Graph Searching with Advice

International audienceFraigniaud et al. [L. Blin, P. Fraigniaud, N. Nisse, S. Vial, Distributing chasing of network intruders, in: 13th Colloquium on Structural Information and Communication Complexity, SIROCCO, in: LNCS, vol. 4056, Springer-Verlag, 2006, pp. 70--84] introduced a new measure of difficulty for a distributed task in a network. The smallest number of bits of advice of a distributed problem is the smallest number of bits of information that has to be available to nodes in order to accomplish the task efficiently. Our paper deals with the number of bits of advice required to perform efficiently the graph searching problem in a distributed setting. In this variant of the problem, all searchers are initially placed at a particular node of the network. The aim of the team of searchers is to clear a contaminated graph in a monotone connected way, i.e., the cleared part of the graph is permanently connected, and never decreases while the search strategy is executed. Moreover, the clearing of the graph must be performed using the optimal number of searchers, i.e. the minimum number of searchers sufficient to clear the graph in a monotone connected way in a centralized setting. We show that the minimum number of bits of advice permitting the monotone connected and optimal clearing of a network in a distributed setting is $\Theta(nlogn)$, where n is the number of nodes of the network. More precisely, we first provide a labelling of the vertices of any graph G, using a total of O(nlogn) bits, and a protocol using this labelling that enables the optimal number of searchers to clear G in a monotone connected distributed way. Then, we show that this number of bits of advice is optimal: any distributed protocol requires $\Omega(nlogn)$ bits of advice to clear a network in a monotone connected way, using an optimal number of searchers

Le coût de la monotonie dans les stratégies d'encerclement réparti

National audienceL'encerclement dans les réseaux vise à réaliser le nettoyage, par une équipe d'agents mobiles, d'un réseau contaminé. La stratégie d'encerclement est calculée en temps réel, par les agents eux mêmes, et doit vérifier les trois propriétés suivantes : (1) connexité : la zone nettoyée doit toujours être connexe de façon à assurer des communications sécurisées entre les agents, (2) monotonie : la zone nettoyée ne doit jamais être recontaminée, ce qui permet un temps de nettoyage polynomial en la taille du réseau, et (3) optimalité : le nombre d'agents utilisés doit être le plus petit possible afin de minimiser la taille des ressources utilisées. Etant donné un graphe G, le plus petit nombre d'agents nécessaire pour nettoyer G de façon monotone connexe dans un contexte centralisé est noté mcs(G). Plusieurs protocoles répartis ont été proposés pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux. Blin et al. ont proposé un algorithme distribué permettant à mcs(G) agents de déterminer et de réaliser une stratégie d'encerclement dans tout graphe inconnu G (inconnu signifie que les agents n'ont aucune connaissance a priori concernant le graphe) [AlgoTel'06]. Cependant, la stratégie réalisée n'est pas monotone et peut prendre un temps exponentiel. Nisse et Soguet ont prouvé que, pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux, il est nécessaire et suffisant de fournir $\Theta(n\log{n})$ bits d'information aux agents par le biais d'un étiquetage des sommets du graphe [AlgoTel'07]. Ainsi, pour nettoyer un graphe inconnu de façon monotone et connexe, il est nécessaire d'utiliser plus d'agents que l'optimal. Dans cet article, nous étudions la proportion d'agents supplémentaires qui sont nécessaires et suffisants pour nettoyer de façon monotone connexe répartie tout graphe inconnu. Nous montrons que la contrainte de monotonie implique une augmentation drastique de ce nombre d'agents. Nous prouvons que tout protocole distribué ayant pour but de nettoyer tout graphe inconnu de n sommets de façon monotone connexe répartie a un ratio compétitif de $\Theta(n/\log{ n})$. Plus précisément, nous prouvons que pour tout protocole distribué P, il existe une constante c tel que pour tout n suffisamment grand, il existe un graphe G de n sommets tel que P requiert au moins $c.n/\log{ n}$ mcs(G) agents pour nettoyer G. De plus, nous proposons un protocole distribué qui permet à $O(n/\log{ n})$ mcs(G) agents de nettoyer tout graphe inconnu G de n sommets, de façon monotone connexe répartie

Stratégies d'encerclement avec information

National audienceDans le cadre de l'algorithmique réparti dans les réseaux, l'efficacité d'un algorithme dépend très fortement de la connaissance du réseau, disponible a priori. Très souvent, cette connaissance a priori est de nature qualitative (taille du réseau, son diamètre, etc.). Fraigniaud et al. (2006) ont introduit une mesure quantitative de la complexité d'une tâche répartie dans un réseau. Etant donné un problème réparti, cette mesure, la taille d'oracle, consiste en le plus petit nombre de bits d'information dont doit disposer l'algorithme pour résoudre le problème efficacement. Nous nous intéressons à la taille d'oracle permettant de résoudre efficacement l'encerclement dans les graphes. L'encerclement dans les réseaux vise à réaliser la capture d'un fugitif invisible, arbitrairement rapide et omniscient, par une équipe d'agents mobiles, dans un réseau. La stratégie d'encerclement est calculée en temps réel, par les agents eux mêmes, et doit vérifier les trois propriétés suivantes: (1) connexité : la zone nettoyée doit toujours être connexe, (2) monotonie : la zone nettoyée ne doit jamais être recontaminée, et (3) optimalité : le nombre d'agents utilisés doit être le plus petit possible. Les deux premières contraintes assurent des communications sécurisées entre les agents, ainsi qu'un temps de nettoyage polynomial en la taille du réseau. La troisième propriété assure une taille minimum des ressources utilisées. La seule connaissance, concernant le réseau, dont les agents disposent a priori, est modélisée par un oracle qui répartit sur les noeuds du réseau une chaÎne de bits d'information. Nous prouvons que la taille d'oracle pour résoudre l'encerclement est O(n log n) bits, avec n la taille du réseau, et que cette borne est optimale. Plus précisément, nous proposons un étiquetage des sommets, de taille O(n log n) bits, et un protocole réparti utilisant cet étiquetage. Ce protocole permet à une équipe d'agents, dont la mémoire est de taille O(log n) bits, de nettoyer le réseau de façon optimale monotone et connexe. Ce protocole améliore le protocole proposé par Blin et al. (2006) qui ne dispose d'aucune information a priori et, de ce fait, nécessite un temps de nettoyage exponentiel. De plus, nous prouvons qu'il n'existe pas de protocole réparti utilisant un oracle de taille o(n log n) bits qui permette de nettoyer tous les réseaux de façon optimale monotone et connexe

Le coût de la monotonie dans les stratégies d’encerclement réparti

National audienceL'encerclement dans les réseaux vise à réaliser le nettoyage, par une équipe d'agents mobiles, d'un réseau contaminé. La stratégie d'encerclement est calculée en temps réel, par les agents eux mêmes, et doit vérifier les trois propriétés suivantes : (1) connexité : la zone nettoyée doit toujours être connexe de façon à assurer des communications sécurisées entre les agents, (2) monotonie : la zone nettoyée ne doit jamais être recontaminée, ce qui permet un temps de nettoyage polynomial en la taille du réseau, et (3) optimalité : le nombre d'agents utilisés doit être le plus petit possible afin de minimiser la taille des ressources utilisées. Etant donné un graphe G, le plus petit nombre d'agents nécessaire pour nettoyer G de façon monotone connexe dans un contexte centralisé est noté mcs(G). Plusieurs protocoles répartis ont été proposés pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux. Blin et al. ont proposé un algorithme distribué permettant à mcs(G) agents de déterminer et de réaliser une stratégie d'encerclement dans tout graphe inconnu G (inconnu signifie que les agents n'ont aucune connaissance a priori concernant le graphe) [AlgoTel'06]. Cependant, la stratégie réalisée n'est pas monotone et peut prendre un temps exponentiel. Nisse et Soguet ont prouvé que, pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux, il est nécessaire et suffisant de fournir $\Theta(n\log{n})$ bits d'information aux agents par le biais d'un étiquetage des sommets du graphe [AlgoTel'07]. Ainsi, pour nettoyer un graphe inconnu de façon monotone et connexe, il est nécessaire d'utiliser plus d'agents que l'optimal. Dans cet article, nous étudions la proportion d'agents supplémentaires qui sont nécessaires et suffisants pour nettoyer de façon monotone connexe répartie tout graphe inconnu. Nous montrons que la contrainte de monotonie implique une augmentation drastique de ce nombre d'agents. Nous prouvons que tout protocole distribué ayant pour but de nettoyer tout graphe inconnu de n sommets de façon monotone connexe répartie a un ratio compétitif de $\Theta(n/\log{ n})$. Plus précisément, nous prouvons que pour tout protocole distribué P, il existe une constante c tel que pour tout n suffisamment grand, il existe un graphe G de n sommets tel que P requiert au moins $c.n/\log{ n}$ mcs(G) agents pour nettoyer G. De plus, nous proposons un protocole distribué qui permet à $O(n/\log{ n})$ mcs(G) agents de nettoyer tout graphe inconnu G de n sommets, de façon monotone connexe répartie

The Cost of Monotonicity in Distributed Graph Searching

International audienceBlin et al. (TCS 2008) proposed a distributed protocol enabling the smallest possible number of searchers to clear any unknown graph in a decentralized manner. However, the strategy that is actually performed lacks of an important property, namely the monotonicity. This paper deals with the smallest number of searchers that are necessary and sufficient to monotonously clear any unknown graph in a decentralized manner. The clearing of the graph is required to be connected, i.e., the clear part of the graph must remain permanently connected, and monotone, i.e., the clear part of the graph only grows. We prove that a distributed protocol clearing any unknown $n$-node graph in a monotone connected way, in a decentralized setting, can achieve but cannot beat competitive ratio of $\Theta(\frac{n}{\log n})$, compared with the centralized minimum number of searchers. Moreover, our lower bound holds even in a synchronous setting, while our constructive upper bound holds even in an asynchronous setting