Pseudodifferential operators on Hilbert space riggings with associated psi *-algebras and generalized Hörmander classes

The present thesis is concerned with certain aspects of differential and pseudodifferential operators on infinite dimensional spaces. We aim to generalize classical operator theoretical concepts of pseudodifferential operators on finite dimensional spaces to the infinite dimensional case. At first we summarize some facts about the canonical Gaussian measures on infinite dimensional Hilbert space riggings. Considering the naturally unitary group actions in $L^2(H_-,\gamma)$ given by weighted shifts and multiplication with e^{i\Skp{t}{\cdot}_0} we obtain an unitary equivalence \F between them. In this sense \F can be considered as an abstract Fourier transform. We show that \F coincides with the Fourier-Wiener transform. Using the Fourier-Wiener transform we define pseudodifferential operators in Weyl- and Kohn-Nirenberg form on our Hilbert space rigging. In the case of this Gaussian measure $\gamma$ we discuss several possible Laplacians, at first the Ornstein-Uhlenbeck operator and then pseudo-differential operators with negative definite symbol. In the second case, these operators are generators of $L^2_\gamma$-sub-Markovian semi-groups and $L^2_\gamma$-Dirichlet-forms. In 1992 Gramsch, Ueberberg and Wagner described a construction of generalized Hörmander classes by commutator methods. Following this concept and the classical finite dimensional description of \Psi_{\ro,\delta}^0 (0\leq\delta\leq\ro\leq 1, $\delta< 1$) in the $C^*$-algebra \L(L^2) by Beals and Cordes we construct in both cases generalized Hörmander classes, which are $\Psi^*$-algebras. These classes act on a scale of Sobolev spaces, generated by our Laplacian. In the case of the Ornstein-Uhlenbeck operator, we prove that a large class of continuous pseudodifferential operators considered by Albeverio and Dalecky in 1998 is contained in our generalized Hörmander class. Furthermore, in the case of a Laplacian with negative definite symbol, we develop a symbolic calculus for our operators. We show some Fredholm-criteria for them and prove that these Fredholm-operators are hypoelliptic. Moreover, in the finite dimensional case, using the Gaussian-measure instead of the Lebesgue-measure the index of these Fredholm operators is still given by Fedosov' s formula. Considering an infinite dimensional Heisenberg group rigging we discuss the connection of some representations of the Heisenberg group to pseudo-differential operators on infinite dimensional spaces. We use this connections to calculate the spectrum of pseudodifferential operators and to construct generalized Hörmander classes given by smooth elements which are spectrally invariant in $L^2(H_-,\gamma)$. Finally, given a topological space $X$ with Borel measure $\mu$, a locally compact group $G$ and a representation $B$ of $G$ in the group of all homeomorphisms of $X$, we construct a Borel measure $\mu_s$ on $X$ which is invariant under $B(G)$.Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten von Differential- und Pseudodifferentialoperatoren auf unendlich dimensionalen Hilberträumen. Es sollen klassische operatortheoretische Konzepte vom endlich dimensionalen Fall auf den unendlich dimensionalen Fall übertragen werden. Zuerst werden einige Fakten über das kanonische Gauß-Maß auf Hilbertraumtripeln zusammengefasst. Es wird gezeigt, dass es eine unitäre Äqui\-valenz $\mathcal{F}$ zwischen der natürlichen Gruppenwirkung in $L^2(H_-,\gamma)$ gegeben durch gewichtete, unitäre Verschiebungen und Multiplikationen mit e^{i\Skp{t}{\cdot}_0} gibt. In diesem Sinn kann $\mathcal{F}$ als abstrakte Fourier-Transformation aufgefasst werden. Weiterhin stimmt $\mathcal{F}$ mit der Fourier-Wiener Transformation überein, mit denen Pseudodifferentialoperatoren sowohl in Weyl-Form wie auch in Kohn-Nierenberg-Form definiert werden. In diesem Zusammenhang werden verschiedene mögliche Laplace-Operatoren untersucht, zuerst der Ornstein-Uhlenbeck-Operator und dann Pseudodifferentialoperatoren mit negative definitem Symbol. Die letzteren sind Erzeuger von $L^2_\gamma$ sub-Markovschen Halbgruppen und $L^2_\gamma$-Dirichletformen. Gramsch, Überberg und Wagner haben 1992 eine Methode zur Konstruktion von verallgemeinerten Hörmanderklassen mittels Kommutatoren beschrieben. Diesem Konzept und der Beschreibung der Hörmanderklassen \Psi_{\ro,\delta}^0 (0\leq\delta\leq\ro\leq 1) in der $C^*$-Algebra \L(L^2) durch Cordes und Beals folgend werden verallgemeinerte Hörmanderklassen konstruiert, welche $\Psi^*$-Algebren sind und auf einer Skala von Sobolevräumern wirken. Im Fall des Ornstein-Uhlenbeck Operators wird gezeigt, dass eine große Klasse von stetigen Pseudodifferentialoperatoren, welche 1998 von Albeverio und Dalecky betrachtet wurde, in verallgemeinerten Hörmanderklassen enthalten ist. Weiterhin wird im Fall eines Laplace-Operators mit negative definiten Symbol für die entsprechenden Pseudodifferentialoperatoren ein symbolischer Kalkül entwickelt, es werden Fredholmkriterien bewiesen und es wird gezeigt, dass diese Fredholmoperatoren hypoelliptisch sind. Im endlich dimensionalen Fall gilt weiterhin die Indexformel von Fedosov, auch wenn man das kanonische Gaussmaß anstelle des Lebesguemaßes betrachtet. Des Weiteren wird der Zusammenhang zwischen Darstellungen der unendlichdimensionalen Heisenberggruppe und Pseudodifferentialoperatoren auf unenedlichdimensionalen Räumen untersucht. Mit deren Hilfe wird das Spektrum von einigen Pseudodifferentialoperatoren bestimmt und es werden verallgemeinerte Hörmanderklassen, gegeben durch \Cinf-Elemente, konstruiert. Zum Abschluss wird für einen gegebenen topologischen Raum $X$ mit Borelmaß $\mu$, eine lokal kompakten Gruppe $G$ und eine Darstellung $B$ von $G$ in den Homöomorphismen von $X$, ein Borelmaß $\mu_S$ auf $X$ konstruiert, das invariant unter $B(G)$ ist

Pseudodifferential operators on Hilbert space riggings with associated psi *-algebras and generalized Hörmander classes

The present thesis is concerned with certain aspects of differential and pseudodifferential operators on infinite dimensional spaces. We aim to generalize classical operator theoretical concepts of pseudodifferential operators on finite dimensional spaces to the infinite dimensional case. At first we summarize some facts about the canonical Gaussian measures on infinite dimensional Hilbert space riggings. Considering the naturally unitary group actions in $L^2(H_-,gamma)$ given by weighted shifts and multiplication with $e^{iSkp{t}{cdot}_0}$ we obtain an unitary equivalence $F$ between them. In this sense $F$ can be considered as an abstract Fourier transform. We show that $F$ coincides with the Fourier-Wiener transform. Using the Fourier-Wiener transform we define pseudodifferential operators in Weyl- and Kohn-Nirenberg form on our Hilbert space rigging. In the case of this Gaussian measure $gamma$ we discuss several possible Laplacians, at first the Ornstein-Uhlenbeck operator and then pseudo-differential operators with negative definite symbol. In the second case, these operators are generators of $L^2_gamma$-sub-Markovian semi-groups and $L^2_gamma$-Dirichlet-forms. In 1992 Gramsch, Ueberberg and Wagner described a construction of generalized Hörmander classes by commutator methods. Following this concept and the classical finite dimensional description of $Psi_{ro,delta}^0$ ($0leqdeltaleqroleq 1$, $delta< 1$) in the $C^*$-algebra $L(L^2)$ by Beals and Cordes we construct in both cases generalized Hörmander classes, which are $Psi^*$-algebras. These classes act on a scale of Sobolev spaces, generated by our Laplacian. In the case of the Ornstein-Uhlenbeck operator, we prove that a large class of continuous pseudodifferential operators considered by Albeverio and Dalecky in 1998 is contained in our generalized Hörmander class. Furthermore, in the case of a Laplacian with negative definite symbol, we develop a symbolic calculus for our operators. We show some Fredholm-criteria for them and prove that these Fredholm-operators are hypoelliptic. Moreover, in the finite dimensional case, using the Gaussian-measure instead of the Lebesgue-measure the index of these Fredholm operators is still given by Fedosov' s formula. Considering an infinite dimensional Heisenberg group rigging we discuss the connection of some representations of the Heisenberg group to pseudo-differential operators on infinite dimensional spaces. We use this connections to calculate the spectrum of pseudodifferential operators and to construct generalized Hörmander classes given by smooth elements which are spectrally invariant in $L^2(H_-,gamma)$. Finally, given a topological space $X$ with Borel measure $mu$, a locally compact group $G$ and a representation $B$ of $G$ in the group of all homeomorphisms of $X$, we construct a Borel measure $mu_s$ on $X$ which is invariant under $B(G)$.Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten von Differential- und Pseudodifferentialoperatoren auf unendlich dimensionalen Hilberträumen. Es sollen klassische operatortheoretische Konzepte vom endlich dimensionalen Fall auf den unendlich dimensionalen Fall übertragen werden. Zuerst werden einige Fakten über das kanonische Gauß-Maß auf Hilbertraumtripeln zusammengefasst. Es wird gezeigt, dass es eine unitäre Äqui-valenz $mathcal{F}$ zwischen der natürlichen Gruppenwirkung in $L^2(H_-,gamma)$ gegeben durch gewichtete, unitäre Verschiebungen und Multiplikationen mit $e^{iSkp{t}{cdot}_0}$ gibt. In diesem Sinn kann $mathcal{F}$ als abstrakte Fourier-Transformation aufgefasst werden. Weiterhin stimmt $mathcal{F}$ mit der Fourier-Wiener Transformation überein, mit denen Pseudodifferentialoperatoren sowohl in Weyl-Form wie auch in Kohn-Nierenberg-Form definiert werden. In diesem Zusammenhang werden verschiedene mögliche Laplace-Operatoren untersucht, zuerst der Ornstein-Uhlenbeck-Operator und dann Pseudodifferentialoperatoren mit negative definitem Symbol. Die letzteren sind Erzeuger von $L^2_gamma$ sub-Markovschen Halbgruppen und $L^2_gamma$-Dirichletformen. Gramsch, Überberg und Wagner haben 1992 eine Methode zur Konstruktion von verallgemeinerten Hörmanderklassen mittels Kommutatoren beschrieben. Diesem Konzept und der Beschreibung der Hörmanderklassen $Psi_{ro,delta}^0$ ($0leqdeltaleqroleq 1$) in der $C^*$-Algebra $L(L^2)$ durch Cordes und Beals folgend werden verallgemeinerte Hörmanderklassen konstruiert, welche $Psi^*$-Algebren sind und auf einer Skala von Sobolevräumern wirken. Im Fall des Ornstein-Uhlenbeck Operators wird gezeigt, dass eine große Klasse von stetigen Pseudodifferentialoperatoren, welche 1998 von Albeverio und Dalecky betrachtet wurde, in verallgemeinerten Hörmanderklassen enthalten ist. Weiterhin wird im Fall eines Laplace-Operators mit negative definiten Symbol für die entsprechenden Pseudodifferentialoperatoren ein symbolischer Kalkül entwickelt, es werden Fredholmkriterien bewiesen und es wird gezeigt, dass diese Fredholmoperatoren hypoelliptisch sind. Im endlich dimensionalen Fall gilt weiterhin die Indexformel von Fedosov, auch wenn man das kanonische Gaussmaß anstelle des Lebesguemaßes betrachtet. Des Weiteren wird der Zusammenhang zwischen Darstellungen der unendlichdimensionalen Heisenberggruppe und Pseudodifferentialoperatoren auf unenedlichdimensionalen Räumen untersucht. Mit deren Hilfe wird das Spektrum von einigen Pseudodifferentialoperatoren bestimmt und es werden verallgemeinerte Hörmanderklassen, gegeben durch $Cinf$-Elemente, konstruiert. Zum Abschluss wird für einen gegebenen topologischen Raum $X$ mit Borelmaß $mu$, eine lokal kompakten Gruppe $G$ und eine Darstellung $B$ von $G$ in den Homöomorphismen von $X$, ein Borelmaß $mu_S$ auf $X$ konstruiert, das invariant unter $B(G)$ ist