On the Graceful Cartesian Product of Alpha-Trees

A \emph{graceful labeling} of a graph $G$ of size $n$ is an injective assignment of integers from the set $\{0,1,\dots,n\}$ to the vertices of $G$ such that when each edge has assigned a \emph{weight}, given by the absolute value of the difference of the labels of its end vertices, all the weights are distinct. A graceful labeling is called an $\alpha$-labeling when the graph $G$ is bipartite, with stable sets $A$ and $B$, and the labels assigned to the vertices in $A$ are smaller than the labels assigned to the vertices in $B$. In this work we study graceful and $\alpha$-labelings of graphs. We prove that the Cartesian product of two $\alpha$-trees results in an $\alpha$-tree when both trees admit $\alpha$-labelings and their stable sets are balanced. In addition, we present a tree that has the property that when any number of pendant vertices are attached to the vertices of any subset of its smaller stable set, the resulting graph is an $\alpha$-tree. We also prove the existence of an $\alpha$-labeling of three types of graphs obtained by connecting, sequentially, any number of paths of equal size

Discussion On Some Important Topics in Graph Theory

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Some Investigations in the Theory of Graphs

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A Creative Review on Integer Additive Set-Valued Graphs

For a non-empty ground set $X$, finite or infinite, the {\em set-valuation} or {\em set-labeling} of a given graph $G$ is an injective function $f:V(G) \to \mathcal{P}(X)$, where $\mathcal{P}(X)$ is the power set of the set $X$. A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) \to \mathcal{P}(X)$ such that the function $f^{\ast}:E(G)\to \mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\ast}(uv) = f(u){\ast} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $\ast$ is a binary operation on sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G)\to \mathcal{P}({\mathbb{N}_0})$ such that the induced function $f^+:E(G) \to \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers. In this paper, we critically and creatively review the concepts and properties of integer additive set-valued graphs.Comment: 14 pages, submitted. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1312.7672, arXiv:1312.767

Sumset Valuations of Graphs and Their Applications

International audienc

Some Topics of Special Interest in Graph Theory

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Rotulações graciosas e rotulações semifortes em grafos

Orientador: Christiane Neme CamposTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Três problemas de rotulação em grafos são investigados nesta tese: a Conjetura das Árvores Graciosas, a Conjetura 1,2,3 e a Conjetura 1,2. Uma rotulação graciosa de um grafo simples G=(V(G),E(G)) é uma função injetora f de V(G) em {0,...,|E(G)|} tal que {|f(u)-f(v)|: uv em E(G)} = {1,...,|E(G)|}. A Conjetura das Árvores Graciosas, proposta por Rosa e Kotzig em 1967, afirma que toda árvore possui uma rotulação graciosa. Um problema relacionado à Conjetura das Árvores Graciosas consiste em determinar se, para todo vértice v de uma árvore T, existe uma rotulação graciosa de T que atribui o rótulo 0 a v. Árvores com tal propriedade são denominadas 0-rotativas. Nesta tese, apresentamos famílias infinitas de caterpillars 0-rotativos. Nossos resultados reforçam a conjetura de que todo caterpillar com diâmetro pelo menos cinco é 0-rotativo. Também investigamos uma rotulação graciosa mais restrita, chamada rotulação-alpha. Uma rotulação graciosa f de G é uma rotulação-alpha se existir um inteiro k, 0 <= k <= |E(G)|, tal que, para toda aresta uv em E(G), f(u) <= k < f(v) ou f(v) <= k < f(u). Nesta tese, apresentamos duas famílias de lobsters com grau máximo três que possuem rotulações-alpha. Nossos resultados contribuem para uma caracterização de todos os lobsters com grau máximo três que possuem rotulações-alpha. Na segunda parte desta tese, investigamos generalizações da Conjetura 1,2,3 e da Conjetura 1,2. Dado um grafo simples G = (V(G),E(G)) e um subconjunto L dos números reais, dizemos que uma função f de E(G) em L é uma L-rotulação de arestas de G e dizemos que uma função f da união de V(G) com E(G) em L é uma L-rotulação total de G. Para todo vértice v de G, a cor de v, C(v), é definida como a soma dos rótulos das arestas incidentes em v, se f for uma L-rotulação de arestas de G. Se f for uma L-rotulação total, C(v) é a soma dos rótulos das arestas incidentes no vértice v mais o valor f(v). O par (f,C) é uma L-rotulação de arestas semiforte (L-rotulação total semiforte) se f for uma rotulação de arestas (rotulação total) e C(u) for diferente de C(v) para quaisquer dois vértices adjacentes u,v de G. A Conjetura 1,2,3, proposta por Karónski et al. em 2004, afirma que todo grafo simples e conexo com pelo menos três vértices possui uma {1,2,3}-rotulação de arestas semiforte. A Conjetura 1,2, proposta por Przybylo e Wozniak em 2010, afirma que todo grafo simples possui uma {1,2}-rotulação total semiforte. Sejam a,b,c três reais distintos. Nesta tese, nós investigamos {a,b,c}-rotulações de arestas semifortes e {a,b}-rotulações totais semifortes para cinco famílias de grafos: as potências de caminho, as potências de ciclo, os grafos split, os grafos cobipartidos regulares e os grafos multipartidos completos. Provamos que essas famílias possuem tais rotulações para alguns valores reais a,b,c. Como corolário de nossos resultados, obtemos que a Conjetura 1,2,3 e a Conjetura 1,2 são verdadeiras para essas famílias. Além disso, também mostramos que nossos resultados em rotulações de arestas semifortes implicam resultados similares para outro problema de rotulação de arestas relacionadoAbstract: This thesis addresses three labelling problems on graphs: the Graceful Tree Conjecture, the 1,2,3-Conjecture, and the 1,2-Conjecture. A graceful labelling of a simple graph G=(V(G),E(G)) is an injective function f from V(G) to {0,...,|E(G)|} such that {|f(u)-f(v)| : uv in E(G)} = {1,...,|E(G)|}. The Graceful Tree Conjecture, posed by Rosa and Kotzig in 1967, states that every tree has a graceful labelling. A problem connected with the Graceful Tree Conjecture consists of determining whether, for every vertex v of a tree T, there exists a graceful labelling of T that assigns label 0 to v. Trees with such a property are called 0-rotatable. In this thesis, we present infinite families of 0-rotatable caterpillars. Our results reinforce a conjecture that states that every caterpillar with diameter at least five is 0-rotatable. We also investigate a stronger type of graceful labelling, called alpha-labelling. A graceful labelling f of G is an alpha-labelling if there exists an integer k with 0<= k <= |E(G)| such that, for each edge uv in E(G), either f(u) <= k < f(v) or f(v) <= k < f(u). In this thesis, we prove that the following families of lobsters have alpha-labellings: lobsters with maximum degree three, without Y-legs and with at most one forbidden ending; and lobsters T with a perfect matching M such that the contracted tree T/M has a balanced bipartition. These results point towards a characterization of all lobsters with maximum degree three that have alpha-labellings. In the second part of the thesis, we focus on generalizations of the 1,2,3-Conjecture and the 1,2-Conjecture. Given a simple graph G=(V(G),E(G)) and a subset L of real numbers, we call a function f from E(G) to L an L-edge-labelling of G, and we call a function f from V(G) union E(G) to L an L-total-labelling of G. For each vertex v of G, the colour of v, C(v), is defined as the sum of the labels of its incident edges, if f is an L-edge-labelling. If f is an L-total-labelling, C(v) is the sum of the labels of the edges incident with vertex v plus the label f(v). The pair (f,C) is a neighbour-distinguishing L-edge-labelling (neighbour-distinguishing L-total-labelling) if f is an edge-labelling (total-labelling) and C(u) is different from C(v), for every edge uv in E(G). The 1,2,3-Conjecture, posed by Kar\'onski et al. in 2004, states that every connected simple graph with at least three vertices has a neighbour-distinguishing {1,2,3}-edge-labelling. The 1,2-Conjecture, posed by Przybylo and Wozniak in 2010, states that every simple graph has a neighbour-distinguishing {1,2}-total-labelling. Let a,b,c be distinct real numbers. In this thesis, we investigate neighbour-distinguishing {a,b,c}-edge-labellings and neighbour-distinguishing {a,b}-total labellings for five families of graphs: powers of paths, powers of cycles, split graphs, regular cobipartite graphs and complete multipartite graphs. We prove that these families have such labellings for some real values a, b, and c. As a corollary of our results, we obtain that the 1,2,3-Conjecture and the 1,2-Conjecture are true for these families. Furthermore, we also show that our results on neighbour-distinguishing edge-labellings imply similar results on a closely related problem called detectable edge-labelling of graphsDoutoradoCiência da ComputaçãoDoutor em Ciência da Computação2014/16861-8FAPESPCAPE

Rotulações próprias por gap : variantes de arestas e de vértices

Orientadores: Christiane Neme Campos, Rafael Crivellari Saliba SchoueryDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Uma rotulação própria é uma atribuição de valores numéricos aos elementos de um grafo, que podem ser seus vértices, arestas ou ambos, de modo a obter - usando certas funções matemáticas sobre o conjunto de rótulos - uma coloração dos vértices do grafo tal que nenhum par de vértices adjacentes receba a mesma cor. Este texto aborda o problema da rotulação própria por gap em suas versões de arestas e de vértices. Na versão de arestas, um vértice de grau pelo menos dois tem sua cor definida como a maior diferença, i.e. o maior gap, entre os rótulos de suas arestas incidentes; já na variante de vértices, o gap é definido pela maior diferença entre os rótulos dos seus vértices adjacentes. Para vértices de grau um, sua cor é dada pelo rótulo da sua aresta incidente, no caso da versão de arestas, e pelo rótulo de seu vértice adjacente, no caso da versão de vértices. Finalmente, vértices de grau zero recebem cor um. O menor número de rótulos para o qual um grafo admite uma rotulação própria por gap de arestas vértices é chamado edge-gap (vertex-gap) number. Neste trabalho, apresentamos um breve histórico das rotulações próprias por gap e os resultados obtidos para as duas versões do problema. Estudamos o edge-gap e o vertex-gap numbers para as famílias de ciclos, coroas, rodas, grafos unicíclicos e algumas classes de snarks. Adicionalmente, na versão de vértices, investigamos a família de grafos cúbicos bipartidos hamiltonianos, desenvolvendo diversas técnicas de rotulação para grafos nesta classe. Em uma abordagem relacionada, provamos resultados de complexidade para a família dos grafos subcúbicos bipartidos. Além disso, demonstramos propriedades estruturais destas rotulações de vértices por gap e estabelecemos limitantes inferiores e superiores justos para o vertex-gap number de grafos arbitrários. Mostramos, ainda, que nem todos os grafos admitem uma rotulação de vértices por gap, exibindo duas famílias infinitas que não admitem tal rotulação. A partir dessas classes, definimos um novo parâmetro chamado de gap-strength, referente ao menor número de arestas que precisam ser removidas de um grafo de modo a obter um novo grafo que é gap-vértice-rotulável. Estabelecemos um limitante superior para o gap-strength de grafos completos e apresentamos evidências de que este valor pode ser um limitante inferiorAbstract: A proper labelling is an assignment of numerical values to the elements of a graph, which can be vertices, edges or both, so as to obtain - through the use of mathematical functions over the set of labels - a vertex-colouring of the graph such that every pair of adjacent vertices receives different colours. This text addresses the proper gap-labelling problem in its edge and vertex variants. In the former, a vertex of degree at least two has its colour defined by the largest difference, or gap, among the labels of its incident edges; in the vertex variant, the gap is defined by the largest difference among the labels of its adjacent vertices. For a degree-one vertex, its colour is defined by the label of its incident edge, in the edge version, and by the label of its adjacent vertex, in the vertex variant. Finally, degree-zero vertices receive colour one. The least number of labels for which a graph admits a proper gap-labelling of its edges (vertices) is called the edge-gap (vertex-gap) number. In this work, we present a brief history of proper gap-labellings and our results for both versions of the problem. We study the edge-gap and vertex-gap numbers for the families of cycles, crowns, wheels, unicyclic graphs and some classes of snarks. Additionally, in the vertex version, we investigate the family of cubic bipartite hamiltonian graphs and develop several labelling techniques for graphs in this class. In a related approach, we prove hardness results for the family of subcubic bipartite graphs. Also, we demonstrate structural properties of gap-vertex-labelable graphs and establish tight lower and upper bounds for the vertex-gap number of arbitrary graphs. We also show that not all graphs admit a proper gap-labelling, exhibiting two infinite families of graphs for which no such vertex-labelling exists. Thus, we define a new parameter called the gap-strength of graphs, which is the least number of edges that have to be removed from a graph so as to obtain a new, gap-vertex-labelable graph. We establish an upper bound for the gap-strength of complete graphs and argue that this value can also be used as a lower boundMestradoCiência da ComputaçãoMestre em Ciência da ComputaçãoCAPE

Discrete Mathematics and Symmetry

Some of the most beautiful studies in Mathematics are related to Symmetry and Geometry. For this reason, we select here some contributions about such aspects and Discrete Geometry. As we know, Symmetry in a system means invariance of its elements under conditions of transformations. When we consider network structures, symmetry means invariance of adjacency of nodes under the permutations of node set. The graph isomorphism is an equivalence relation on the set of graphs. Therefore, it partitions the class of all graphs into equivalence classes. The underlying idea of isomorphism is that some objects have the same structure if we omit the individual character of their components. A set of graphs isomorphic to each other is denominated as an isomorphism class of graphs. The automorphism of a graph will be an isomorphism from G onto itself. The family of all automorphisms of a graph G is a permutation group