Геометричне моделювання розкриття у невагомості стержневої конструкції у вигляді подвійного сферичного маятника

We investigated the geometric model of the new technique for unfolding a rod structure, similar to the double spherical pendulum, in weightlessness. Displacements of elements occur due to the pulses from pyrotechnic jet engines acting on the endpoints of links. The motion of the obtained inertial unfolding of a rod structure was described using a Lagrange equation of the second kind. Given the conditions of weightlessness, it was built applying only the kinetic energy of the system.The relevance of the chosen subject is emphasized by the need to choose and study the process of activation of the unfolding of a spatial rod structure. The proposed possible drivers are the pulse pyrotechnic jet engines installed at endpoints of the structure's links. They are lighter and cheaper compared, for example, to electric motors or spring devices. In addition, they are more efficient economically when the process of unfolding a structure in orbit is planned to be performed only once.We propose a technique for determining the parameters and initial conditions for initiating the oscillations of a double rod structure in order to obtain a cyclic trajectory of the endpoint of the second link. That makes it possible to avoid, when calculating the process of transformation, the chaotic movements of the structure's elements. We built the time-dependent charts of change in the functions of generalized coordinates, as well as the first and second derivatives from these functions. Therefore, there is a possibility to estimate the force characteristics of the system at the moment of braking (locking) the process of unfolding.The results are intended for the geometric modeling of one of the variants for unfolding the large-sized structures under conditions of weightlessness, for example, force frames for solar mirrors or space antennas, as well as other large-scale orbital infrastructures.Исследована геометрическая модель нового способа раскрытия в условиях невесомости стержневой конструкции, аналогичной двойному сферическому маятнику. Перемещения элементов конструкции происходят благодаря воздействию импульсов пиротехнических реактивных двигателей на конечные точки звеньев. Описание движения полученного инерционного раскрытия стержневой конструкции выполнено при помощи уравнения Лагранжа второго рода. И, учитывая условия невесомости, построенного с использованием лишь кинетической энергии системы.На актуальность избранной темы указывает необходимость выбора и исследование процесса активизации раскрытия пространственной стержневой конструкции. В качестве возможных движителей предлагается использовать импульсные пиротехнические реактивные двигатели, установленные на конечных точках звеньев конструкции. Более легкие и более дешевые по сравнению, например, с электродвигателями или пружинными устройствами. А также экономически более выгодные, когда процесс раскрытия конструкции на орбите планируется выполнить лишь один раз.Предложен способ определения параметров и начальных условий инициирования колебаний двойной стержневой конструкции с целью получения циклической траектории конечной точки второго звена. Это позволяет при расчетах процесса трансформирования избежать хаотичных движений элементов конструкции. Построены графики изменения во времени функций обобщенных координат, а также первых и вторых производных этих функций. Поэтому появилась возможность оценить силовые характеристики системы в момент торможения (стопорения) процесса раскрытия.Результаты предназначены для геометрического моделирования одного из вариантов раскрытия крупногабаритных конструкций в условиях невесомости, например, силовых каркасов для солнечных зеркал или космических антенн, а также других масштабных орбитальных инфраструктурДосліджено геометричну модель нового способу розкриття в умовах невагомості стержневої конструкції, подібної подвійному сферичному маятнику. Переміщення елементів конструкції відбуваються завдяки дії імпульсів піротехнічних реактивних двигунів на кінцеві точки ланок. Опис руху одержаного інерційного розкриття стержневої конструкції виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду, і, зважаючи на умови невагомості, побудованого з використанням лише кінетичної енергії системи.На актуальність обраної теми вказує необхідність вибору та дослідження процесу активізації розкриття просторової стержневої конструкції. В якості рушіїв пропонується використати імпульсні піротехнічні реактивні двигуни, встановлені на кінцевих точках ланок конструкції. Легші і дешевші порівняно, наприклад, з електродвигунами або пружинними пристроями. А також економічно вигідніші, коли процес розкриття конструкції на орбіті планується виконати лише один раз.Запропоновано спосіб визначення параметрів та початкових умов ініціювання коливань подвійної стержневої конструкції з метою одержання циклічної траєкторії кінцевої точки другої ланки. Це дозволяє при розрахунках процесу трансформування уникати хаотичних рухів елементів конструкції. Побудовано графіки зміни у часі функцій узагальнених координат, а також перших та других похідних цих функцій. Тому з’явилася можливість оцінити силові характеристики системи в момент гальмування (стопоріння) процесу розкриття.Результати можуть використовуватися як геометричні можливого варіанта розкриття великогабаритних об’єктів в умовах невагомості, наприклад, силових каркасів космічних антен чи фермених конструкцій, а також інших орбітальних інфраструкту

Геометричне моделювання розкриття у невагомості стержневої конструкції у вигляді подвійного сферичного маятника

We investigated the geometric model of the new technique for unfolding a rod structure, similar to the double spherical pendulum, in weightlessness. Displacements of elements occur due to the pulses from pyrotechnic jet engines acting on the endpoints of links. The motion of the obtained inertial unfolding of a rod structure was described using a Lagrange equation of the second kind. Given the conditions of weightlessness, it was built applying only the kinetic energy of the system.The relevance of the chosen subject is emphasized by the need to choose and study the process of activation of the unfolding of a spatial rod structure. The proposed possible drivers are the pulse pyrotechnic jet engines installed at endpoints of the structure's links. They are lighter and cheaper compared, for example, to electric motors or spring devices. In addition, they are more efficient economically when the process of unfolding a structure in orbit is planned to be performed only once.We propose a technique for determining the parameters and initial conditions for initiating the oscillations of a double rod structure in order to obtain a cyclic trajectory of the endpoint of the second link. That makes it possible to avoid, when calculating the process of transformation, the chaotic movements of the structure's elements. We built the time-dependent charts of change in the functions of generalized coordinates, as well as the first and second derivatives from these functions. Therefore, there is a possibility to estimate the force characteristics of the system at the moment of braking (locking) the process of unfolding.The results are intended for the geometric modeling of one of the variants for unfolding the large-sized structures under conditions of weightlessness, for example, force frames for solar mirrors or space antennas, as well as other large-scale orbital infrastructures.Исследована геометрическая модель нового способа раскрытия в условиях невесомости стержневой конструкции, аналогичной двойному сферическому маятнику. Перемещения элементов конструкции происходят благодаря воздействию импульсов пиротехнических реактивных двигателей на конечные точки звеньев. Описание движения полученного инерционного раскрытия стержневой конструкции выполнено при помощи уравнения Лагранжа второго рода. И, учитывая условия невесомости, построенного с использованием лишь кинетической энергии системы.На актуальность избранной темы указывает необходимость выбора и исследование процесса активизации раскрытия пространственной стержневой конструкции. В качестве возможных движителей предлагается использовать импульсные пиротехнические реактивные двигатели, установленные на конечных точках звеньев конструкции. Более легкие и более дешевые по сравнению, например, с электродвигателями или пружинными устройствами. А также экономически более выгодные, когда процесс раскрытия конструкции на орбите планируется выполнить лишь один раз.Предложен способ определения параметров и начальных условий инициирования колебаний двойной стержневой конструкции с целью получения циклической траектории конечной точки второго звена. Это позволяет при расчетах процесса трансформирования избежать хаотичных движений элементов конструкции. Построены графики изменения во времени функций обобщенных координат, а также первых и вторых производных этих функций. Поэтому появилась возможность оценить силовые характеристики системы в момент торможения (стопорения) процесса раскрытия.Результаты предназначены для геометрического моделирования одного из вариантов раскрытия крупногабаритных конструкций в условиях невесомости, например, силовых каркасов для солнечных зеркал или космических антенн, а также других масштабных орбитальных инфраструктурДосліджено геометричну модель нового способу розкриття в умовах невагомості стержневої конструкції, подібної подвійному сферичному маятнику. Переміщення елементів конструкції відбуваються завдяки дії імпульсів піротехнічних реактивних двигунів на кінцеві точки ланок. Опис руху одержаного інерційного розкриття стержневої конструкції виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду, і, зважаючи на умови невагомості, побудованого з використанням лише кінетичної енергії системи.На актуальність обраної теми вказує необхідність вибору та дослідження процесу активізації розкриття просторової стержневої конструкції. В якості рушіїв пропонується використати імпульсні піротехнічні реактивні двигуни, встановлені на кінцевих точках ланок конструкції. Легші і дешевші порівняно, наприклад, з електродвигунами або пружинними пристроями. А також економічно вигідніші, коли процес розкриття конструкції на орбіті планується виконати лише один раз.Запропоновано спосіб визначення параметрів та початкових умов ініціювання коливань подвійної стержневої конструкції з метою одержання циклічної траєкторії кінцевої точки другої ланки. Це дозволяє при розрахунках процесу трансформування уникати хаотичних рухів елементів конструкції. Побудовано графіки зміни у часі функцій узагальнених координат, а також перших та других похідних цих функцій. Тому з’явилася можливість оцінити силові характеристики системи в момент гальмування (стопоріння) процесу розкриття.Результати можуть використовуватися як геометричні можливого варіанта розкриття великогабаритних об’єктів в умовах невагомості, наприклад, силових каркасів космічних антен чи фермених конструкцій, а також інших орбітальних інфраструкту

Геометричне моделювання форми багатоланкової стержневої конструкції у невагомості під впливом імпульсів на кінцеві точки її ланок

We have examined a geometrical model of the new technique for unfolding a multilink rod structure under conditions of weightlessness. Displacement of elements of the links occurs due to the action of pulses from pyrotechnic jet engines to the end points of links in a structure. A description of the dynamics of the obtained inertial unfolding of a rod structure is performed using the Lagrange equation of second kind, built using the kinetic energy of an oscillatory system only.The relevance of the chosen subject is indicated by the need to choose and explore a possible engine of the process of unfolding a rod structure of the pendulum type. It is proposed to use pulse pyrotechnic jet engines installed at the end points of links in a rod structure. They are lighter and cheaper as compared, for example, with electric motors or spring devices. This is economically feasible when the process of unfolding a structure in orbit is scheduled to run only once.We have analyzed manifestations of possible errors in the magnitudes of pulses on the geometrical shape of the arrangement of links in a rod structure, acquired as a result of its unfolding. It is shown at the graphical level that the error may vary within one percent of the estimated value of the magnitude of a pulse. To determine the moment of fixing the elements of a multilink structure in the preset unfolded state, it is proposed to use a «stop-code». It is a series of numbers, which, by using functions of the generalized coordinates of the Lagrange equation of second kind, define the current values of angles between the elements of a rod structure.Results are intended for geometrical modeling of the unfolding of large-size structures under conditions of weightlessness, for example, power frames for solar mirrors, or cosmic antennae, as well as other large-scale orbital facilities.Исследована геометрическая модель нового способа раскрытия в условиях невесомости многозвенной стержневой конструкции, элементы которой соединены подобно многозвенному маятнику. Раскрытие звеньев конструкции происходит благодаря воздействию импульсов пиротехнических реактивных двигателей на конечные точки их звеньев. Описание динамики полученного инерционного раскрытия многозвенной стержневой конструкции выполнено с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Результаты предназначены для использования при проектировании систем раскрытия крупногабаритных конструкций в условиях невесомости, например, силовых каркасов для солнечных зеркал или космических антеннДосліджена геометрична модель нового способу розкриття в умовах невагомості багатоланкової стержневої конструкції, елементи якої з’єднані подібно багатоланковому маятнику. Розкриття ланок конструкції відбувається завдяки впливу імпульсів піротехнічних реактивних двигунів на їх кінцеві точки. Опис динаміки одержаного інерційного розкриття багатоланкової стержневої конструкції виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Результати призначено для використання при проектуванні систем розкриття великогабаритних конструкцій в умовах невагомості, наприклад, силових каркасів для сонячних дзеркал чи космічних анте

Геометричне моделювання форми багатоланкової стержневої конструкції у невагомості під впливом імпульсів на кінцеві точки її ланок

We have examined a geometrical model of the new technique for unfolding a multilink rod structure under conditions of weightlessness. Displacement of elements of the links occurs due to the action of pulses from pyrotechnic jet engines to the end points of links in a structure. A description of the dynamics of the obtained inertial unfolding of a rod structure is performed using the Lagrange equation of second kind, built using the kinetic energy of an oscillatory system only.The relevance of the chosen subject is indicated by the need to choose and explore a possible engine of the process of unfolding a rod structure of the pendulum type. It is proposed to use pulse pyrotechnic jet engines installed at the end points of links in a rod structure. They are lighter and cheaper as compared, for example, with electric motors or spring devices. This is economically feasible when the process of unfolding a structure in orbit is scheduled to run only once.We have analyzed manifestations of possible errors in the magnitudes of pulses on the geometrical shape of the arrangement of links in a rod structure, acquired as a result of its unfolding. It is shown at the graphical level that the error may vary within one percent of the estimated value of the magnitude of a pulse. To determine the moment of fixing the elements of a multilink structure in the preset unfolded state, it is proposed to use a «stop-code». It is a series of numbers, which, by using functions of the generalized coordinates of the Lagrange equation of second kind, define the current values of angles between the elements of a rod structure.Results are intended for geometrical modeling of the unfolding of large-size structures under conditions of weightlessness, for example, power frames for solar mirrors, or cosmic antennae, as well as other large-scale orbital facilities.Исследована геометрическая модель нового способа раскрытия в условиях невесомости многозвенной стержневой конструкции, элементы которой соединены подобно многозвенному маятнику. Раскрытие звеньев конструкции происходит благодаря воздействию импульсов пиротехнических реактивных двигателей на конечные точки их звеньев. Описание динамики полученного инерционного раскрытия многозвенной стержневой конструкции выполнено с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Результаты предназначены для использования при проектировании систем раскрытия крупногабаритных конструкций в условиях невесомости, например, силовых каркасов для солнечных зеркал или космических антеннДосліджена геометрична модель нового способу розкриття в умовах невагомості багатоланкової стержневої конструкції, елементи якої з’єднані подібно багатоланковому маятнику. Розкриття ланок конструкції відбувається завдяки впливу імпульсів піротехнічних реактивних двигунів на їх кінцеві точки. Опис динаміки одержаного інерційного розкриття багатоланкової стержневої конструкції виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Результати призначено для використання при проектуванні систем розкриття великогабаритних конструкцій в умовах невагомості, наприклад, силових каркасів для сонячних дзеркал чи космічних анте

Геометричне моделювання плетіння сіткополотна в невагомості за допомогою інерційного розкриття подвійного маятника

We proposed a geometrical model for weaving a wire cloth using the oscillations of a system of two-link pendulums within an abstract plane and under conditions of weightlessness. It is expected to initiate oscillations through the application of pulses to each of the nodal elements of each of the pendulums, induced by two pulse jet engines. The pendulums are arranged in line on the platform, aligned with an abstract plane. The plane moves in the direction of its normal using the jet engines. Attachment points of the dual pendulums are selected so that when unfolded their last loads come into contact. Upon simultaneous initiation of oscillations of all pendulums and setting the platform in motion, we consider traces from the spatial displacements of the last loads of pendulums. It is assumed that wire that accepts the shape of the specified traces comes from the last loads and forms the zigzag-like elements of the mesh. In order to fix elements of the mesh, it is suggested that they should be point welded at the moments of contact between the last loads of the pendulums. A description of the inertial unfolding of dual pendulums is compiled using a Lagrange equation of the second kind, in which potential energy was not taken into consideration because of weightlessness. Reliability of the considered geometrical model for weaving a wire cloth was verified in a series of created animated videos that illustrated the process of formation of the elements of a wire cloth. Results might prove useful for designing large-sized structures in weightlessness, for example, antennas for ultralong waves.Предложен способ изготовления в невесомости металлического сетеполотна при помощи колебаний ряда двухзвенных маятников. Колебания возникают благодаря влиянию на узлы элементов маятника импульсов двух реактивных двигателей, тем самым обеспечивая его инерционное раскрытие. Описание процесса инерционного раскрытия маятника выполнено с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Результаты целесообразно использовать при проектировании масштабных сетеполотен, например активных поверхностей антенн длинноволнового диапазона, и их изготовления в условиях невесомостиЗапропоновано спосіб виготовлення у невагомості металевого сіткополотна за допомогою коливань ряду подвійних маятників. Коливання виникають завдяки впливу на вузли елементів маятника імпульсів двох реактивних двигунів, тим самим забезпечуючи його інерційне розкриття. Опис процесу інерційного розкриття маятника виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Результати доцільно використати при проектуванні масштабних сіткополотен, наприклад активних поверхонь антен довгохвильового діапазону, та їх виготовлення в умовах невагомост

Геометричне моделювання інерційного розкриття багатоланкового маятника у невагомості

We investigated a geometrical model of unfolding a rod frame of an orbital object as a process of oscillations of a multi-link pendulum under conditions of weightlessness and within an abstract plane. The initiation of oscillations is assumed to be driven by the pulse action on one of the nodal elements of the pendulum, implemented using a pulsed rocket engine. The transported (starting) position of a multilink pendulum shall be accepted in the “folded” form. A notation of the inertial frame unfolding is performed employing the Lagrange equation of the second kind, in which potential energy was not taken into consideration because of weightlessness.It was established in the course of research:– to unfold the structure, there is no need to synchronize the means of control over the magnitudes of angles in separate nodes;– transverse oscillations of nodes (tremor) before the moment of full unfolding of a multi-link pendulum can be used as signal for the actuation of locks in order to fix the position of its adjacent links;– based on a circuit for unfolding a single multi-link structure, it is possible to form multi-beam circuits with a shared non-movable attachment node (a triad as an example).Reliability of the obtained approximate solution was tested using the created animated film about the unfolding process of the structure. An example of a four-link pendulum was studied in detail. The results might prove useful when designing the unfolding of large-size structures under conditions of weightlessness, for example, frames for solar mirrorsИсследована геометрическая модель раскрытия каркаса орбитального объекта как процесса колебания многозвенного маятника в условиях невесомости. Колебания возникают благодаря воздействию импульса реактивного двигателя на конечный узел элементов маятника. Описание инерционного раскрытия маятника выполнено с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Результаты целесообразно использовать при проектировании раскрытия крупногабаритных конструкций в условиях невесомости, например, каркасов для солнечных зеркалДосліджено геометричну модель розкриття каркасу орбітального об’єкта як процесу коливання багатоланкового маятника в умовах невагомості. Коливання виникають завдяки впливу імпульсу реактивного двигуна на прикінцевий вузол елементів маятника. Опис інерційного розкриття маятника виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Результати доцільно використати при проектуванні розкриття великогабаритних конструкцій в умовах невагомості, наприклад, каркасів для сонячних дзерка

Розробка способу комп’ютерного моделювання періодичної траєкторії переміщення вантажу хитної пружини

Studies of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of movement of loads attached to a variety of mathematical pendulums were continued. Pendulum oscillations in a vertical plane of a suspended weightless spring which maintains straightness of its axis were considered. In literature, this type of pendulum is called a swinging spring. The sought path of the load of the swinging spring was modeled with the help of a computer using values of the load weight, stiffness of the spring and its length without load. In addition, initial values of oscillation of the swinging spring were used: initial angle of deviation of the spring axis from the vertical, initial rate of change of this angle as well as initial parameter of the spring elongation and initial rate of elongation change. Calculations were performed using Lagrange equation of the second kind. Variants of finding conditionally periodic paths of movement of a point load attached to a swinging spring with a movable fixing point were considered.Relevance of the topic was determined by necessity of study and improvement of new technological schemes of mechanical devices which include springs, in particular, the study of conditions of detuning from chaotic oscillations of the elements of mechanical structures and determination of rational values of parameters to ensure periodic paths of their oscillation.A method for finding values of a set of parameters for providing a nonchaotic periodic path of a point load attached to a swinging spring was presented. The idea of this method was explained by the example of finding a periodic path of the second load of the double pendulum.Variants of calculations for obtaining periodic paths of load movement for the following set parameters were given:‒ length of the spring without load and its stiffness at an unknown value of the load weight;‒ length of the spring without load and the value of the load weight at unknown spring stiffness;‒ value of the load weight and stiffness of the spring at an unknown length of the spring without load.As an example, determination of the values of a set of parameters to provide a non-chaotic, conditionally periodic path of movement of a point load attached to a swinging spring with a movable attachment point was considered.Phase paths of functions of generalized coordinates (values of angles of deflection of the swinging spring axis from the vertical and extension of the spring) were constructed with the help of which it is possible to estimate ranges of these values and rates of their variation.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as in calculating variants of mechanical devices where springs affect oscillation of their elements when it is necessary to detune from chaotic movements of loads in the technologies using mechanical devices and provide periodic paths of their movementПродолжено исследования геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения грузов разновидностей математических маятников. Рассматриваются маятниковые колебания в вертикальной плоскости подвешенной невесомой пружины, сохраняющей при этом прямолинейность своей оси. В литературе такой вид маятника называют качающейся пружиной (swinging spring). Искомая траектория груза качающейся пружины при помощи компютера моделируется с использованием значений массы груза, жесткости пружины и ее длины без нагрузки. Кроме того, используются начальные величины параметров инициирования колебаний качающейся пружины: начальный угол отклонения оси пружины от вертикали, начальная скорость изменения величины этого угла, а также начальный параметр удлинения пружины и начальная скорость изменения удлинения. Расчеты выполнены с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Рассмотрены варианты нахождения условно периодических траекторий движения точечного груза качающейся пружины с подвижной точкой крепления.Актуальность темы определяется необходимостью исследования и усовершенствования новых технологических схем механических устройств, в состав которых входят пружины. В частности, исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций и определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний.Приведен способ нахождения значений набора параметров для обеспечения нехаотической периодической траектории движения точечного груза качающейся пружины. Идею способа объяснено на примере нахождения периодической траектории движения второго груза двойного маятника.Приведены варианты расчетов для получения периодических траектории движения груза, когда заданные параметры:– длина пружины без нагрузки и ее жесткость с неизвестной величиной массы груза;– длина пружины без нагрузки и величина массы груза с неизвестной жесткостью пружины;– величина массы груза и жесткость пружины с неизвестной длиной пружины без нагрузки.В качестве примера рассмотрено нахождение значений набора параметров для обеспечения нехаотической условно периодической траектории движения точечного груза качающейся пружины с подвижной точкой крепления.Построены фазовые траектории функций обобщенных координат (значений углов отклонения оси пружины от вертикали и удлинения качающейся пружины) с помощью которых можно оценить диапазоны указанных величин и скоростей их изменения.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебания их элементов. Когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов, а обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажів різновидів математичних маятників. Розглядаються маятникові коливання у вертикальній площині підвішеної невагомої пружини, зберігаючої при цьому прямолінійність своєї осі. В літературі такий вид маятника називають хитною пружиною (swinging spring). Шукана траєкторія вантажу хитної пружини за допомогою комп’ютера моделюється з використанням значень маси вантажу, жорсткості пружини та її довжини в ненавантаженому стані. Крім того, використовуються такі початкові величини параметрів ініціювання коливань хитної пружини: кут відхилення осі пружини від вертикалі, швидкість зміни величини цього кута, а також параметр подовження пружини та швидкість зміни подовження. Розрахунки виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Також розглянуто варіанти знаходження періодичних траєкторій точкового вантажу хитної пружини з рухомою (вздовж координатних осей) точкою кріплення.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження та удосконалення нових технологічних схем механічних пристроїв, до складу яких входять пружини. Зокрема, дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій та визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань.Наведено спосіб знаходження значень набору параметрів для забезпечення нехаотичної періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини. Ідею способу пояснено на прикладі знаходження періодичної траєкторії руху другого вантажу подвійного маятника.Наведено варіанти розрахунків для одержання періодичних траєкторії руху вантажу, коли задані параметри:– жорсткість пружини та її довжина без навантаження, але невідома величина маси вантажу;– величина маси вантажу та довжина пружини без навантаження, але невідома жорсткість пружини;– величина маси вантажу та жорсткість пружини, але невідома довжина пружини без навантаження.Також розглянуто знаходження значень набору параметрів для забезпечення умовно періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини з рухомою точкою кріплення.Побудовано фазові траєкторії функцій узагальнених координат (значень кутів відхилення осі пружини від вертикалі та подовження хитної пружини) за допомогою яких можна оцінити діапазони зазначених величин та швидкостей їх зміни.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. Коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів, а забезпечити періодичні траєкторії їх рух

Синтез та класифікація періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини

The study of possibilities of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of motion of a load of a swinging spring and its variants has been continued. In literature, a swinging spring is considered as a kind of mathematical pendulum which consists of a point load attached to a massless spring. The second end of the spring is fixed motionless. Pendular oscillations of the spring in a vertical plane are considered in conditions of maintaining straightness of its axis. The searched path of the spring load was modeled using Lagrange second-degree equations.Urgency of the topic is determined by the need to study conditions of dissociation from chaotic oscillations of elements of mechanical structures including springs, namely definition of rational parameter values to provide periodic paths of their oscillations. Swinging springs can be used as mechanical illustrations in the study of complex technological processes of dynamic systems when nonlinearly coupled oscillatory components of the system exchange energy with each other.The obtained results make it possible to add periodic curves as «parameters» in a graphic form to the list of numerical parameters of the swinging spring. That is, to determine numerical values of the parameters that would ensure existence of a predetermined form of the periodic path of motion of the spring load. An example of calculation of the load mass was considered based on the known stiffness of the spring, its length without load, initial conditions of initialization of oscillations as well as (attention!) the form of periodic path of this load. Periodic paths of the load motion for the swinging spring modifications (such as suspension to the movable carriage whose axis coincides with the mathematical pendulum) and two swinging springs with a common moving load and with different mounting points were obtained.The obtained results are illustrated by computer animation of oscillations of corresponding swinging springs and their varieties.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as for calculation of variants of mechanical devices where springs influence oscillation of their elements and in cases when it is necessary to separate from chaotic motions of loads and provide periodic paths of their motion in technologies using mechanical devicesПродолжено исследования возможностей геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения груза качающейся пружины и ее разновидностей. В литературе качающейся пружиной (swinging spring) называют разновидность математического маятника, состоящего из точечного груза, присоединенного к невесомой пружине. Второй конец пружины фиксируется неподвижно. Рассматриваются маятниковые колебания пружины в вертикальной плоскости при условии сохранения прямолинейности ее оси. Искомая траектория груза качающейся пружины моделируется с использованием уравнений Лагранжа второго рода.Актуальность темы определяется необходимостью исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций, в состав которых входят пружины, а именно определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний. Качающиеся пружины можно использовать как механические иллюстрации при исследовании сложных технологических процессов динамических систем, когда нелинейно связанные колебательные компоненты системы обмениваются энергией между собой.Полученные результаты позволяют приобщить к перечню числовых параметров качающейся пружины еще и периодические кривые как "параметры" в графической форме. Т. е. определить числовые значения параметров, которые бы обеспечили существование заведомо заданной формы периодической траектории движения груза качающейся пружины. Рассмотрен пример вычисления массы груза по известным жесткости пружины, ее длине без нагрузки, начальным условиям инициализации колебаний, а также (внимание) форме периодической траектории этого груза. Получены периодические траектории движения груза для модификаций качающейся пружины,, таких как подвешенной к подвижной тележке, ось которой совпадает с математическим маятником. А также двух качающихся пружин с общим подвижным грузом и с разными точками крепления.Полученные результаты проиллюстрированы компьютерными анимациями колебаний соответствующих качающихся пружин и их разновидностей.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебание их элементов. А также в случаях, когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов и обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження можливостей геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини та її різновидів. В літературі хитною пружиною (swinging spring) називають різновид математичного маятника, який складається з точкового вантажу, приєднаного до невагомої пружини. Другий кінець пружини фіксується нерухомо. Розглядаються маятникові коливання пружини у вертикальній площині за умови збереження прямолінійності її осі. Шукана траєкторія вантажу хитної пружини моделюється з використанням рівнянь Лагранжа другого роду.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій, до складу яких входять пружини, а саме визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань. Хитні пружини можна використати як механічні ілюстрації при дослідженні складних технологічних процесів динамічних систем, коли нелінійно зв'язані коливальні компоненти системи обмінюються енергією між собою.Одержані результати дозволяють долучити до переліку числових параметрів хитної пружини ще й періодичні криві як "параметри" в графічній формі. Тобто визначити числові значення параметрів, які б забезпечили існування наперед заданої форми періодичної траєкторії руху вантажу хитної пружини. Розглянуто приклад обчислення маси вантажу за відомими жорсткістю пружини, її довжиною без навантаження, початковими умовами ініціалізації коливань, а також (увага) формою періодичної траєкторії цього вантажу. Одержано періодичні траєкторії руху вантажу для модифікацій хитної пружини - таких як підвішеної до рухомого візка і вісь якої збігається з математичним маятником. А також двох хитних пружин зі спільним рухомим вантажем і з різними точками кріплення.Одержані результати проілюстровано комп'ютерними анімаціями коливань відповідних хитних пружин та їх різновидів.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А також у випадках, коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів і забезпечити періодичні траєкторії їх рух

Синтез та класифікація періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини

The study of possibilities of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of motion of a load of a swinging spring and its variants has been continued. In literature, a swinging spring is considered as a kind of mathematical pendulum which consists of a point load attached to a massless spring. The second end of the spring is fixed motionless. Pendular oscillations of the spring in a vertical plane are considered in conditions of maintaining straightness of its axis. The searched path of the spring load was modeled using Lagrange second-degree equations.Urgency of the topic is determined by the need to study conditions of dissociation from chaotic oscillations of elements of mechanical structures including springs, namely definition of rational parameter values to provide periodic paths of their oscillations. Swinging springs can be used as mechanical illustrations in the study of complex technological processes of dynamic systems when nonlinearly coupled oscillatory components of the system exchange energy with each other.The obtained results make it possible to add periodic curves as «parameters» in a graphic form to the list of numerical parameters of the swinging spring. That is, to determine numerical values of the parameters that would ensure existence of a predetermined form of the periodic path of motion of the spring load. An example of calculation of the load mass was considered based on the known stiffness of the spring, its length without load, initial conditions of initialization of oscillations as well as (attention!) the form of periodic path of this load. Periodic paths of the load motion for the swinging spring modifications (such as suspension to the movable carriage whose axis coincides with the mathematical pendulum) and two swinging springs with a common moving load and with different mounting points were obtained.The obtained results are illustrated by computer animation of oscillations of corresponding swinging springs and their varieties.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as for calculation of variants of mechanical devices where springs influence oscillation of their elements and in cases when it is necessary to separate from chaotic motions of loads and provide periodic paths of their motion in technologies using mechanical devicesПродолжено исследования возможностей геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения груза качающейся пружины и ее разновидностей. В литературе качающейся пружиной (swinging spring) называют разновидность математического маятника, состоящего из точечного груза, присоединенного к невесомой пружине. Второй конец пружины фиксируется неподвижно. Рассматриваются маятниковые колебания пружины в вертикальной плоскости при условии сохранения прямолинейности ее оси. Искомая траектория груза качающейся пружины моделируется с использованием уравнений Лагранжа второго рода.Актуальность темы определяется необходимостью исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций, в состав которых входят пружины, а именно определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний. Качающиеся пружины можно использовать как механические иллюстрации при исследовании сложных технологических процессов динамических систем, когда нелинейно связанные колебательные компоненты системы обмениваются энергией между собой.Полученные результаты позволяют приобщить к перечню числовых параметров качающейся пружины еще и периодические кривые как "параметры" в графической форме. Т. е. определить числовые значения параметров, которые бы обеспечили существование заведомо заданной формы периодической траектории движения груза качающейся пружины. Рассмотрен пример вычисления массы груза по известным жесткости пружины, ее длине без нагрузки, начальным условиям инициализации колебаний, а также (внимание) форме периодической траектории этого груза. Получены периодические траектории движения груза для модификаций качающейся пружины,, таких как подвешенной к подвижной тележке, ось которой совпадает с математическим маятником. А также двух качающихся пружин с общим подвижным грузом и с разными точками крепления.Полученные результаты проиллюстрированы компьютерными анимациями колебаний соответствующих качающихся пружин и их разновидностей.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебание их элементов. А также в случаях, когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов и обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження можливостей геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини та її різновидів. В літературі хитною пружиною (swinging spring) називають різновид математичного маятника, який складається з точкового вантажу, приєднаного до невагомої пружини. Другий кінець пружини фіксується нерухомо. Розглядаються маятникові коливання пружини у вертикальній площині за умови збереження прямолінійності її осі. Шукана траєкторія вантажу хитної пружини моделюється з використанням рівнянь Лагранжа другого роду.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій, до складу яких входять пружини, а саме визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань. Хитні пружини можна використати як механічні ілюстрації при дослідженні складних технологічних процесів динамічних систем, коли нелінійно зв'язані коливальні компоненти системи обмінюються енергією між собою.Одержані результати дозволяють долучити до переліку числових параметрів хитної пружини ще й періодичні криві як "параметри" в графічній формі. Тобто визначити числові значення параметрів, які б забезпечили існування наперед заданої форми періодичної траєкторії руху вантажу хитної пружини. Розглянуто приклад обчислення маси вантажу за відомими жорсткістю пружини, її довжиною без навантаження, початковими умовами ініціалізації коливань, а також (увага) формою періодичної траєкторії цього вантажу. Одержано періодичні траєкторії руху вантажу для модифікацій хитної пружини - таких як підвішеної до рухомого візка і вісь якої збігається з математичним маятником. А також двох хитних пружин зі спільним рухомим вантажем і з різними точками кріплення.Одержані результати проілюстровано комп'ютерними анімаціями коливань відповідних хитних пружин та їх різновидів.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А також у випадках, коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів і забезпечити періодичні траєкторії їх рух

Розробка способу комп’ютерного моделювання періодичної траєкторії переміщення вантажу хитної пружини

Studies of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of movement of loads attached to a variety of mathematical pendulums were continued. Pendulum oscillations in a vertical plane of a suspended weightless spring which maintains straightness of its axis were considered. In literature, this type of pendulum is called a swinging spring. The sought path of the load of the swinging spring was modeled with the help of a computer using values of the load weight, stiffness of the spring and its length without load. In addition, initial values of oscillation of the swinging spring were used: initial angle of deviation of the spring axis from the vertical, initial rate of change of this angle as well as initial parameter of the spring elongation and initial rate of elongation change. Calculations were performed using Lagrange equation of the second kind. Variants of finding conditionally periodic paths of movement of a point load attached to a swinging spring with a movable fixing point were considered.Relevance of the topic was determined by necessity of study and improvement of new technological schemes of mechanical devices which include springs, in particular, the study of conditions of detuning from chaotic oscillations of the elements of mechanical structures and determination of rational values of parameters to ensure periodic paths of their oscillation.A method for finding values of a set of parameters for providing a nonchaotic periodic path of a point load attached to a swinging spring was presented. The idea of this method was explained by the example of finding a periodic path of the second load of the double pendulum.Variants of calculations for obtaining periodic paths of load movement for the following set parameters were given:‒ length of the spring without load and its stiffness at an unknown value of the load weight;‒ length of the spring without load and the value of the load weight at unknown spring stiffness;‒ value of the load weight and stiffness of the spring at an unknown length of the spring without load.As an example, determination of the values of a set of parameters to provide a non-chaotic, conditionally periodic path of movement of a point load attached to a swinging spring with a movable attachment point was considered.Phase paths of functions of generalized coordinates (values of angles of deflection of the swinging spring axis from the vertical and extension of the spring) were constructed with the help of which it is possible to estimate ranges of these values and rates of their variation.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as in calculating variants of mechanical devices where springs affect oscillation of their elements when it is necessary to detune from chaotic movements of loads in the technologies using mechanical devices and provide periodic paths of their movementПродолжено исследования геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения грузов разновидностей математических маятников. Рассматриваются маятниковые колебания в вертикальной плоскости подвешенной невесомой пружины, сохраняющей при этом прямолинейность своей оси. В литературе такой вид маятника называют качающейся пружиной (swinging spring). Искомая траектория груза качающейся пружины при помощи компютера моделируется с использованием значений массы груза, жесткости пружины и ее длины без нагрузки. Кроме того, используются начальные величины параметров инициирования колебаний качающейся пружины: начальный угол отклонения оси пружины от вертикали, начальная скорость изменения величины этого угла, а также начальный параметр удлинения пружины и начальная скорость изменения удлинения. Расчеты выполнены с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Рассмотрены варианты нахождения условно периодических траекторий движения точечного груза качающейся пружины с подвижной точкой крепления.Актуальность темы определяется необходимостью исследования и усовершенствования новых технологических схем механических устройств, в состав которых входят пружины. В частности, исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций и определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний.Приведен способ нахождения значений набора параметров для обеспечения нехаотической периодической траектории движения точечного груза качающейся пружины. Идею способа объяснено на примере нахождения периодической траектории движения второго груза двойного маятника.Приведены варианты расчетов для получения периодических траектории движения груза, когда заданные параметры:– длина пружины без нагрузки и ее жесткость с неизвестной величиной массы груза;– длина пружины без нагрузки и величина массы груза с неизвестной жесткостью пружины;– величина массы груза и жесткость пружины с неизвестной длиной пружины без нагрузки.В качестве примера рассмотрено нахождение значений набора параметров для обеспечения нехаотической условно периодической траектории движения точечного груза качающейся пружины с подвижной точкой крепления.Построены фазовые траектории функций обобщенных координат (значений углов отклонения оси пружины от вертикали и удлинения качающейся пружины) с помощью которых можно оценить диапазоны указанных величин и скоростей их изменения.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебания их элементов. Когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов, а обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажів різновидів математичних маятників. Розглядаються маятникові коливання у вертикальній площині підвішеної невагомої пружини, зберігаючої при цьому прямолінійність своєї осі. В літературі такий вид маятника називають хитною пружиною (swinging spring). Шукана траєкторія вантажу хитної пружини за допомогою комп’ютера моделюється з використанням значень маси вантажу, жорсткості пружини та її довжини в ненавантаженому стані. Крім того, використовуються такі початкові величини параметрів ініціювання коливань хитної пружини: кут відхилення осі пружини від вертикалі, швидкість зміни величини цього кута, а також параметр подовження пружини та швидкість зміни подовження. Розрахунки виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Також розглянуто варіанти знаходження періодичних траєкторій точкового вантажу хитної пружини з рухомою (вздовж координатних осей) точкою кріплення.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження та удосконалення нових технологічних схем механічних пристроїв, до складу яких входять пружини. Зокрема, дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій та визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань.Наведено спосіб знаходження значень набору параметрів для забезпечення нехаотичної періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини. Ідею способу пояснено на прикладі знаходження періодичної траєкторії руху другого вантажу подвійного маятника.Наведено варіанти розрахунків для одержання періодичних траєкторії руху вантажу, коли задані параметри:– жорсткість пружини та її довжина без навантаження, але невідома величина маси вантажу;– величина маси вантажу та довжина пружини без навантаження, але невідома жорсткість пружини;– величина маси вантажу та жорсткість пружини, але невідома довжина пружини без навантаження.Також розглянуто знаходження значень набору параметрів для забезпечення умовно періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини з рухомою точкою кріплення.Побудовано фазові траєкторії функцій узагальнених координат (значень кутів відхилення осі пружини від вертикалі та подовження хитної пружини) за допомогою яких можна оцінити діапазони зазначених величин та швидкостей їх зміни.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. Коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів, а забезпечити періодичні траєкторії їх рух