Some renormings with the stable fixed point property

In this paper, we prove that for any number λ < (√33−3)/2, any separable space X can be renormed in such a way that X satisfies the weak fixed point property for non-expansive mappings and this property is inherited for any other isomorphic space Y such that the Banach-Mazur distance between X and Y is less than λ. We also prove that any, in general nonseparable, Banach space with an extended unconditional basis can be renormed to satisfy the w-FPP with the same stability constant.Ministerio de Ciencia e InnovaciónJunta de AndalucíaFaculty of Science, Chiangmai Universit

Genericity of the fixed point property under renorming.

Una aplicaci on T de nida de un espacio m etrico M en M se dice no expansiva si d(Tx; Ty) d(x; y) para todo x; y 2 M. Diremos que un espacio de Banach X tiene la Propiedad D ebil del Punto Fijo (w-FPP) si para toda aplicaci on no expansiva T de nida de un subconjunto d ebilmente compacto convexo C de X en C tiene un punto jo. En esta disertaci on, estudiamos principalmente la w-FPP como una propiedad gen erica en el conjunto de todas las normas equivalentes de un espacio de Banach re exivo dado. Una propiedad P se dice gen erica en un conjunto A si todos los elementos de A satisfacen P excepto aquellos pertenecientes a un conjunto de tama~no peque~no. Con el n de establecer los resultados de este trabajo, consideraremos varias nociones de conjuntos peque~nos, como por ejemplo los conjuntos de Baire de primera categor a, conjuntos porosos, conjuntos nulos Gausianos o conjuntos direccionalmente porosos. M. Fabian, L. Zaj ^cek y V. Zizler probaron que casi todos los renormamientos de un espacio uniformemente convexo en cada direcci on (UCED), en el sentido de la categor a de Baire, son tambi en UCED. Debido al resultado de M.M. Day, R.C. James y S. Swaminathan, todo espacio de Banach separable admite una norma equivalente que es uniformemente convexa en cada direcci on. Puesto que esta propiedad geom etrica implica la FPP, obtenemos la siguiente conclusi on: Si X es un espacio de Banach re exivo separable, entonces casi todos los renormamientos de X satisfacen la w-FPP. Este m etodo no es v alido para el caso de los espacios re exivos no separables. Sin embargo, recientemente T. Dom nguez Benavides ha probado que todo espacio de Banach que pueda ser sumergido en c0(��), donde �� es un conjunto arbitrario ( en particular, todo espacio re exivo) puede ser renormado para tener la w-FPP. N otese que que el espacio c0(��) no es renormable UCED cuando �� es no numerable, pero satisface la w-FPP porque R(c0(��)) < 2, donde R ( ) es el coe ciente de Garc a-Falset y todo espacio de Banach X con R(X) < 2 satisface la w-FPP. Usando la misma inmersi on, obtenemos el siguiente resultado: Sea X un espacio de Banach tal que para alg un conjunto �� existe una aplicaci on continua lineal uno a uno J : X ! c0(��). Entonces, casi todas las normas equivalentes q en X (en el sentido de la categor a de Baire) satisfacen la siguiente propiedad: Toda aplicaci on q-no-ex.pansiva, de nida desde un subconjunto convexo d ebilmente compacto C de X, en C, tiene un punto jo. En particular, si X es re exivo, entonces el espacio (X; q) satisface la FPP. Adem as, extendemos este resultado a cualquier espacio de Banach que pueda ser sumergido en un espacio de Banach Y , m as general que c0(��) y que satisfaga R(Y ) < 2. Probamos que si X es un espacio de Banach satisfaciendo R(Y ) < 2 y X un espacio de Banach que pueda ser sumergido en Y de manera continua, entonces X puede ser renormado para satisfacer la w-FPP y el conjunto de todas las renormas en X, que no satisfacen la w-FPP, es de primera categor a. En el caso del espacio C(K), donde K es un conjunto disperso tal que K(!) = ;, obtendremos que existe una norma j j que es equivalente a la norma del supremo y R(C(K); j j) < 2 (luego tiene la w-FPP). Adem as, casi todas las normas equivalentes a la norma del supremo (en el sentido de la porosidad) tambi en satisfacen la w-FPP

On nonlocal boundary value problems of nonlinear nth-order q-difference equations

Abstract In this paper, we study the existence and uniqueness of the solution of nonlocal boundary value problems of nonlinear nth-order q-difference equations. The uniqueness follows from the well-known Banach contraction principle. We prove that those q-solutions, under some conditions, converge to the classical solution when q approaches 1−. A new numerical algorithm is introduced via definition of q-calculus for solving the nonlocal boundary value problem of nonlinear nth-order q-difference equations. The numerical experiments show that the algorithm is quite accurate and efficient. Moreover, numerical results are carried out to confirm the accuracy of our theoretical results of the algorithm