Algebrai módszerek a Galois-geometriában = Algebraic methods in Galois-geometries

Páros q-ra stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Ez négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusú eredményt sikerült belátni másod és magasabbrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok. PG(3m-1,q) síkokkal való részleges befedéseire adtunk konstrukciókat. | For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic and general cones. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1. We gave constructions for partial plane spreads of PG(3m-1,q)

Kódelmélet és környéke = Coding theory and its neighbourhood

Kódelméletben hasznos véges projektív terek speciális egyenes-, illetve hipersíkmetszetű ponthalmazainak vizsgálata. Egyes cikkeinknek közvetlen kódelméleti alkalmazása van (itt ezeket soroljuk), mások geometriai ill. algebrai szálakkal kapcsolódnak oda. A polinomos módszer alkalmazásával bebizonyítottuk, hogy PG(2,q) egy olyan ponthalmaza, melyet minden egyenes adott r mod p pontban metsz, legalább (r-1)q+(p-1)r pontú kell legyen, ahol p a karakterisztika, r|q. Következésképp egy 3 dimenziós kód,melynek hossza és súlyai is oszthatók r-rel és minimális távolsága legalább 3, legalább (r-1)q+(p-1)r hosszú kell legyen. Ball, Blokhuis és Mazzocca híres, maximális ívek nemlétezéséről szóló tétele is egyszerűen kijön a tételből. Meghatároztuk két fontos poset, D^{k,n} és B_{m,n} automorfizmus-csoportját.A kérdéskör az insertion-deletion kódokhoz kapcsolódik. A B_{m,n} struktúra automorfizmus-csoportja korábban is ismert volt, de a hosszú bizonyítást 1 oldalasra redukáltuk. Megfogalmaztunk egy sejtést algebrai síkgörbék pontjainak számáról: n-edfokú, lineáris komponens nélküli görbének legfeljebb (n-1)q+1 pontja lehet; (n-1)q+n/2-t sikerült igazolni. Ilyen görbék hatékony kódokat adnak. Bebizonyítottuk, hogy ha egy lineáris [n,k,d]_q kód kiterjeszthető nem feltétlenül lineáris [n+1,k,d+1]_q kóddá, akkor a kiterjesztést lineáris módon is meg lehet csinálni. Eredményünk kiterjesztéséből pedig az következhetne,hogy az MDS sejtés lineáris és tetszőleges kódokra ekvivalens. | In coding theory, it is useful to study point sets of finite projective spaces with special intersection multiplicities with respect to lines and hyperplanes. Some of our papers have immediate application in coding theory (here we list those), the others are linked by its geometrical or algebraical concept. Using polynomial method, we proved that point sets of PG(n,q) intersecting each hyperplane in r mod p points have at least (r-1)q+(p-1)r points, where p is the characteristic and r|q. Hence a linear code whose length and weight are divisible by r and whose dual minimum distance is at least 3, has length at least (r-1)q+(p-1)r. Now the famous Ball-Blokhuis-Mazzocca theorem on the non-existence of maximal arcs becomes a corollary of this result. We determined the automorphism group of two important posets D^{k,n} and B_{m,n}. It was already known for B_{m,n}, but we shortened its long proof to 1 page. This topic is related to insertion-deletion codes. We conjecture that an algebraic plane curve of degree n without linear components can have at most (n-1)q+1 points, we showed that it is at most (n-1)q+n/2. Such curves give efficient codes. We proved that if a linear [n,k,d]_q code can be extended to a not necessarily linear[n+1,k,d+1]_q code then it can be done also in a linear way. From an extension of our results it would follow that the MDS-conjecture is equivalent for linear and arbirtary codes

Véges geometria = Finite geometry

Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusí eredményt sikerült belátni másodrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Ha q páros, akkor stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Az eredmény négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok. | It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic cone. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1

Diszkrét és folytonos: a gráfelmélet, algebra, analízis és geometria találkozási pontjai = Discrete and Continuous: interfaces between graph theory, algebra, analysis and geometry

Sok eredmény született a gráfok növekvő konvergens sorozataival és azok limesz-objektumaival, ill. az ezek vizsgálatára szolgáló gráf-algebrákkal kapcsolatban. Kidolgozásra kerültek a nagyon nagy sűrű gráfok (hálózatok) matematikai elméletének alapjai, és ezek alkalmazásai az extremális gráfelmélet területén. Aktív és eredményes kutatás folyt a diszkrét matematika más, klasszikus matematikai területekkel való kapcsolatával kapcsolatban: topológia (a topológiai módszer alkalmazása gráfok magjára, ill a csomók elmélete), geometriai szerkezetek merevsége (a Molekuláris Sejtés bizonyítása 2 dimenzióban), diszkrét geometriai (Bang sejtésének bizonyítása), véges geometriák (lefogási problémák, extremális problémák q-analogonjai), algebra (félcsoport varietások, gráfhatványok színezése), számelmélet (additív számelmélet, Heilbronn probléma), továbbá gráfalgoritmusok (stabilis párosítások, biológiai alkalmazások)) területén. | Several results were obtained in connection with convergent growing sequences of graphs and their limit objects, and with graph algebras facilitating their study. Basic concepts for the study of very large dense graphs were worked out, along with their applications to extremal graph theory. Active and successful research was conducted concerning the interaction of discrete mathematics with other, classical areas of mathematics: topology (applications of topology in the study of kernels of graphs, and the theory of knots), rigidity of geometric structures (proof of the Molecular Conjecture in 2 dimensions), discrete geometry (proof of the conjecture of Bang), finite geometries (blocking problems, q-analogues of extremal problems), algebra (semigroup varieties, coloring of graph powers), number theory (additive number theory, heilbronn problem), and graph algorithms (stable matchings, applications in biology)

Educate or serve: the paradox of “professional service” and the image of the west in legitimacy battles of post-socialist advertising

This article investigates a puzzle in the rapidly evolving profession of advertising in post-socialist Hungary: young professionals who came of age during the shift to market-driven practices want to produce advertising that is uncompromised by clients and consumers, and to educate others about western modernity. It is their older colleagues—trained during customer-hostile socialism—who emphasize that good professionals serve their clients’ needs. These unexpected generational positions show that 1) professions are more than groups expanding their jurisdiction. They are fields structured by two conflicting demands: autonomy of expertise and dependence on clients. We can explain the puzzle by noting that actors are positioning themselves on one or the other side based on their trajectory or movement in the field relative to other actors. Old and new groups vie for power in the transforming post-socialist professional field, responding to each other’s claims and vulnerabilities, exploiting the professional field’s contradictory demands on its actors. 2) The struggle is not between those who are oriented to the west and those that are not. Rather, the west is both the means and the stake of the struggle over historical continuity and professional power. Imposing a definition of the west is almost the same as imposing a definition of the profession on the field. In this historical case, “field” appears less as a stable structure based on actors’ equipment with capital, than as dynamic relations moved forward by contestation of the field’s relevant capital