A lo largo de la Historia la resolución de ecuaciones no lineales ha preocupado a gran cantidad de científicos. Hoy en día, con los adelantos tecnológicos, estas ecuaciones son aproximadas de forma eficiente por medio de métodos iterativos. La idea es generar una sucesión de aproximaciones x0, x1, x2, ... que bajo ciertas condiciones
converge a la raíz deseada.
En este trabajo, presentamos una extensión a espacios de Banach de un método de tercer orden recientemente presentado en el caso escalar [6] M.A. Noor et al., An iterative method with cubic convergence for nonlinear equations, Appl. Math. Comp., 183, (2006), 1249-1255. Se introducirán varios teoremas de convergencia, modificaciones que no necesitan el cómputo de derivadas y varios experimentos numéricos

Amat Plata, Sergio

Bermúdez Edo, María Concepción

Busquier Sáez, Sonia

Manzano García, Fernando

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–6)Convergencia y ana´lisis nume´rico de un me´todo de tercerorden para sistemas de ecuaciones no linealesS. Amat1, C. Bermu´dez1, S. Busquier1, F. Manzano1, S.Plaza21 Dpto. de Matema´tica Aplicada y Estad´ıstica, U.P. Cartagena. 30203 Cartagena (Murcia) E-mails:sergio.amat@upct.es, sonia.busquier@upct.es, concepcion.bermudez@upct.es.2 Dpto. de Matema´ticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile. E-mail:splaza@lauca.usach.cl.Palabras clave: Me´todos iterativos, sistemas de ecuaciones no lineales, orden de convergenciaResumenA lo largo de la Historia la resolucio´n de ecuaciones no lineales ha preocupado agran cantidad de cient´ıficos. Hoy en d´ıa, con los adelantos tecnolo´gicos, estas ecua-ciones son aproximadas de forma eficiente por medio de me´todos iterativos. La ideaes generar una sucesio´n de aproximaciones x0, x1, x2, ... que bajo ciertas condicionesconverge a la ra´ız deseada.En este trabajo, presentamos una extensio´n a espacios de Banach de un me´todode tercer orden recientemente presentado en el caso escalar [6]. Se introducira´n variosteoremas de convergencia, modificaciones que no necesitan el co´mputo de derivadas yvarios experimentos nume´ricos.1. Introduccio´nEn matema´ticas, uno de los problemas ma´s habituales al que nos enfrentamos es laresolucio´n de ecuaciones. Cuando nos encontramos con la expresio´n F (x) = 0, cabe pensaren diferentes situaciones, resolucio´n de un sistema de ecuaciones, encontrar la solucio´n deuna ecuacio´n diferencial o hallar las ra´ıces de un polinomio. Cuando la obtencio´n de lasolucio´n no es posible (hecho que ocurre en numerosas ocasiones), nos debemos conformarcon aproximaciones de las mismas. Este hecho da pie a los procesos nume´ricos, dando vidaa los me´todos iterativos.Las ra´ıces de una ecuacio´n no lineal f(x) = 0 no puede expresarse en general de for-ma cerrada. As´ı para tratar ecuaciones no lineales, usualmente se debe utilizar me´todos1S.Amat, C. Bermu´dez, S. Busquier, F. Manzano, S. Plazaaproximados. Estos me´todos normalmente se basan en la idea de aproximacio´n sucesivao en linealizacio´n. Tales me´todos son iterativos; es decir, a partir de una o ma´s aproxi-maciones a la ra´ız, crean una sucesio´n x0, x1, x2, ... que bajo ciertas condiciones convergea la ra´ız deseada. Con ciertos me´todos, es suficiente (para la convergencia) conocer unintervalo [a, b] que contenga a la ra´ız. Otros me´todos requieren una aproximacio´n inicialque esta´ cerca de la ra´ız deseada; a cambio, estos me´todos convergen ma´s ra´pidamente.As´ı, a menudo es conveniente empezar con un me´todo de orden bajo y luego cambiar auno que converja ma´s ra´pido [3].En general, un me´todo iterativo xn+1 = Φ(xn) es de orden p-e´simo si la solucio´n x∗de F (x) = 0 satisface x∗ = Φ(x∗), Φ′(x∗) = · · · = Φ(p−1(x∗) = 0 y Φ(p(x∗) 6= 0. Para esteme´todo, el error |x∗ − xn+1| es proporcional a |x∗ − xn|p cuando n→∞. Por ejemplo, elme´todo de Newtonxn+1 = xn − F ′(xn)−1F (xn).tiene convergencia cuadra´tica (orden dos) para ra´ıces simples.En este trabajo, presentamos una extensio´n a espacios de Banach de un me´todo detercer orden recientemente presentado en el caso escalar [6]. Se introducira´n varios teo-remas de convergencia, modificaciones que no necesitan el computo de derivadas y variosexperimentos nume´ricos.2. Esquemas de tercer ordenEn [6] se introduce el siguiente me´todo iterativo de orden 3yn = xn − f(xn)f ′(xn),zn = −(yn − xn)22f ′(xn)f′′(xn)xn+1 = yn − (yn + zn − xn)22f ′(xn)f′′(xn).En este trabajo estamos interesados en el caso de sistemas de ecuaciones o de formama´s general de ecuaciones donde los operadores sean entre espacios de Banach.Sea F : D ⊂ X → Y un operador no lineal, entonces el me´todo anterior se escribecomoxn+1 = xn − (I + Tn + 2T 2n + T 3n)ΓndondeTn :=12F ′ (xn)−1 F ′′ (xn)F ′ (xn)−1 F (xn) ,yΓn := F ′ (xn)−1 F (xn) .Usando diferencias divididas se pueden obtener esquemas que no necesitan que eloperador sea diferenciable Fre´chet [2], [5].2Sobre un me´todo de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales3. ConvergenciaLos me´todos introducidos en la seccio´n anterior pueden escribirse comotn+1 = tn −(1 + θn +O(θ2n)) f (tn)f ′ (tn),dondeθn :=12f ′′ (tn) f (tn)f ′ (tn)2.En particular, podemos aplicar la teor´ıa general desarrollada para este tipo de me´todos[1], [4].Para un operador entre espacios de Banach F : D ⊂ X → Y ; F (x) = 0, se tienexn+1 = xn −(I + Tn +O(T 2n))Γn. (1)Consideraremostn+1 = tn −(1 + θn +O(θ2n)) f (tn)f ′ (tn), (2)donde O(θ2n) tiene el mismo desarrollo de Taylor que O(T 2n).Proposicio´n 1 Sean a, b, c > 0 nu´meros reales de forma quea ≤(b2 + 2c) 32 − b (b2 + 3c)3c2. (3)Entonces, existe un polinomio de tercer grado f (t) verificando:(a) f (0) = 0(b) f (t0) = a(c) f ′ (t0) = 1(d) f ′′ (t0) = b(e) f ′′′ (t) = −c, ∀t real.Demostracio´nClaramente, paraf (t) := t(− c6t2 + βt+ γ)dondeβ :=b+ ct02yγ := 1− c2t20 − bt0se verifican los resultados.¤3S.Amat, C. Bermu´dez, S. Busquier, F. Manzano, S. PlazaCorolario 1 Si a, b, c verifican (3), entonces ab ≤ 12 .Proposicio´n 2 La sucesio´n {tn}n≥0 converge mono´tonamente y su l´ımite es cero.Teorema 1 Supongamos que x0 en D es tal que F ′ (x0) es invertible. Adema´s, a, b, c sonnu´meros reales positivos verificando 3, y para todo x, y en D,∥∥∥F ′ (x0)−1 F (x0)∥∥∥ ≤ a, (4)∥∥∥F ′ (x0)−1 F ′′ (x0)∥∥∥ ≤ b, (5)||F ′(x0)−1(F ′′(x)− F ′′(y)|| ≤ c ‖x− y‖ . (6)Adema´s, como f(t), t0 y {tn}n≥0 son los definidos en la seccio´n anterior, se tiene paratodo n ≥ 0,‖xn+1 − xn‖ ≤ tn − tn+1.Corolario 2 Bajo las mismas hipo´tesis del teorema 1, siB′ := {x ∈ X : ‖x− x0‖ ≤ t0} ⊂ D,entonces la sucesio´n {xn}n≥0 converge a x∗ en B′; x∗ es la u´nica ra´ız de F (x) = 0 enB := {x ∈ D : ‖x− x0‖ ≤ t2} .Adema´s, para todo n ≥ 0,‖xn − x∗‖ ≤ tnCorolario 3 Para todo a, b, c ≥ 0 satisfaciendo (3), existe un operador F (x) y un pivotex0 verificando la proposicio´n 2 tal que:Si {xn}n≥0 es la sucesio´n obtenida en (1) de x0, entonces||xn+1 − xn|| = tn − tn+1; ‖x∗ − xn‖ = tn(Es claro que f (t) y t0 satisfacen el corolario)Lema 1 F ′(x0)−1[x, y;F ] es invertible, y||F ′(x0)−1[xn, x∗;F ]|| ≤11− { b2(||xn − x0||+ t0) + c6(||xn − x0||2 + t0||xn − x0||+ t02)}=: rProposicio´n 3 Sean b, c, t0, F, F ′, F ′′, T, xn, x∗ verificando las mismas condiciones que enel resto de la seccio´n. Entonces,||xn − x∗|| ≤ r||F ′(x0)−1F (xn)||4Sobre un me´todo de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales4. Experimentos nume´ricosSea la ecuacio´n de Hammersteinx(s) = 1− 14∫ 10st+ s1x(t)dt, s ∈ [0, 1]. (7)Usando la regla de integracio´n de los trapecios con paso h = 1m , obtenemos el siguientesistema de ecuaciones no lineales0 = xi − 1 + 14m(12titi + t01x0n∑k=0titi + tk1xk+12titi + tm1xm), i = 0, 1, . . . ,m, (8)donde tj = jm .En este caso, la segunda derivada Fre´chet es diagonal a bloques.Consideramos m = 100 y tomamos como solucio´n la computada nume´ricemente por elme´todo de Newton. (ver tabla 1).Newton Tercer Orden4 3Tabla 1: Nu´mero de iteraciones hasta la convergencia, x0 = 1, discretizacio´n ecuacio´n tipoHammerstein.Consideramos ecuaciones cuadra´ticas del tipoF (x) = x′Ax+Bx+ C = 0 (9)donde dim(A) = (N ×N ×N , dim(B) = N ×N y dim(C) = dim(x) = N .Sobre el tipo de ecuaciones, pueden venir de la discretizacio´n de problemas de equilibrio,donde interaccionan fuerzas entre part´ıculas que determinan el rendimiento. De cualquiermodo, el caso que vamos a analizar esta´ preparado para obtener una solucio´n exacta conel fin de facilitar la evaluacio´n de los errores. Generamos aleatoriamente A y B, y entoncesdeterminamos C tal que x∗(i) = 2, i = 1, 2, . . . , n, es una solucio´n de (9). En la tabla 2 ladimensio´n utilizada es m = 100.Notar que, la segunda derivada Fre´chet es constante F′′(x) = A+A′.Newton Tercer Orden5 4Tabla 2: Nu´mero de iteraciones hasta la convergencia, x0 = 1,8, ecuacio´n cuadra´tica.Finalmente, estudiamos el sistema de ecuaciones no diferenciable (ver tabla 3)3x2 + y2 − 1 + |x− 1| = 0,x4 + xy3 − 1 + |y| = 0.5S.Amat, C. Bermu´dez, S. Busquier, F. Manzano, S. PlazaSecante Tercer Orden8 3Tabla 3: Nu´mero de iteraciones hasta la convergencia, (x−1, y−1) = (5, 5), (x0, y0) = (1, 0),sistema no diferenciable.La solucio´n considerada es(x∗, y∗) = (0,8946553733346867, 0,3278265117462974).Se han utilizado como primera y segunda diferencia dividida[xn − γnF (xn), xn + γnF (xn);F ]y[xn − γnF (xn), xn, xn + γnF (xn);F ]donde γn es un para´metro real verificando10−16 << ||γnF (xn)|| ≤ 10−6,(ver [1], [2]).5. ConclusionesSe han estudiado unos me´todos iterativos de tercer orden para ecuaciones no lineales enespacios de Banach, construyendo teoremas de convergencia. Se han dado alternativas paraprescindir del uso de derivadas. En diversos ejemplos de intere´s pra´ctico hemos testado losdistintos me´todos. Los me´todos introducidos son competitivos con respecto a los me´todoscla´sicos ya conocidos.AgradecimientosLa investigacio´n de los cuatro primeros autores ha sido en parte subvencionada porMTM2004-07114 y 00675/PI/04. La investigacio´n de Sergio Plaza ha sido subvencionadaen parte por Fondecyt Grant #1020711 y Dicyt Grant #0433Referencias[1] S. Amat, S. Busquier, Third-order iterative methods under Kantorovich conditions. J. Math. Anal.Appl., en prensa 2007.[2] S. Amat, S. Busquier, Convergence and numerical analysis of a family of two-step Steffensen’s met-hods. Comput. Math. Appl. 49 (1), 13–22, (2005).[3] S. Amat, S. Busquier and J.M. Gutie´rrez, Geometric constructions of iterative functions to solvenonlinear equations. J. Comput. Appl. Math. 157 (1), 197–205, (2003).[4] M.A. Herna´ndez and N. Romero, On a characterization of some Newton-like methods of R-order atleast three. J.Comput.Appl.Math. 183 (1), 53-66, (2005).[5] M.A. Herna´ndez and M.J. Rubio, Semilocal convergence of the secant method under mild convergenceconditions of differentiability. Comput. Math. Appl. 44 (3-4), 277-285, (2002).[6] M.A. Noor et al., An iterative method with cubic convergence for nonlinear equations, Appl. Math.Comp., 183, (2006), 1249-1255.6

Convergencia y análisis numérico de un método de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/34827/Convergencia%20y%20an%c3%a1lisis%20num%c3%a9rico%20de%20un%20m%c3%a9todo%20de%20tercer%20orden%20para%20sistemas%20de%20ecuaciones%20no%20lineales.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Convergencia y análisis numérico de un método de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla