Doutoramento em Matemática e AplicaçõesO cálculo de ordem não inteira, mais conhecido por cálculo fracionário,
consiste numa generalização do cálculo integral e diferencial de ordem
inteira. Esta tese é dedicada ao estudo de operadores fracionários
com ordem variável e problemas variacionais específicos, envolvendo
também operadores de ordem variável. Apresentamos uma
nova ferramenta numérica para resolver equações diferenciais envolvendo
derivadas de Caputo de ordem fracionária variável. Consideram-
-se três operadores fracionários do tipo Caputo, e para cada um deles
é apresentada uma aproximação dependendo apenas de derivadas de
ordem inteira. São ainda apresentadas estimativas para os erros de
cada aproximação. Além disso, consideramos alguns problemas variacionais,
sujeitos ou não a uma ou mais restrições, onde o funcional
depende da derivada combinada de Caputo de ordem fracionária variável.
Em particular, obtemos condições de otimalidade necessárias
de Euler–Lagrange e sendo o ponto terminal do integral, bem como o
seu correspondente valor, livres, foram ainda obtidas as condições de
transversalidade para o problema fracionário.The calculus of non–integer order, usual known as fractional calculus,
consists in a generalization of integral and differential integer-order calculus.
This thesis is devoted to the study of fractional operators with
variable order and specific variational problems involving also variable
order operators. We present a new numerical tool to solve differential
equations involving Caputo derivatives of fractional variable order.
Three Caputo-type fractional operators are considered, and for each
one of them, an approximation formula is obtained in terms of standard
(integer-order) derivatives only. Estimations for the error of the
approximations are also provided. Furthermore, we consider variational
problems subject or not to one or more constraints, where the functional
depends on a combined Caputo derivative of variable fractional
order. In particular, we establish necessary optimality conditions of
Euler–Lagrange. As the terminal point in the cost integral, as well the
terminal state, are free, thus transversality conditions are obtained
