On Doubly Periodic Solutions of Quasilinear Hyperbolic Equations of the Fourth Order

The problem on doubly periodic solutions is considered for a class of quasilinear hyperbolic equations. Effective sufficient conditions of solvability and unique solvability of this problem are established

Критерій осциляції для сублінійних диференціальних рівнянь із запізненням

In the interval $[a,+\infty[$, the sublinear differential equations of order $n\geqslant 2$ are considered. A solution of such equation is called proper if it is not identically equal to zero in any neighbourhood of $+\infty$. The proper solution is called oscillatory if it changes its sign in any neighbourhood of $+\infty$. We say that the equation has property $A$ if every its proper solution for $n$ even is oscillatory, and for $n$ odd either oscillatory or monotone and vanishing at infinity together with their derivatives up to order $n-1$, inclusive. To investigate oscillatory properties of the above-mentioned equations the sets \linebreak $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ and $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ of sublinear with respect to the second argument continuous functions $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R$ are introduced (see Definitions \ref def:1Рассматривается сублинейное дифференциальное уравнение порядка $n\geqslant 2$ на интервале $[a,+\infty[$. Решение такого уравнения называется правильным, если оно не равно нулю в любой окрестности $+\infty$. Правильное решение называется осциллирующим, если оно меняет совй знак в любой окрестности $+\infty$. Будем говорить, уравнение обладает свойством $A$, если каждое его правильное решение для четного $n$ является осциллирующим, а для нечетного $n$ либо осциллирующим, либо стремящимся к нулю на бесконечности вместе со своими производными до $n-1$-го порядка включительно. Чтобы исследовать осцилляционные свойства таких уравнений, вводятся два множества --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ и $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублинейных по второму аргументу непрерывных функций $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R$. В случае, когда $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для дифференциального уравнения u^ (n)Розглядається сублінійне диференціальне рівняння порядку $n\geqslant 2$ на інтервалі $[a,+\infty[$. Розв'язок такого рівняння називається правильним, якщо він не дорівнює нулеві в будь-якому околі $+\infty$. Правильний розв'язок називається осцилюючим, якщо він змінює свій знак в будь-якому околі $+\infty$. Казатимемо, що рівняння володіє властивістю $A$, якщо кожний його правильний розв'язок для парного $n$ є осцилюючим, а для непарного $n$ або осцилюючим, або таким, що монотоно збігається до нуля на нескінченності разом із своїми похідними до $n-1$-го порядку включно. Щоб дослідити осциляційні властивості таких рівнянь, вводяться дві множини --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ та $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублінійних за другим аргументом неперервних функцій $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R $. У випадку, коли $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для диференціального рівняння u^ (n