Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Abstract
In the interval [a,+∞[, the sublinear differential equations of order n⩾2 are considered. A solution of such equation is called proper if it is not identically equal to zero in any neighbourhood of +∞. The proper solution is called oscillatory if it changes its sign in any neighbourhood of +∞. We say that the equation has property A if every its proper solution for n even is oscillatory, and for n odd either oscillatory or monotone and vanishing at infinity together with their derivatives up to order n−1, inclusive. To investigate oscillatory properties of the above-mentioned equations the sets \linebreak Msub([a,+∞[×R) and Msub([a,+∞[×R) of sublinear with respect to the second argument continuous functions f:[a,+∞[×R→R are introduced (see Definitions \ref def:1Рассматривается сублинейное дифференциальное уравнение порядка n⩾2 на интервале [a,+∞[. Решение такого уравнения называется правильным, если оно не равно нулю в любой окрестности +∞. Правильное решение называется осциллирующим, если оно меняет совй знак в любой окрестности +∞. Будем говорить, уравнение обладает свойством A, если каждое его правильное решение для четного n является осциллирующим, а для нечетного n либо осциллирующим, либо стремящимся к нулю на бесконечности вместе со своими производными до n−1-го порядка включительно. Чтобы исследовать осцилляционные свойства таких уравнений, вводятся два множества --- Msub([a,+∞[×R) и Msub([a,+∞[×R) --- сублинейных по второму аргументу непрерывных функций f:[a,+∞[×R→R. В случае, когда f∈Msub([a,+∞[×R), для дифференциального уравнения u^ (n)Розглядається сублінійне диференціальне рівняння порядку $n\geqslant 2$ на інтервалі $[a,+\infty[$. Розв'язок такого рівняння називається правильним, якщо він не дорівнює нулеві в будь-якому околі $+\infty$. Правильний розв'язок називається осцилюючим, якщо він змінює свій знак в будь-якому околі $+\infty$. Казатимемо, що рівняння володіє властивістю $A$, якщо кожний його правильний розв'язок для парного $n$ є осцилюючим, а для непарного $n$ або осцилюючим, або таким, що монотоно збігається до нуля на нескінченності разом із своїми похідними до $n-1$-го порядку включно. Щоб дослідити осциляційні властивості таких рівнянь, вводяться дві множини --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ та $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублінійних за другим аргументом неперервних функцій $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R $. У випадку, коли $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для диференціального рівняння u^ (n