraisonne par l’absurde. Au niveau des centralisateurs, on a𝐻1 = C𝐻 (𝐻1) = C𝐻 (𝐻1 ⊗𝑘 𝑘) = C𝐻1 (𝐻1) ⊗𝑘 C𝐻2 (𝑘) = 𝑘 ⊗𝑘 𝐻2 = 𝐻2ainsi les corps 𝐻1 et 𝐻2 sont commutants l’un de l’autre dans 𝐻. On peut donc écrire3𝐻 = 𝑀 =⇒ 𝐻 = 𝐾.𝐻2 = 𝐾 ∩ 𝐻2 =⇒ 𝑘 = 𝐾 ∩ 𝐻1ce qui est visiblement impossible car 𝐾1 ⊂ 𝐾 ∩ 𝐻1.3. Cas généralSi l’on se donne une extension galoisienne finie 𝐻/𝐾 alors le sous-groupe Int(𝐻/𝐾)est visiblement distingué dans Gal(𝐻/𝐾) si bien que, si l’on pose 𝑀 = 𝐻Int(𝐻/𝐾 ) alors𝑀/𝐾 est galoisienne extérieure et 𝐻/𝑀 est galoisienne intérieure. L’extension 𝑍 (𝑀)/𝑀est alors galoisienne intérieure [2, Théorème 10] tout comme 𝐻/𝑍 (𝑀). Ce qui précèdefournit alors un découpage systématique de 𝐻/𝐾 :𝐻galoisienne intérieuretotalement stable𝑍 (𝑀)galoisienne intérieuretotalement instable𝑀galoisienne extérieurestable𝐾Références[1] Paul M. Cohn. Skew fields. Theory of general division rings, volume 57 of Encyclo-pedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press, 1995.[2] Bruno Deschamps. Arithmétique des extensions intérieures. J. Algebra, 620 :50–88,2023.[3] Nathan Jacobson. Structure of rings, volume 37 of Colloquium Publications. AmericanMathematical Society, 1956.3La propriété 𝐴.𝐵 = 𝐴∩ 𝐵 est valable pour toute paire {𝐴, 𝐵} de sous-corps d’un corps donné (voir [2,Lemme 3]).38De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiairesBruno DeschampsDépartement de Mathématiques - Le MansUniversitéAvenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9 -FranceCNRS Laboratoire de Mathématiques NicolasOresme - Université de Caen NormandieBP 5186, 14032 Caen Cedex - Francebruno.deschamps@univ-lemans.frPaul RodriguezDépartement de Mathématiques - école NormaleSupérieure de Lyon15 parvis René Descartes - BP 700069342 Lyon Cedex 07 - Francepaul.rodriguez@ens-lyon.fr39

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