The Variable-Order Fractional Calculus of Variations

This book intends to deepen the study of the fractional calculus, giving special emphasis to variable-order operators. It is organized in two parts, as follows. In the first part, we review the basic concepts of fractional calculus (Chapter 1) and of the fractional calculus of variations (Chapter 2). In Chapter 1, we start with a brief overview about fractional calculus and an introduction to the theory of some special functions in fractional calculus. Then, we recall several fractional operators (integrals and derivatives) definitions and some properties of the considered fractional derivatives and integrals are introduced. In the end of this chapter, we review integration by parts formulas for different operators. Chapter 2 presents a short introduction to the classical calculus of variations and review different variational problems, like the isoperimetric problems or problems with variable endpoints. In the end of this chapter, we introduce the theory of the fractional calculus of variations and some fractional variational problems with variable-order. In the second part, we systematize some new recent results on variable-order fractional calculus of (Tavares, Almeida and Torres, 2015, 2016, 2017, 2018). In Chapter 3, considering three types of fractional Caputo derivatives of variable-order, we present new approximation formulas for those fractional derivatives and prove upper bound formulas for the errors. In Chapter 4, we introduce the combined Caputo fractional derivative of variable-order and corresponding higher-order operators. Some properties are also given. Then, we prove fractional Euler-Lagrange equations for several types of fractional problems of the calculus of variations, with or without constraints.Comment: The final authenticated version of this preprint is available online as a SpringerBrief in Applied Sciences and Technology at [https://doi.org/10.1007/978-3-319-94006-9]. In this version some typos, detected by the authors while reading the galley proofs, were corrected, SpringerBriefs in Applied Sciences and Technology, Springer, Cham, 201

The number sense of preservice elementary school teachers, two case studies

Esta comunicación pretende presentar algunas evidencias del trabajo de investigación que se lleva a cabo en el proyecto SNUMERO, del Núcleo de investigación y Desarrollo en Educación (NIDE) del Instituto Politécnico de Leiria. Se pretende caracterizar el sentido del número en los futuros profesores de 1.er ciclo de enseñanza básica, y percibir la forma en que planifican y llevan a cabo tareas en ese ámbito, en el contexto de la práctica pedagógica. En la construcción de casos se ha empleado una metodología cualitativa de naturaleza interpretativa. Se presentan los casos de dos futuras profesoras pertenecientes al mismo núcleo de práctica. Los resultados permiten apreciar que las futuras profesoras tienen diferentes niveles de desarrollo del sentido del número, aunque ambas planifican tareas muy pertinentes en ese ámbito. La exploración de esas tareas con los alumnos presenta, en los dos casos, características propias

As espirais na obra de Francisco Gomes Teixeira

Mestrado em MatemáticaO objectivo desta dissertação é estudar um tipo de curvas notáveis, as espirais, na obra Tratado das Curvas Especiais Notáveis do ilustre matemático Francisco Gomes Teixeira. De uma forma introdutória, apresentamos uma breve descrição da origem da obra acima mencionada, bem como uma análise comparativa entre as suas duas edições Traité des Courbes e Tratado de las Curvas. No estudo das espirais, apresentamos uma descrição detalhada da abordagem feita por Gomes Teixeira, analisando algumas das suas características, principalmente sob o ponto de vista da geometria diferencial, e incluindo algumas correcções e complementos ao trabalho de Gomes Teixeira. Algumas das figuras inseridas no trabalho para ilustrar a forma das espirais, foram construídas recorrendo ao software MathGV.The aim of this thesis is the study of spirals as a special type as curves in the work Tratado das Curvas Especiais Notáveis of the famous Portuguese mathematician Francisco Gomes Teixeira. The origin of Teixeira’s work is described and a comparative study of the two different editions Traité des Courbes e Tratado de las Curvas completes the introductory part. Besides a detailed description of the treatment by Gomes Teixeira the thesis includes the discussion of almost usual characterizations of spirals as objects of elementary differential geometry, including a number of corrections and complements to the work of Gomes Teixeira. Some figures in the descriptive part of the thesis have been constructed with the software package MathGV

Cálculo das variações fracionário

Doutoramento em Matemática e AplicaçõesO cálculo de ordem não inteira, mais conhecido por cálculo fracionário, consiste numa generalização do cálculo integral e diferencial de ordem inteira. Esta tese é dedicada ao estudo de operadores fracionários com ordem variável e problemas variacionais específicos, envolvendo também operadores de ordem variável. Apresentamos uma nova ferramenta numérica para resolver equações diferenciais envolvendo derivadas de Caputo de ordem fracionária variável. Consideram- -se três operadores fracionários do tipo Caputo, e para cada um deles é apresentada uma aproximação dependendo apenas de derivadas de ordem inteira. São ainda apresentadas estimativas para os erros de cada aproximação. Além disso, consideramos alguns problemas variacionais, sujeitos ou não a uma ou mais restrições, onde o funcional depende da derivada combinada de Caputo de ordem fracionária variável. Em particular, obtemos condições de otimalidade necessárias de Euler–Lagrange e sendo o ponto terminal do integral, bem como o seu correspondente valor, livres, foram ainda obtidas as condições de transversalidade para o problema fracionário.The calculus of non–integer order, usual known as fractional calculus, consists in a generalization of integral and differential integer-order calculus. This thesis is devoted to the study of fractional operators with variable order and specific variational problems involving also variable order operators. We present a new numerical tool to solve differential equations involving Caputo derivatives of fractional variable order. Three Caputo-type fractional operators are considered, and for each one of them, an approximation formula is obtained in terms of standard (integer-order) derivatives only. Estimations for the error of the approximations are also provided. Furthermore, we consider variational problems subject or not to one or more constraints, where the functional depends on a combined Caputo derivative of variable fractional order. In particular, we establish necessary optimality conditions of Euler–Lagrange. As the terminal point in the cost integral, as well the terminal state, are free, thus transversality conditions are obtained

O conhecimento matemático de futuros professores no início da sua formação: o caso da organização e tratamento de dados

Neste artigo apresentamos parte dos resultados de um estudo que procura compreender o conhecimento matemático dos estudantes da Licenciatura em Educação Básica da Escola Superior de Educação e Ciências Sociais (ESECS) do Instituto Politécnico de Leiria (IPL), no que respeita aos 4 grandes temas matemáticos, nomeadamente números e operações, geometria e medida, organização e tratamento de dados e álgebra. Em particular, apresentamos os resultados relativos à caraterização do conhecimento acerca do tema organização e tratamento de dados dos estudantes, no momento do seu ingresso na licenciatura. Os resultados encontrados nesta fase inicial da investigação apesar de evidenciarem alguma facilidade dos estudantes no uso e interpretação de algumas representações como o gráfico de barras e o gráfico circular, mostram maiores dificuldades ao nível de outras representações como o diagrama de Carrol ou a tabela de frequências. Ao nível das medidas de localização os estudantes evidenciam maiores dificuldades no cálculo e interpretação da mediana. Adicionalmente, as maiores lacunas surgem ao nível do sentido crítico relativamente à informação, às representações e às medidas. São ainda visíveis alguns conhecimentos elementares da noção clássica de probabilidade.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

O conhecimento matemático de futuros professores dos primeiros anos: o caso dos números racionais

Neste artigo apresenta-se parte dos resultados de um estudo que procura compreender o conhecimento matemático dos estudantes da Licenciatura em Educação Básica da Escola Superior de Educação e Ciências Sociais (ESECS) do Instituto Politécnico de Leiria (IPL), no que respeita aos 4 grandes temas matemáticos, nomeadamente números e operações, geometria e medida, organização e tratamento de dados e álgebra. Por conseguinte, apresentam-se apenas os dados relativos ao conhecimento dos estudantes sobre números racionais, no momento do seu ingresso na licenciatura, e que resultaram das suas respostas a um questionário sobre números e operações, implementado aquando do referido ingresso. Os resultados encontrados nesta fase inicial da investigação, apesar de evidenciarem algum conhecimento dos estudantes sobre o significado da fração como razão, revelam dificuldades dos mesmos, nos conceitos mais elementares deste conjunto de números. Assim, salientam-se dificuldades no reconhecimento da maioria dos significados das frações, na construção da unidade de referência, na identificação de frações equivalentes, na comparação e ordenação de números racionais, no reconhecimento da sua densidade, bem como nas operações com estes números e na formulação de problemas a partir de expressões dadas.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

A literacia financeira e as necessidades de formação dos estudantes do ensino superior

A literacia financeira tornou-se uma competência social para viver e prosperar na economia moderna, afetando a estabilidade económica e financeira individual e coletiva. As decisões e riscos financeiros assumidos atualmente pela população jovem são muito mais desafiantes do que os assumidos pelas gerações antecessoras, fenómeno associado ao desenvolvimento e complexificação dos mercados financeiros, assim como ao cada vez mais fácil e precoce acesso a produtos e serviços financeiros. A título exemplificativo, os estudantes enfrentam hoje em dia decisões financeiras imediatas: a maioria já é consumidor de serviços financeiros, como contas bancárias com acesso a serviços de pagamento on-line (Lusardi, 2015). Com efeito, é de capital importância que a população jovem detenha conhecimentos financeiros que a ajude a tomar decisões financeiras complexas e que poderão vir a afetar as suas vidas no médio e longo prazo. Estudos realizados pela OCDE demonstram que a maior parte dos estudantes de países de variados níveis de desenvolvimento económico e financeiro demonstram possuir apenas competências básicas de literacia financeira, tais como diferenciar necessidades de desejos ou efetuar a comparação do valor dos bens baseada no preço por unidade (OECD, 2014). Por outro lado, a crise financeira de 2008 veio demonstrar que decisões financeiras mal informadas e inconsequentes (normalmente associadas à falta de literacia financeira) pode ter implicações dramaticamente negativas a nível individual e global (INFE/OECD 2009; OECD 2009). A literacia financeira é, portanto, verdadeiramente uma competência essencial para o século XXI (Lusardi, 2015). A presente investigação visa analisar o nível de literacia financeira dos estudantes universitários. Nesse âmbito, foi aplicado um inquérito por questionário aos estudantes do 1º ano de diversos cursos, da Escola Superior de Educação e Ciências Sociais do Instituto Politécnico de Leiria, onde se procurou avaliar a compreensão de conceitos e fenómenos financeiros tais como: o impacto da inflação nos rendimentos, avaliação das condições de um empréstimo e de um depósito e conhecimento da diferença entre um cartão de débito e um cartão de crédito. O estudo tem ainda como objetivo sistematizar as necessidades de formação financeira consciencializadas pelos estudantes e confrontar os resultados obtidos relativos à literacia financeira dos estudantes com as necessidades de formação financeira que estes estudantes evidenciam. Os resultados obtidos demonstram que os estudantes universitários não compreendem os conceitos e fenómenos financeiros de forma ampla e profunda e evidenciam consciência dos jovens relativamente às necessidades de formação na área financeira.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Impacto do isolamento familiar no uso de medicamentos potencialmente inapropriados nos idosos: um estudo exploratório

Introdução: O uso de medicamentos potencialmente inapropriados (MPIs) no idoso, frequente polimedicado, tem merecido atenção dos investigadores e profissionais de saúde, e tem sido estudado em diferentes cenários de prestação de cuidados (hospitais, lares, etc.). Este uso de MPIs acarreta não só questões com os gastos como também com a segurança do doente. Objetivos: Este estudo exploratório pretende determinar a frequência do uso de MPIs em idosos em situação de isolamento familiar; identificar os MPIs mais frequentemente envolvidos; verificar se a idade e o sexo dos idosos, além do número de medicamentos, estão relacionados com o aumento do consumo de MPIs. Metodologia e Resultados: Foi realizado um estudo retrospetivo da medicação de 7 idosos a viver em situação de isolamento familiar. O tamanho da amostra é representativa deste grupo populacional, a viver nestas circunstâncias, no concelho de Leiria (área urbana). A recolha de dados foi feita através de entrevista face-a-face, no domicílio dos utentes inquiridos, e registados pelo investigador no formulário criado para o efeito. Para identificar os MPIs foi utilizada a versão da operacionalização para Portugal dos Critérios de Beers feita por Soares et al. (2008). Os dados deste trabalho encontram-se ainda sob colheita.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Padrões visuais, raciocínio funcional e criatividade

Mestrado em Didáctica - Matemática para professores do 3º CEB/SecundárioHoje em dia, a importância da criatividade e a pouca atenção a que tem sido votada, designadamente a Matemática, são inquestionáveis. Por outro lado, as dificuldades reveladas pelos alunos ao nível do raciocínio funcional e os possíveis contributos da exploração de padrões visuais na superação de tais dificuldades têm sido destacados. Neste contexto, desenvolveu-se um estudo com o objetivo de avaliar o impacto, em alunos do 8º ano de escolaridade, da implementação de uma sequência didática na unidade “Sequências e regularidades”, operacionalizada através de tarefas focadas em padrões visuais, no desenvolvimento da criatividade e de representações em relação à mesma e do raciocínio funcional. Para concretizar a investigação, optou-se por um estudo de caso (exploratório) qualitativo que foi desenvolvido no ano letivo 2011/2012. A recolha de dados incidiu sobre alunos desta turma em geral e, em particular, em três pares de alunos. Como principais fontes de recolha de dados privilegiou-se a observação participante das aulas pela professora/investigadora, a inquirição através de questionários e entrevistas realizadas aos alunos caso, apoiada por registos áudio e fotográfico do trabalho realizado na aula, notas de campo e diário de bordo e a análise documental de uma diversidade de documentos, dos quais se destacam as resoluções das tarefas pelos alunos, os testes implementados no início e no final do estudo e alguns documentos oficiais cedidos pela Escola. Uma análise qualitativa de conteúdo dos dados recolhidos permitiu concluir que se verificou uma relevante evolução no desempenho dos alunos ao nível do raciocínio funcional. Também foi notória uma melhoria no que respeita à criatividade, em termos de fluência, flexibilidade e originalidade de respostas e às representações em relação à mesma.Nowadays, the importance of creativity and the little attention that has been given to it, namely in Mathematics, are unquestionable. Moreover, the difficulties encountered by students at functional reasoning and the possible contributions of visual patterns exploration in overcoming such difficulties have been highlighted. In this context, a study was carried out aiming to assess the impact, on 8th grade students, of the implementation of a didactic sequence in the unit “Sequences and regularities”, operationalized through tasks focused on visual patterns, in the development of creativity and its representations and functional reasoning. The method used to accomplish the investigation was a qualitative one, which was focused on a case study (exploratory) which was conducted in the school year 2011/2012. The data collection was directed to students of this class in general and, in particular, to three pairs of students. As main sources of data collection efforts were concentrated on participant observation of classes by the teacher/researcher, inquiry through questionnaires and interviews with the case students, supported by audio and photographic records of the work done in class, field notes, diary board and a documentary analysis of a variety of documents, among which are the students’ tasks resolutions, the tests implemented at the beginning and end of the study and some official documents assigned by the School. A qualitative content analysis of the data collected showed that there was a relevant evolution in student performance on functional reasoning. Also with regard to creativity and its representations, improvement was noticeable in terms of fluency, flexibility and originality of answers

Gla-rich protein (GRP) as an early and novel marker of vascular calcification and kidney dysfunction in diabetic patients with CKD: a pilot cross-sectional study

Vascular calcification (VC) is one of the strongest predictors of cardiovascular risk in chronic kidney disease (CKD) patients. New diagnostic/prognostic tools are required for early detection of VC allowing interventional strategies. Gla-rich protein (GRP) is a cardiovascular calcification inhibitor, whose clinical utility is here highlighted. The present study explores, for the first time, correlations between levels of GRP in serum with CKD developmental stage, mineral metabolism markers, VC and pulse pressure (PP), in a cohort of 80 diabetic patients with mild to moderate CKD (stages 2-4). Spearman's correlation analysis revealed a positive association of GRP serum levels with estimated glomerular filtration rate (eGFR) and α-Klotho, while a negative correlation with phosphate (P), fibroblast growth factor 23 (FGF-23), vascular calcification score (VCS), PP, calcium (x) phosphate (CaxP) and interleukin 6 (IL-6). Serum GRP levels were found to progressively decrease from stage 2 to stage 4 CKD. Multivariate analysis identified low levels of eGFR and GRP, and high levels of FGF-23 associated with both the VCS and PP. These results indicate an association between GRP, renal dysfunction and CKD-mineral and bone disorder. The relationship between low levels of GRP and vascular calcifications suggests a future, potential utility for GRP as an early marker of vascular damage in CKD.Portuguese Society of Nephrology (SPN) ; Portuguese national funds from FCT-Foundation for Science and Technology through the transitional provision DL57/2016/CP1361/CT0006 UIDB/04326/2020info:eu-repo/semantics/publishedVersio