Analysis of the smoothly amnesia-reinforced multidimensional elephant random walk

In this work, we discuss the smoothly amnesia-reinforced multidimensional elephant random walk (MARW). The scaling limit of the MARW is shown to exist in the diffusive, critical and superdiffusive regimes. We also establish the almost sure convergence in all of the three regimes. The quadratic strong law is displayed in the diffusive regime as well as in the critical regime. The mean square convergence towards a non-Gaussian random variable is established in the superdiffusive regime. Similar results for the barycenter process are also derived. Finally, the last two Sections are devoted to a discussion of the convergence velocity of the mean square displacement and the Cram{\'e}r moderate deviations

Ketamine for pain management

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Pain, opioid tolerance and sensitisation to nociception in the neonate

Pain is commonplace in newborn infants. Opioid analgesics have become increasingly used to reduce different types of pain in neonates, including pain from surgery, medical procedures and chronic conditions. Adverse effects of opioids include respiratory depression, hypotension and tolerance. These adverse effects can be minimised by utilising specific administration techniques and constant monitoring. Recent studies have demonstrated that untreated pain can have long-term effects on infant pain behaviours months beyond the events, thus, opioid analgesics may have a beneficial role that extends beyond the immediate painful event(s)

Autour de la marche aléatoire de l'éléphant

This thesis focuses on the study of the elephant random walk (ERW) and the processes related to it, using martingales. The ERW a stochastic process with a memory parameter introduced at the beginning of the 2000s and which induces three regimes of behavior. We aim to obtain probabilistic results such as laws of large numbers and asymptotic normality, as well as laws of iterated logarithm and quadratic strong laws.We start by generalizing the elephant random walk to dimensions greater than 2 using counting processes of the steps in each direction of the dimension. Then, we are interested in the center of mass of the elephant random walk. We introduce two martingales such that studying them simultaneously makes it possible to obtain results analogous to those of the elephant random walk. This approach is used again to study the random walk with linearly reinforced memory or smooth amnesia. We also propose an explicit statistical analysis to estimate the memory. Finally, we present a martingale approach for the study of two-color Pólya urns.Cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire de l'éléphant. Cette marche aléatoire s'appelle ainsi car elle possède un paramètre de mémoire, et il est bien connu que les éléphants ont une excellente mémoire et se souviennent de tous les endroits qu'ils ont visités. On va établir des résultats probabilistes de types lois des grands nombres et normalité asymptotique, mais aussi des lois du logarithme itéré et des lois fortes quadratiques à l'aide de martingales.On commence par généraliser la marche de l'éléphant pour toute dimension en utilisant des processus de comptage des pas dans chaque direction de la dimension. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique du centre de masse de la marche aléatoire de l'éléphant. On est amené à introduire deux martingales de sorte que leur étude simultanée permet d'obtenir des résultats analogues à ceux de la marche de l'éléphant. On réutilise ensuite cette approche afin d'étudier la marche de l'éléphant avec mémoire renforcée linéairement et la marche aléatoire de l'éléphant avec une amnésie progressive. On propose aussi une étude statistique explicite de l'estimation de la mémoire. Enfin, on présente une approche martingale pour l'étude des urnes de Pólya à deux couleurs

About the elephant random walk

Cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire de l'éléphant. Cette marche aléatoire s'appelle ainsi car elle possède un paramètre de mémoire, et il est bien connu que les éléphants ont une excellente mémoire et se souviennent de tous les endroits qu'ils ont visités. On va établir des résultats probabilistes de types lois des grands nombres et normalité asymptotique, mais aussi des lois du logarithme itéré et des lois fortes quadratiques à l'aide de martingales.On commence par généraliser la marche de l'éléphant pour toute dimension en utilisant des processus de comptage des pas dans chaque direction de la dimension. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique du centre de masse de la marche aléatoire de l'éléphant. On est amené à introduire deux martingales de sorte que leur étude simultanée permet d'obtenir des résultats analogues à ceux de la marche de l'éléphant. On réutilise ensuite cette approche afin d'étudier la marche de l'éléphant avec mémoire renforcée linéairement et la marche aléatoire de l'éléphant avec une amnésie progressive. On propose aussi une étude statistique explicite de l'estimation de la mémoire. Enfin, on présente une approche martingale pour l'étude des urnes de Pólya à deux couleurs.This thesis focuses on the study of the elephant random walk (ERW) and the processes related to it, using martingales. The ERW a stochastic process with a memory parameter introduced at the beginning of the 2000s and which induces three regimes of behavior. We aim to obtain probabilistic results such as laws of large numbers and asymptotic normality, as well as laws of iterated logarithm and quadratic strong laws.We start by generalizing the elephant random walk to dimensions greater than 2 using counting processes of the steps in each direction of the dimension. Then, we are interested in the center of mass of the elephant random walk. We introduce two martingales such that studying them simultaneously makes it possible to obtain results analogous to those of the elephant random walk. This approach is used again to study the random walk with linearly reinforced memory or smooth amnesia. We also propose an explicit statistical analysis to estimate the memory. Finally, we present a martingale approach for the study of two-color Pólya urns