Infinite limit of sequences and its phenomenology

In this document, we search for and define an infinite limit of sequences that is correct and accepted by the mathematical experts, the final purpose of which is to analyze its phenomenology, in Freudenthal’s sense. To make the choice, experts were consulted on two issues. The first one was not decisive because of the effect that the divergence term causes, and for this reason, we did a second expert consultation where this term was removed and we selected the definition we have analyzed in this document. Once the definition was chosen, two approaches were considered for analysis: the intuitive approach and the formal approach. Based on these two approaches, we specify certain phenomena organized by the definition: unlimited intuitive growth and unlimited intuitive decrease (intuitive approach) and one way and return infinite limit of sequences (formal approach), and show examples of such phenomena by graphical, verbal and tabular representation systems. All this aim to be a help to overcome the difficulties that pre-university students have with the concept of limit

Sucesión convergente y sucesión de Cauchy : equivalencia matemática y equivalencia fenomenológica

Esta investigación está enmarcada por la Fenomenología, el Pensamiento Matemático Avanzado y los Sistemas de Representación; en ella estudiamos una equivalencia fenomenológica, junto a la conocida equivalencia matemática, entre sucesión convergente y sucesión de Cauchy. Enunciamos dos fenómenos organizados por definiciones de límite finito de una sucesión y de sucesión de Cauchy; con el apoyo de libros de texto de secundaria, reconocemos en los libros de texto españoles dos fenómenos organizados por la primera definición mientras que, en los libros británicos, solamente observamos uno de los dos fenómenos. (Los libros de texto españoles se eligieron al azar y no constituyen muestras representativas. Los libros de texto británicos se eligieron "ad hoc" por lo que, evidentemente, tampoco constituyen muestras representativas.) Comparamos los fenómenos organizados por cada definición; establecemos analogías y diferencias entre ellos; introducimos un criterio de equivalencia entre fenómenos y un criterio de 'equivalencia fenomenológica' entre definiciones matemáticamente equivalentes; concluimos afirmativamente acerca de la equivalencia fenomenológica entre ambas definiciones. Ésta es algo más compleja que la equivalencia matemática, ya que involucra dos pares de fenómenos: un par se observa bajo un enfoque intuitivo mientras que el otro se observa bajo un enfoque formal. Este artículo prolonga resultados presentados en Claros (2010).This research is framed by Phenomenology, Mathematical Advanced Thinking and Representation Systems; we study a phenomenological equivalence to be added to the well known mathematical equivalence between a convergent sequence and a Cauchy sequence. We introduce two phenomena associated to each definition (the finite limit of a sequence, and a Cauchy sequence); by using several high school mathematics textbooks, we recognize, in Spanish high schools textbooks, two phenomena organized by the first definition and, in British high schools textbooks only one of these phenomena. (Spanish textbooks were randomly selected, but they are not a representative sample; British textbooks were selected by "ad hoc" criteria and do not should be considered as representing the corresponding population.) We compare phenomena organized by each definition; we establish analogies and differences among them; we introduce a criterion of equivalence between phenomena and a criterion of phenomenological equivalence between mathematically equivalent definitions; finally, we answer affirmatively about the phenomenological equivalence among both definitions. Phenomenological equivalence appears to be more complex than mathematical equivalence, since it involves two couples of phenomena: the first one is observed within an intuitive context while the other couple is observed within a formal context. This paper extends results presented in Claros (2010)

Experiences of Flipped Classroom as a Methodological Strategy in University Education

El modelo educativo está en constante evolución, prestándose a un cambio de paradigma. Se busca un enfoque educativo, en el que se fomente el trabajo cooperativo y colaborativo, la participación del alumnado, la adaptación a distintos ritmos de aprendizaje, clases más prácticas y experimentales, que impulsen la autonomía, y la autorregulación en el aprendizaje. Nuevas metodologías, como la flipped classroom o aula invertida, pueden dar respuesta a algunas de estas necesidades. Este artículo presenta resultados de una investigación llevada a cabo en el Grado en Educación Primaria de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Málaga. El objetivo marcado ha sido analizar y conocer los resultados obtenidos, tras haber realizado la inversión de aulas, de dos asignaturas distintas en diferentes cursos, Didáctica de la Medida y Tecnologías de la Información y la Comunicación para la Educación. Se ha llevado a cabo la triangulación de resultados mediante un exhaustivo análisis cualitativo y cuantitativo, a partir de los datos obtenidos de entrevistas y cuestionarios. De esta forma, se pretende conseguir una imagen completa de la propuesta a estudio, mediante la comprensión de dos planteamientos metodológicos. Los resultados obtenidos concluyen que, el alumnado ve con satisfacción la introducción de una metodología que le proporciona mayor participación en el aula, que le facilita el acceso a contenidos didácticos en un formato más cercano, que puede consultar cuándo y cómo quiera, adaptándose a sus necesidades y ritmos de aprendizaje. Consideran que el tiempo en el aula es más eficaz, estiman que realizan un mejor aprovechamiento del tiempo y que además mejora su aprendizaje y la compresión de contenidos. Estos resultados, se suman a diversos estudios realizados por otros investigadores, en distintas etapas educativas.The educational model is constantly improving and a change of paradigm is accepted. The educational process needs a new approach, whereby cooperative work is promoted and students are encouraged to take part of their classes. The broad aim is to facilitate an adaptation to different learning rhythms, with more practical and experimental classes, which promote autonomous learning, and hands-on learning. The «flipped classroom» model has shown that it can provide for some of these needs, This study presents research findings which has been carried out at the Degree of Primary Education of the Faculty of Education, University of Málaga. The defined aim has been to analyse and understand the results of having carried out flipped classroom methodology, in two different subjects from two different courses, Didactics of Mathematics and Educational Information and Communication Technologies. The study is based on a triangulation of dates from a qualitative and quantitative analysis to get a complete picture of the real situations we analysed from two different methodological focuses. The information to analise, was obtained from questions, interviews, and surveys. The results which have been reached, conclude that students welcomes the introduction of this new methodology, because provides them participative lessons, providing access to didactic and closer format contents, that they can consult when and where they want. This methodology is adapted to different learning rhythms and requirements. Students consider that they have an efficient use of their in-class time, and effective learning, and they recognize their learning has improved. Similar results were seen in several other studies, in different educational stages

Flipped classroom as a methodological strategy to improve competences in grupal work in the didactics of mathematics

En este artículo se presentan los resultados de una investigación cuasi-experimental, llevada a cabo en una asignatura del área de Didáctica de la Matemática, en la que se comparan la calidad de los trabajos grupales realizados en un grupo experimental, donde se ha implementado la metodología “flipped classroom”, con los trabajos desarrollados en un grupo control, en el que se han impartido clases de forma tradicional. Tras el análisis, se evidencia que la metodología “flipped classroom” favorece y fomenta el trabajo colaborativo y cooperativo. Se obtienen trabajos de mayor calidad, que se corresponden con la adquisición de competencias propias y necesarias del futuro profesorado de educación primaria.This article shows the results of a quasi-experimental research carried out in a subject within the Didactics of Mathematics area, in which the quality of the group work carried out in an experimental group, is compared with the one done in a control group. This will highlight where the flipped classroom model has been implemented, against those developed in a control group, where classes have been taught in a traditional way. After the analysis, it is evident that the “flipped classroom” methodology, favors and encourages collaborative and cooperative work. Higher quality work is obtained, which corresponds to the acquisition of competences necessary for the future teachers of primary education

Uso por Alumnos de Bachillerato de los Fenómenos Aproximación Simple Intuitiva y Retroalimentación en Sucesiones

Relatamos los pasos seguidos para elaborar un cuestionario destinado a observar los fenómenos de aproximación simple intuitiva y de retroalimentación en las respuestas que dan alumnos de bachillerato**** a cuestiones sobre el límite finito de una sucesión. Presentamos el marco didáctico y metodológico de nuestras investigaciones. En el trabajo de campo descrito, participaron 143 alumnos de tres institutos diferentes de Madrid y su periferia. Incluimos resultados agregados, las categorías usadas para clasificar las respuestas, el uso que los alumnos hacen de los dos fenómenos mencionados y algunas dificultades que nuestras preguntas han planteado a los alumnos. Palabras Clave: Límite Finito de Sucesiones. Fenomenología. Sistemas de Representación. Libros de Texto de Bachillerato. Diseño de una Encuesta

Profiles of future mathematics teachers in the teaching of the infinite limit of sequences

En este estudio se pretenden describir perfiles del futuro docente de matemáticas en relación con la enseñanza del límite infinito de una sucesión. Para ello, se conformaron grupos focales en los que el futuro profesorado dialogó sobre la manera en la que se abordaría la enseñanza de este límite y, posteriormente, se estableció un análisis de coincidencias reticular, con el que presentar la aparición de un conjunto de sucesos mediante un grafo. Los resultados arrojados permitieron determinan cómo el profesorado en formación empleará el enfoque intuitivo y formal en sus comentarios sobre la enseñanza del límite infinito de una sucesión. Además, analizamos si la formación es una variable a tener en cuenta en las respuestas de los futuros docentes a tareas relacionadas con el límite infinitoThe aim of this study is to describe the profiles of future mathematics teachers regarding the teaching of the infinite limit of a sequence. For this purpose, focus groups were formed in which pre-service teachers discussed the way in which they would approach the teaching of this limit and, subsequently, an analysis of reticular coincidences was established, with which to present the occurrence of a set of events by means of a graph. The results obtained made it possible to determine how the pre-service teachers will use the intuitive and formal approach in their comments on the teaching of the infinite limit of a sequence. In addition, we analyze whether training is a variable to be considered in the responses of pre-service teachers to tasks related to the infinite limit.Grupo S60_20R-Investigación en Educación Matemática en el ámbito de la Comunidad Autónoma de Aragón para el periodo 2020-2022Grupo HUM-324 del PAIDI de la Comunidad Autónoma de Andalucí

Lineal and cartesian graphics modes of representations in understanding of numerical sequence concept in secondary school students

Esta investigación forma parte de un trabajo cuyo objetivo es la compresión del concepto de sucesión numérica en los estudiantes de secundaria. El enfoque proporcionado por distintos investigadores en relación a los modos de representación y las aportaciones de Piaget y García en relación al desarrollo de un esquema a través de los niveles intra, inter y trans, nos proporciona información sobre el desarrollo de la comprensión del concepto de sucesión numérica a través del uso de los modos de representación gráficos, lineal y cartesiano, por parte de los estudiantes en la resolución de una tarea.The present paper is part of research that addresses the compression of the concept of numerical sequence in secondary school students. The perspective provided by the work of Piaget & Garcia related to the development of a scheme through several levels (intra, inter and trans), it provides empirical evidence of how the students’ use of the modes of representations when solving a task provides information of the development of understanding. This use allows us to go deep about the stages in the development of numerical sequence concep

Límite finito de una función en un punto: fenómenos que organiza

Esta investigación se realizó en el seno del grupo de investiación Didáctica de la Matemática. Pensamiento numérico (FQM-193) de la Universidad de Granada, perteneciente al Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e Innovación de la Junta de Andalucía.La investigación tiene como meta general caracterizar fenómenos organizados por una variedad de definiciones de límite finito de una función en un punto, establecer relaciones y validar externamente la presencia de dichos fenómenos en los procesos de enseñanza-aprendizaje, mediante un análisis de veintiocho libros de texto de secundaria y bachillerato, y realizando nueve entrevistas a profesores de secundaria. La metodología empleada para valorar el logro de los objetivos y refutar las hipótesis de investigación, ha sido de tipo cualitativo y consta de una fase teórica y otra experimental.Tesis Univ. Granada. Departamento de Didáctica de la Matemátic

Revista interuniversitaria de formación del profesorado

Resumen basado en el de la publicaciónTítulo, resumen y palabras clave en español e inglésMonográfico con el título: "Pedagogía visible"Se presenta una experiencia exploratoria, realizada en el Grado de Educación Primaria de la Universidad de Málaga, dentro del marco de una investigación-acción, en la que se utiliza el modelo flipped classroom en educación estadística, para evidenciar que, mediante la utilización de este modelo, se fomenta la autorregulación en el proceso de enseñanza-aprendizaje, alcanzando la metacognición. Se pretende, desde un planteamiento metodológico activo, basado en la autonomía personal y la autorregulación, implicar al alumnado en su aprendizaje, promover la capacidad de análisis de datos y razonamiento estadístico, y además ser capaces de desarrollar el pensamiento crítico. De acuerdo a los resultados observados, con este modelo se consiguen desplazar fuera del aula las actividades matemáticas más instrumentales, favoreciendo el desarrollo de tareas mucho más funcionales y formativas en el aula.ES