Incomplete Quadratic Exponential Sums in Several Variables

We consider incomplete exponential sums in several variables of the form S(f,n,m) = \frac{1}{2^n} \sum_{x_1 \in \{-1,1\}} ... \sum_{x_n \in \{-1,1\}} x_1 ... x_n e^{2\pi i f(x)/p}, where m>1 is odd and f is a polynomial of degree d with coefficients in Z/mZ. We investigate the conjecture, originating in a problem in computational complexity, that for each fixed d and m the maximum norm of S(f,n,m) converges exponentially fast to 0 as n grows to infinity. The conjecture is known to hold in the case when m=3 and d=2, but existing methods for studying incomplete exponential sums appear to be insufficient to resolve the question for an arbitrary odd modulus m, even when d=2. In the present paper we develop three separate techniques for studying the problem in the case of quadratic f, each of which establishes a different special case of the conjecture. We show that a bound of the required sort holds for almost all quadratic polynomials, a stronger form of the conjecture holds for all quadratic polynomials with no more than 10 variables, and for arbitrarily many variables the conjecture is true for a class of quadratic polynomials having a special form.Comment: 31 pages (minor corrections from original draft, references to new results in the subject, publication information

Теорема о среднем значении тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа

The mean-value theorem for trigonometric sums on the sequence of binomial type polynomials was proved.As known, the classical I. M. Vinogradov mean-value theorem belong to the sequence of polynomials of the form $\{x^n, n\geq 0\}.$ Estimates of sums of the kind$$\sum_{m\leq P}e^{2\pi if(m)}, f(m)=\sum_{k=0}^n\alpha_kp_k(m),$$are the important application of the finding mean-value theorem.Here $p_k(x)$ is the sequence integer-valued polynomials of the binomial type, but a set of numbers $(\alpha_1\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ represents a point of the $n$-fold unit cube \Omega: 0\leq \alpha_1,\dots,\alpha_n<1.Доказана теорема о среднем для тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа. Как известно, классическая теорема И. М. Виноградова о среднем [10] относится к последовательности многочленов вида $\{x^n, n\geq 0\}.$Важным приложением найденной теоремы о среднем являются оценки сумм вида$$\sum_{m\leq P}e^{2\pi if(m)}, f(m)=\sum_{k=0}^n\alpha_kp_k(m),$$где $p_k(x)$ - последовательность целозначных многочленов биномиального типа,а набор чисел $(\alpha_1\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ представляет собой точку $n$-мерного единичного куба $\Omega: 0\leq \alpha_1,\dots,$ $\alpha_n&lt;1.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СУММЫ И ГАУССОВА ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ

The paper presents the fundamentals of the theory of arithmetic sums and oscillatory integrals of polynomials Bernoulli, an argument that is the real function of a certain differential properties. Drawing an analogy with the method of trigonometric sums I. M. Vinogradov. The introduction listed problems in number theory and mathematical analysis, which deal the study of the above mentioned sums and integrals. Research arithmetic sums essentially uses a functional equation type Gauss theorem for multiplication of the Euler gamma function. Estimations of the individual arithmetic the amounts found indicators of convergence of their averages. In particular, the problems are solved analogues Hua Loo-Keng for one-dimensional integrals and sums.  В работе изложены основы теории арифметических сумм и осцилля­ торных интегралов от многочленов Бернулли, аргумент в которых являет­ ся вещественной функцией с определенными дифференциальными свой­ ствами. Проводится аналогия с методом тригонометрических сумм И. М. Ви­ ноградова. Во введении приведены задачи теории чисел и математического анали­ за, которые имеют дело с изучением указанных выше сумм и интегралов. Исследование арифметических сумм существенно использует функци­ ональное уравнение типа теоремы Гаусса умножения для гамма-функции Эйлера. Получены оценки индивидуальных арифметических сумм, найдены показатели сходимости их средних значений. В частности, решаются ана­ логи проблем Хуа Ло-кена для одномерных сумм и интегралов.

Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли

The conception of Generalized Gaussian Sum $$G_f(m)$$ for  a periodic arithmetical functon with a period, is equal prime number q, for integers m,n is introduce: $$G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right).$$ Here are considered the particular cases $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ where $$B_\nu(x)$$ - Bernoulli polynomials. The paper uses the technique of finite Fourier series. If the function $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ is defined at $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ it can be decomposed into a finite Fourier series $$f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}.$$ By decomposition into a finite Fourier series of a generalized Gauss sum $$G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)}$$ for $$\nu=1$$ and $$\nu=2$$ , new formulas are found that Express the value of the Legendre symbol through the full sums of periodic functions. This circumstance makes it possible to obtain new analytical properties of the corresponding Dirichlet series and arithmetic functions, which will be the topic of the following works. An important property of the sums $$G_1$$ and $$G_2,$$ namely: $$G_1\ne 0,$$ if $$q\equiv 3\pmod 4$$ and $$G_1=0,$$ if $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ if $$q\equiv 3\pmod 4$$ and $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ if $$q\equiv 1\pmod 4.$$Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу q, при целых m,n вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $$G_f(m)$$ с символом Лежандра $$\left(\frac nq\right)$$: $$G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right).$$ Рассмотрены частные случаи $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ где $$B_\nu(x)$$ - многочлены Бернулли. В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ определена в точках $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ то её можно разложить в конечный ряд Фурье $$f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}.$$ С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса $$G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)}$$ при $$\nu=1$$ и $$\nu=2$$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ. В работе обнаружено важное свойство сумм $$G_1$$ и $$G_2,$$ а именно: $$G_1\ne 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_1=0,$$ если $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$  и $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ если $$q\equiv 1\pmod 4.$

Об одной теореме о среднем значении кратных тригонометрических сумм

A mean-value theorem for multiple trigonometric generalizing from the G. I. Arkhipov’stheorem [12, 13] was proved. The first theorem of the similar type lies in the core of theI. M. Vinogradov’s method [2]. In the paper the version of theorem with “similar” lengths ofchanging intervals of variables. Estimates of zeta-sums of the form$$\sum_{n\leq P}n^{it}.$$are the interesting application of the I. M. Vinogradov's method. The similar application of the mean-value theorem proving by us serve the estimate of sums of the form$$\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.$$Доказана теорема о среднем для кратных тригонометрических сумм, обобщающая теорему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградова являются оценки дзетовых сумм вида$$\sum_{n\leq P}n^{it}.$$Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида$$\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.$

ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

By M. P. Mineev’s method of basic and auxiliary systems, we prove a theorem on a number of solutions of some inhomogeneous Diophantine equation with variables from a lacunar sequence of natural numbers. Using Bernoulli numbers, we obtain a polynomial-type expression for the number of basic systems. The estimates for the number of auxiliary systems are also given. С помощью метода М. П. Минеева основных и вспомогательных систем доказана теорема о количестве решений диофантова неоднородного уравнения с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел. Исследован вопрос о количестве основных систем и для него получено полиномиальное выражение с использованием чисел Бернулли. Получены оценки для числа вспомогательных систем.

ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

.

Теорема о среднем для неполных рациональных тригонометрических сумм

For 2k &gt; 0.5n(n+1)+1 0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1,w = [lnn/lnp,] the asymptotic formulas was proved for the number of solutions of the system of congruences{x1 +···+ xk ≡ y1 +···+ yk (mod pm)xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod pm)},where unknowns x1,...,xk,y1,...,yk run values up 1 to pm−l from the complete system residues by modulo pm. The finding formula for 2k ≤ 0.5n(n + 1) + 1 has no the place.Let be 1 ≤ s &lt; r &lt; ··· &lt; n,s + r +···+ n &lt; 0.5n(n + 1),0 ≤ l ≤ 0,5k −w−1. Then as2 k &gt; s + r +···+ n for the number of the system of congruencies{xs/1 +•••+ xs/k ≡ ys/1 +•••+ ys/k (mod pm)xr/1 +•••+ xr/k ≡ yr/1 +•••+ yr/k (mod pm)xn/1 +•••+ xn/k ≡ yn/1 +•••+ yn/k (mod pm)},, where unknowns x1,...,xk,y1,...,yk run values up 1 to pm−l from the complete system residues by modulo pm, was found the asymptotic formula. This formula has no place as 2k ≤ s + r +···+ n.При 2k &gt; 0.5n(n+1)+1 0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1,w = [lnn/lnp,] доказана асимптотическая формула для числа решений системы сравнений{x1 +···+ xk ≡ y1 +···+ yk (mod pm)Xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod pm)},где неизвестные x1,...,xk,y1,...,yk пробегают значения от 1 до pm−l из полной системы вычетов по модулю pm.При 2k ≤ 0.5n(n + 1) + 1 найденная формула не имеет места. Пусть 1 ≤ s &lt; r &lt; ··· &lt; n,s + r +···+ n &lt; 0.5n(n + 1),0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1. Тогда при2 k &gt; s + r +···+ n для числа решений системы сравнений{xs/1 +···+ xs/k ≡ ys/1 +···+ ys/k (mod pm)xr/1 +···+ xr/k ≡ yr/1 +···+ yr/k (mod pm)xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod pm)},где неизвестные x1,...,xk,y1,...,yk принимают значения от 1 до pm−l из полной системы вычетов по модулю pm, найдена асимптотическая формула. Эта формула не имеет места при 2k ≤ s + r +···+ n

О показателях сходимости особого интеграла и особого ряда одной многомерной проблемы

In the paper we continue studies on the theory of multivariate trigonometric sums, in the base of which lies of the I. M. Vinogradov's method. Here we obtain for $$n=r=2$$ lower estimates of the convergence exponent of the singular series and the singular integral of the asymptotic formulas for $$P\to\infty$$ for the number of solutions of the following system of Diophantine equations$$\sum_{j=1}^{2k}(-1)^jx_{1,j}^{t_1}\dots x_{r,j}^{t_r}=0,\quad 0\leq t_1,\dots, t_r\leq n,$$where $$n\geq 2,r\geq 1, k$$ are natural numbers, moreover an each variable $$x_{i,j}$$ can takeall integer values from 1 to $$P\geq 1.$$В статье продолжены исследования по теории кратных тригонометрических сумм, в основе которой лежит метод И. М. Виноградова. Здесь мы находим для $$n=r=2$$ оценки снизу показателей сходимости особого ряда и особого интеграла асимптотической формулы при $P\to\infty$для числа решений следующей системы диофантовых уравнений$$\sum_{j=1}^{2k}(-1)^jx_{1,j}^{t_1}\dots x_{r,j}^{t_r}=0,\quad 0\leq t_1,\dots, t_r\leq n,$$где $$n\geq 2,r\geq 1, k$$ - натуральные числа, причём каждая переменная $$x_{i,j}$$ может принимать все целые значения от 1 до $$P\geq 1.$

О КОНФЕРЕНЦИИ ПАМЯТИ АНАТОЛИЯ АЛЕКСЕЕВИЧА КАРАЦУБЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯМ

In January, 2014, the I’st one-day international “Conference to the Memory of A.A. Karatsuba on Number Theory and Applications” took place in Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of sciences. The aims of this conference were presentation of new and important results in different branches of number theory (especially in branches connected with works of A. A. Karatsuba), the exchange by new number-theoretical ideas and insight with new methods and tendencies in number theory. The 2’nd Conference was organized by Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of sciences together with Moscow State university in January, 2015. The present paper contains wide annotations of reports of 2’nd Conference.  В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям”. Целями этой конференции были представление новых и значимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаны с творчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеями и ознакомление с новыми методами и тенденциями в теории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015 г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.