Los esquemas de subdivisión son unas herramientas muy usadas en el diseño de curvas y superficies, y tienen también relación con otras aplicaciones interesantes en tratamiento digital de imágenes o en la resolución de ecuaciones diferenciales.
Estos esquemas están basados en un conjunto de reglas, las cuales aplicadas recursivamente permiten un refinamiento sucesivo de un conjunto inicial de puntos llamado puntos de control.
Una propiedad importante a verificar en estos esquemas es la de preservación de la convexidad y de la monotonía.
Una manera de abordar estas cuestiones se basa en la estrecha relación entre esquemas de subdivisión y operadores de reconstrucción. Estos operadores de reconstrucción conectan datos discretos con un cierto espacio funcional, que dependerá de las aplicaciones en concreto. Nuestro objetivo es presentar ciertos operadores de reconstrucción y sus esquemas de subdivisión asociados, verificando si conservan la convexidad y la
monotonía

Amat Plata, Sergio

Donat Beneito, Rosa María

Trillo Moya, Juan Carlos

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–6)Operadores de reconstruccio´n y esquemas de subdivisio´nasociados.S. Amat1, R. Donat2,J.C. Trillo11 Dpto. Matema´tica Aplicada y Estad´ıstica, Universidad Polite´cnica de Cartagena, Campus de AlfonsoXIII, Edif. Civil y Naval, 30203 Cartagena. E-mails: Sergio.Amat@upct.es, jctrillo@upct.es.2 Dpto. de Matema´tica Aplicada, Universidad de Valencia, C/ Dr. Moliner,50, 46100 Burjassot ,Valencia. E-mail: donat@uv.es .Palabras clave: esquemas de subdivisio´n, reconstrucciones, convexidad, monoton´ıaResumenLos esquemas de subdivisio´n son unas herramientas muy usadas en el disen˜o decurvas y superficies, y tienen tambie´n relacio´n con otras aplicaciones interesantes entratamiento digital de ima´genes o en la resolucio´n de ecuaciones diferenciales.Estos esquemas esta´n basados en un conjunto de reglas, las cu´ales aplicadas recur-sivamente permiten un refinamiento sucesivo de un conjunto inicial de puntos llamadopuntos de control.Una propiedad importante a verificar en estos esquemas es la de preservacio´n dela convexidad y de la monoton´ıa.Una manera de abordar estas cuestiones se basa en la estrecha relacio´n entre esque-mas de subdivisio´n y operadores de reconstruccio´n. Estos operadores de reconstruccio´nconectan datos discretos con un cierto espacio funcional, que dependera´ de las aplica-ciones en concreto. Nuestro objetivo es presentar ciertos operadores de reconstruccio´ny sus esquemas de subdivisio´n asociados, verificando si conservan la convexidad y lamonoton´ıa.1. Esquemas de subdivisio´nComenzando con un conjunto discreto de datos, los esquemas de subdivisio´n generannuevos datos siguiendo un conjunto de reglas bien establecidas, consiguiendo as´ı un nuevoconjunto de datos ma´s ‘denso’ que el anterior, el cual sera´ a su vez refinado.Una manera de obtener esquemas de subdivisio´n surge de considerar los operadores dediscretizacio´n Dk, que actuan entre un cierto espacio funcional F y un nivel discreto deresolucio´n Vk (k mayor indica mayor resolucio´n), y los operadores de reconstruccio´n Rk,1S. Amat, R. Donat , J.C. Trillolos cuales conectan los diferentes niveles discretos de resolucio´n con el espacio funcional.El u´nico requerimiento es que la composicio´n DkRk = IVk . Un esquema de subdivisio´n Spuede definirse entonces como una aplicacio´n S : Vk → Vk+1 tal que Sfk = Dk+1Rkfk. Aloperador Pk+1k := Dk+1Rk se le denota operador prediccio´n y conecta dos escalas sucesivasde resolucio´n.1.1. Esquemas de subdivisio´n interpolatoriosConsideremos en R el conjunto de mallas anidadas:Xk = {xkj }j∈Z, xkj = jhk, hk = 2−k, (1)y el operador de discretizacio´n por valores puntualesDk :{CB(R) → Vkf 7→ fk = (fkj )j∈Z = (f(xkj ))j∈Z,(2)donde V k es el espacio de secuencias reales relacionado con la malla Xk y CB(R) elconjunto de funciones continuas y acotadas R. Un operador reconstruccio´n Rk asociado aesta discretizacio´n es cualquier operador inverso por la derecha de Dk, lo que significa quepara todo fk ∈ V k, Rkfk ∈ CB(R) y(Rkfk)(xkj ) = fkj = f(xkj ). (3)El operador prediccio´n, es decir, Dk+1Rk : Vk → V k+1, define un esquema de subdi-visio´n. La relacio´n (3) implica que el esquema de subdivisio´n es interpolatorio. Si Rk esun operador no lineal entonces el correspondiente esquema de subdivisio´n es tambie´n nolineal.Los esquemas de subdivisio´n interpolatorios pueden ser descritos de la siguiente forma:Sfk = Dk+1Rkfk ={fk+12j+1 = (Rkfk)(xk+12j+1),fk+12j = (Rkfk)(xk+12j ) = fkj .(4)Debido a la propiedad de interpolacio´n, so´lo se necesita calcular las componentes imparesde la nueva secuencia. Normalmente los operadores de reconstruccio´n utilizados son cons-truidos a trozos, es decir, se construyen en cada intervalo [xkj , xkj+1] bajo las restricciones(Rkfk)(xkj ) = fkj y (Rkfk)(xkj+1) = fkj+1.1.2. Esquemas de subdivisio´n basados en discretizacio´n por medias enceldaEste tipo de esquemas de subdivisio´n vienen generados por una discretizacio´n pormedias en celda, es decirDk :L1(R) → V kf 7→ (f¯j)j∈Z = (1hk∫ xkjxkj−1f(x)dx)j∈Z,(5)2Operadores de reconstruccio´n y esquemas de subdivisio´n asociadosdonde L1(R) representa a las funciones absolutamente integrables y {Xk} es la secuen-cia de mallas anidadas (1).Un operador de reconstruccio´n para esta discretizacio´n es cualquier operador Rk quesatisfagaRk : Vk −→ L1(R),(DkRkf¯k)j =1hk∫ xkjxkj−1(Rkf¯k)(x)dx = f¯kj . (6)Por tanto Rkf¯k(x) tiene que ser una funcio´n en L1(R) cuyo valor medio en la celda (j)-e´sima coincida con f¯kj para todo j.Tambie´n en este entorno de medias en celda es habitual construir los operadores dereconstruccio´n a trave´s de funciones polino´micas a trozos. Para cada intervalo [xk−1j−1 , xk−1j ]se construye un trozo polino´mico pj(x) = pj(x, f¯k−1) que satisfaga (6), es decir1hk−1∫ xk−1jxk−1j−1pj(x)dx = f¯k−1j . (7)Una manera de conseguir esto es a partir de la funcio´n primitiva F (x) :=∫ x−∞f(x)dx.Se debe observar que el conjunto de datos {f¯k−1l }l∈Z se puede relacionar con Fk−1l :=F (xk−1l ), l ∈ Z, como sigue:F k−1l = hk−1∑sf¯k−1s , (8)f¯k−1l =F k−1l − Fk−1l−1hk−1. (9)El trozo polino´mico pj(x) se construye entonces comopj(x) =ddxqj(x, Fk−1), (10)donde qj(x, Fk−1) es un polinomio construido a partir de {F k−1l }l∈Z con las restriccionesqj(xk−1j−1 , Fk−1) = F k−1j−1 y qj(xk−1j , Fk−1) = F k−1j .Es so´lo una cuestio´n de algunas operaciones algebraicas el comprobar que se satisface(7).La prediccio´n para f¯k2j−1 quedaf¯k2j−1 =1hk(qj(xk2j−1)− qj(xk2j−2)) =1hk(qj(xk2j−1)− Fk−1j−1 ).Y por tanto la prediccio´n para los pares sera´ f¯k2j−2 = 2f¯k−1j−1 − f¯k2j−1.2. Un caso de esquemas de subdivisio´n no lineales: PPHEn [1],[9] se presenta un nuevo operador de reconstruccio´n al cual los autores nombranPPH (piecewise polynomial harmonic). Un trozo polino´mico de este operador viene dado3S. Amat, R. Donat , J.C. Trillopor q˜j definido para cada intervalo [xkj , xkj+1] como el u´nico polinomio de grado 3 que satis-face ciertas condiciones. Definamos Dfki =fki−1−2fki +fki+12h2k. Entonces, para el caso en que|Dfkj | ≤ |Dfkj+1| (este es el caso cuando una discontinuidad se encuentra en [xkj+1, xkj+2])las condiciones son {q˜j(xkl ) = fkl , para j − 1 ≤ l ≤ j + 1,q˜j(xkj+2) = f˜kj+2,conf˜kj+2 = fkj+1 + fkj − fkj−1 + 4D˜kj h2k,D˜kj ={2Dfkj Dfkj+1Dfkj +Dfkj+1si Dfkj Dfkj+1 > 0,0 en otro caso,Sino, q˜j se determina por las condiciones{q˜j(xkj−1) = f˜kj−1,q˜j(xkl ) = fkl , para j ≤ l ≤ j + 2conf˜kj−1 = fkj+1 + fkj − fkj+2 + 4D˜kj h2k.A partir de este operador de reconstruccio´n se construye el esquema de subdivisio´ninterpolatorio dado por(Sfk)2j = fkj ,(Sfk)2j+1 =fkj+1+fkj2 −14D(f)kjD(f)kj+1D(f)kj+D(f)kj+1if D(f)kjD(f)kj+1 > 0,fkj+1+fkj2 en otro caso,conD(f)ki = fki+1 − 2fki + fki−1.Utilizando entonces la te´cnica de la funcio´n primitiva se construye el operador dereconstruccio´n para el caso de discretizacio´n por medias en celda, es decirp˜j(x) =ddxqj(x, Fk),y tambie´n su esquema de subdivisio´n asociado, que resulta ser:(Sf¯k)2j+1 = f¯kj −142δ(f¯)kj δ(f¯)kj+1δ(f¯)kj + δ(f¯)kj+1,(Sf¯k)2j+2 = f¯kj +142δ(f¯)kj δ(f¯)kj+1δ(f¯)kj + δ(f¯)kj+1,conδ(f¯)ki = f¯ki − f¯ki−1.4Operadores de reconstruccio´n y esquemas de subdivisio´n asociados3. Conservacio´n de la monoton´ıa del esquema de subdi-visio´n PPHEn [9] se prueba que tanto el operador de reconstruccio´n PPH como su esquema desubdivisio´n tienen propiedades de conservacio´n de la convexidad en el caso interpolatorio.En este trabajo nosotros probamos resultados ana´logos respecto de la monoton´ıa para lareconstruccio´n PPH y para su esquema de subdivisio´n asociado en el entorno de las mediasen celda.Definamos primero que se entiende por preservacio´n de la convexidad y de la mono-ton´ıa.Definicio´n 1 El conjunto de datos {fj}, asociado a un mallado uniforme, se dice estric-tamente convexo si y so´lo si D(f)j > 0 ∀j, donde D(f)j = fj−1 − 2fj + fj+1.Definicio´n 2 Un esquema de subdivisio´n sobre un mallado uniforme se dice que conservala convexidad si y so´lo si el conjunto de datos {fkj } es estrictamente convexo para todoslos niveles k de subdivisio´n.Definicio´n 3 El conjunto de datos {f¯j}, asociado a un mallado uniforme, se dice estric-tamente mono´tono si y so´lo si δ(f¯)j > 0 ∀j, donde δ(f¯)j = δ(f¯j)− δ(f¯j−1).Definicio´n 4 Un esquema de subdivisio´n sobre un mallado uniforme se dice que conservala monoton´ıa si y so´lo si el conjunto de datos {f¯kj } es estrictamente mono´tono para todoslos niveles k de subdivisio´n.Los dos principales resultados son los siguientes:Teorema 1 Sea p˜j(x) el polinomio correspondiente a la reconstruccio´n PPH en el inter-valo [xj , xj+1] dentro del entorno de medias en celda. Este polinomio p˜j(x) satisface losiguiente: si δ(f¯)j > 0 y δ(f¯)j+1 > 0, entonces p˜′j(x) > 0 ∀x ∈ (xj− 12, xj+ 32), es decir, esmono´tono en ese intervalo.Teorema 2 El esquema de subdivisio´n PPH para medias en celda conserva la monoton´ıa.Tambie´n como en el caso de la convexidad para valores puntuales es posible probar elTeorema 2 mediante una conexio´n entre las propiedades del operador de reconstruccio´n ylas del esquema de subdivisio´n asociado.Referencias[1] S. Amat, R. Donat, J. Liandrat, and J.C. Trillo.Analysis of a new nonlinear subdivision scheme.Applications in image processing. Foundations of Computational Mathematics, (2006), 6(2), 193-226.[2] F.Ara`ndiga and R.Donat. Nonlinear Multi-scale Decompositions: The Approach of A.Harten, Nu-merical Algorithms (2000), 23, 175-216.[3] A. Cohen, N. Dyn and B. Matei. Quasilinear subdivision schemes with applications to ENO interpo-lation. Appl. Comp. Harm. Anal., (2003), 15, 89-116.5S. Amat, R. Donat , J.C. Trillo[4] G. Delauries, and S. Dubuc. Symmetric Iterative Interpolation Processes. Constr. Approx, (1989), 5,49-68.[5] N. Dyn, A. Gregori, and D. Levin. A 4-point interpolatory subdivision scheme for curve design.Comput. Aided. Geom. Design., (1987), 4, 257-268.[6] N. Dyn, F. Kuijt, D. Levin, and R. van Damme. Convexity preservation of the four-point interpolatorysubdivision scheme. Computer Aided Geometric Design, (1999), 16(8), 789-792.[7] M.S. Floater and C.A. Micchelli. Nonlinear stationary subdivision. Approximation theory: in memoryof A.K. Varna, edt: Govil N.K, Mohapatra N., Nashed Z., Sharma A., Szabados J., (1998), 209-224.[8] F. Kuijt and R. van Damme. Convexity preserving interpolatory subdivision schemes. Const. Approx.,(1998), 14, 609-630.[9] J.C. Trillo, PHD thesis: Nonlinear multiresolution and its applications in image processing, Univ. deValencia, (2006).6

Operadores de reconstrucción y esquemas de subdivisión asociados

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/36203/Operadores%20de%20reconstrucci%c3%b3n%20y%20esquemas%20de%20subdivisi%c3%b3n%20asociados.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Operadores de reconstrucción y esquemas de subdivisión asociados

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla