¿Mentimos a nuestros hijos cuando les decimos que 1+1 son 2?

La gente cree que la forma de contar sigue unas reglas predeterminadas por la aritmética convencional y que no existen ni pueden existir otro tipo de aritméticas. El objetivo de este artículo es mostrar la existencia de aritméticas distintas de la usual que dan respuesta a problemas reales en los que las reglas cotidianas entran en contradicciones o paradojas. En muchas ocasiones, tenemos que utilizar diferentes reglas para contar y esto es un signo de la existencia de distintas aritméticas. A estas aritméticas las llamaremos no diofantinas, en honor a Diophantus cuyas contribuciones a la aritmética clásica fueron fundamentales

Primera generalización de la Extrapolación Recíproca

Partiremos de una alternativa no lineal a la extrapolación clásica; la extrapolación recíproca. Revisaremos la primera generalización del método de Richardson y realizaremos una generalización de la extrapolación recíproca. Por último, veremos como esta nueva generalización tiene un mejor comportamiento en problemas donde la región de estabilidad es demasiado pequeña

Error bounds for a class of subdivision schemes based on the two-scale refinement equation

Subdivision schemes are iterative procedures to construct curves and constitute fundamental tools in Computer Aided Design. Starting with an initial control polygon, a subdivision scheme refines the computed values at the previous step according to some basic rules. The scheme is said to be convergent if there exists a limit curve. The computed values define a control polygon in each step. This paper is devoted to estimate error bounds between the “ideal” limit curve and the control polygon defined after k subdivision stages. In particular, a stop criteria of convergence is obtained. The considered refinement rules in the paper are widely used in practice and are associated to the well known two-scale refinement equation including as particular examples Daubechies’ schemes. Companies such as Pixar have made subdivision schemes the basic tool for much of their computer graphicsmodelling software.Research supported in part by MTM2007-62945

Some wavelets tools for Maxwell's equations

In recent years wavelets decompositions have been widely used in computational Maxwell’s curl equations, to effectively resolve complex problems. In this paper, we review different types of wavelets that we can consider, the Cohen-Daubechies-Feauveau biorthogonal wavelets, the orthogonal Daubechies wavelets and the Deslauriers-Dubuc interpolating wavelets. We summarize the main features of these frameworks and we propose some possible future works.Departamento de Matemática Aplicada y Estadística. Universidad Politécnica de Cartagena

On new strategies to control the accuracy of WENO algorithms close to discontinuities

This paper is devoted to the construction and analysis of new nonlinear optimal weights for weighted ENO (WENO) interpolation capable of raising the order of accuracy close to discontinuities. The new nonlinear optimal weights are constructed using a strategy inspired by the original WENO algorithm, and they work very well for corner or jump singularities, leading to optimal theoretical accuracy. This is the first part of a series of two papers. In this first part we analyze the performance of the new algorithms proposed for univariate function approximation in the point values (interpolation problem). In the second part, we will extend the analysis to univariate function approximation in the cell averages (reconstruction problem). Our aim is twofold: to raise the order of accuracy of the WENO type interpolation schemes both near discontinuities and in the interval which contains the singularity. The first problem can be solved using the new nonlinear optimal weights, but the second one requires a new strategy that locates the position of the singularity inside the cell in order to attain adaption. This new strategy is inspired by the ENO-SR schemes proposed by Harten [J. Comput. Phys., 83 (1989), pp. 148--184]. Thus, we will introduce two different algorithms in the point values. The first one can deal with corner singularities and jump discontinuities for intervals not containing the singularity. The second algorithm can also deal with intervals containing corner singularities, as they can be detected from the point values, but jump discontinuities cannot, as the information of their position is lost during the discretization process. As mentioned before, the second part of this work will be devoted to the cell averages and, in this context, it will be possible to work with jump discontinuities as well.The work of the authors was supported by the Programa de Apoyo a la Investigatión de la Fundación Séneca-Agencia de Ciencia y Tecnología de la Región de Murcia 20928/PI/18, by the national research project MTM2015-64382-P (MINECO/FEDER), and by National Science Foundation grant DMS-1719410

Una propuesta de proyecto de innovación docente donde se usan videos didácticos como apoyo en el autoaprendizaje

El objetivo de este proyecto de innovación docente es exponer una experiencia desarrollada en los tres últimos años para la asignatura de Métodos Numéricos de cuarto curso de la titulación de Ingeniero Agrónomo de la UPCT. La mayor novedad es la inclusión de videos docentes y de una evaluación centrada en la presentación oral y defensa de los trabajos realizados en grupo. Los resultados obtenidos fueron gratamente satisfactorios en todos los sentidos. El presente proyecto fue galardonado con el primer premio al mejor proyecto de innovación docente de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Agronómica.Consejo Escolar de la Región de Murcia. Consejería de Educación, Formación y Empleo. Universidad de Murcia. Universidad Politécnica de Cartagena. Centro de Profesores y Recursos de Murcia (CPR)

Operadores de reconstrucción y esquemas de subdivisión asociados

Los esquemas de subdivisión son unas herramientas muy usadas en el diseño de curvas y superficies, y tienen también relación con otras aplicaciones interesantes en tratamiento digital de imágenes o en la resolución de ecuaciones diferenciales. Estos esquemas están basados en un conjunto de reglas, las cuales aplicadas recursivamente permiten un refinamiento sucesivo de un conjunto inicial de puntos llamado puntos de control. Una propiedad importante a verificar en estos esquemas es la de preservación de la convexidad y de la monotonía. Una manera de abordar estas cuestiones se basa en la estrecha relación entre esquemas de subdivisión y operadores de reconstrucción. Estos operadores de reconstrucción conectan datos discretos con un cierto espacio funcional, que dependerá de las aplicaciones en concreto. Nuestro objetivo es presentar ciertos operadores de reconstrucción y sus esquemas de subdivisión asociados, verificando si conservan la convexidad y la monotonía

Un esquema de cuarto orden con casi-óptimo gasto computacional para ecuaciones no lineales

En este trabajo, presentamos un método de tres pasos y de cuarto orden que tiene un coste computacional muy aceptable. Esto es debido a que no necesita segundas derivadas y que la matriz de los sistemas lineales asociados es la misma en los tres pasos de cada iteración. Se estudiará su convergencia e implementación

Convergencia y análisis numérico de un método de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales

A lo largo de la Historia la resolución de ecuaciones no lineales ha preocupado a gran cantidad de científicos. Hoy en día, con los adelantos tecnológicos, estas ecuaciones son aproximadas de forma eficiente por medio de métodos iterativos. La idea es generar una sucesión de aproximaciones x0, x1, x2, ... que bajo ciertas condiciones converge a la raíz deseada. En este trabajo, presentamos una extensión a espacios de Banach de un método de tercer orden recientemente presentado en el caso escalar [6] M.A. Noor et al., An iterative method with cubic convergence for nonlinear equations, Appl. Math. Comp., 183, (2006), 1249-1255. Se introducirán varios teoremas de convergencia, modificaciones que no necesitan el cómputo de derivadas y varios experimentos numéricos