En este trabajo, presentamos un método de tres pasos y de cuarto orden que tiene un coste computacional muy aceptable. Esto es debido a que no necesita segundas derivadas y que la matriz de los sistemas lineales asociados es la misma en los tres pasos de cada iteración. Se estudiará su convergencia e implementación

Amat Plata, Sergio

Bermúdez Edo, María Concepción

Busquier Sáez, Sonia

Manzano García, Fernando

Plaza Salinas, Sergio

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–5)Un esquema de cuarto orden con casi-o´ptimo gastocomputacional para ecuaciones no linealesS. Amat1, C. Bermu´dez1, S. Busquier1, F. Manzano1, S.Plaza21 Dpto. de Matema´tica Aplicada y Estad´ıstica, U.P. Cartagena. 30203 Cartagena (Murcia) E-mails:sergio.amat@upct.es, sonia.busquier@upct.es, concepcion.bermudez@upct.es.2 Dpto. de Matema´ticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile. E-mail:splaza@lauca.usach.cl.Palabras clave: Me´todos iterativos, sistemas de ecuaciones no lineales, orden de convergenciaResumenEn este trabajo, presentamos un me´todo de tres pasos y de cuarto orden que tieneun coste computacional muy aceptable. Esto es debido a que no necesita segundasderivadas y que la matriz de los sistemas lineales asociados es la misma en los trespasos de cada iteracio´n. Se estudiara´ su convergencia e implementacio´n.1. Introduccio´nLa resolucio´n de ecuaciones no lineales es sin duda uno de los problemas ma´s cla´sicosen matema´ticas. Para aproximar este tipo de problemas los me´todos iterativos juegan unpapel fundamental. A partir de una o ma´s aproximaciones a la ra´ız, se crea una sucesio´nx0, x1, x2, ... que bajo ciertas condiciones converge a la ra´ız deseada.En general, un me´todo iterativo xn+1 = Φ(xn) es de orden p-e´simo si la solucio´n x∗de F (x) = 0 satisface x∗ = Φ(x∗), Φ′(x∗) = · · · = Φ(p−1(x∗) = 0 y Φ(p(x∗) 6= 0. Para esteme´todo, el error |x∗ − xn+1| es proporcional a |x∗ − xn|p cuando n→∞. Por ejemplo, elme´todo de Newtonxn+1 = xn − F ′(xn)−1F (xn).tiene convergencia cuadra´tica (orden dos) para ra´ıces simples.Al estudiar un me´todo iterativo, uno de los aspectos ma´s importante a considerar esla convergencia. Por otro lado el coste computacional es la otra caracter´ıstica a estudiar.En este trabajo, presentamos un me´todo de tres pasos y de cuarto orden que tiene uncoste computacional muy aceptable. Esto es debido a que no necesita segundas derivadas1S.Amat, C. Bermu´dez, S. Busquier, F. Manzano, S. Plaza[2] y que la matriz de los sistemas lineales asociados es la misma en los tres pasos de cadaiteracio´n. Se estudiara´ su convergencia e implementacio´n.2. Esquemas de cuarto ordenPartimos de la familia triple parame´trica de la formayn = xn + αf(xn)f ′(xn),zn = yn + βf(yn)f ′(xn),xn+1 = zn + γf(zn)f ′(xn).El objetivo es encontrar para´metros tales que permitan obtener me´todos de cuartoorden. Por construccio´n, el gasto en cada iteracio´n ser´ıa de tres evaluaciones de f y una def′. Lo ma´s importante es que la extensio´n del me´todo para resolver sistemas de ecuacionesno lineales es computacionalmente eficiente. Por construccio´n, no necesita derivadas deorden superior [2] y la matriz de los sistemas lineales asociados en los tres pasos sera´ lamisma.Teorema 1 Dada una funcio´n suficientemente derivable, si se parte de un punto x0 sufi-cientemente cerca de x∗ solucio´n de f(x) = 0, con f ′(x∗) 6= 0, entonces existen dos u´nicasternas de para´metros (α, β, γ) = (±1,−1,−1) de forma que en la familia anterior se obtie-nen esquemas de cuatro orden. Adema´s, dichos esquemas tienen las siguientes constantesasinto´ticas del errorl´ımn→∞en+1e4n= (13f′′(x∗)f ′′′(x∗)f ′(x∗)2− 12f′′(x∗)3f ′(x∗)3), (α, β, γ) = (1,−1,−1),l´ımn→∞en+1e4n= −12f′′(x∗)3f ′(x∗)3), (α, β, γ) = (−1,−1,−1),siendo en = x∗ − xn.3. Extensio´n a espacios de BanachSea F : Ω ⊂ X → Y un operador no lineal entre dos espacios de Banach X e Y .Entonces los me´todos de cuarto orden encontrados en las seccio´n anterior vienen dadospor:yn = xn ± F ′(xn)−1F (xn),zn = yn − F ′(xn)−1F (yn),xn+1 = zn − F ′(xn)−1F (zn).Como vemos la matriz de los tres sistemas es la misma con lo cual el gasto computa-cional sera´ comparable a Newton, obteniendo una alternativa a este de orden superior.2Sobre un me´todo de cuarto orden para sistemas de ecuaciones no linealesAl estudiar un me´todo iterativo, uno de los aspectos ma´s importante a considerar es laconvergencia. Los resultados “tipo Kantarovich”, establecen condiciones suficientes en eloperador y en la primera aproximacio´n a la solucio´n (pivote) para asegurar que la sucesio´ngenerada por el esquema converja a una solucio´n de la ecuacio´n, dando lugar a los llamadosteoremas semilocales de convergencia. Por otra parte, en los llamados teoremas locales deconvergencia, se imponen las hipo´tesis sobre la ra´ız buscada. En este tipo de teoremaslas hipo´tesis en el operador esta´n relacionadas con propiedades de lipschitzianidad en lasderivadas de Fre´chet del mismo [1]-[3].4. Experimentos nume´ricosComenzamos con algunas ecuaciones en R. En la tabla 2 mostramos los resultados quese obtienen al aplicar el me´todo de Newton (New), el me´todo de orden cuatro expuestoen Noor [4] (MN),y los presentados en este art´ıculo (α+) y (α−). Los ejemplos son losseleccionados en Noor [4]:f1 = (sinx)2 − x2 + 1f2 = cosx− xf3 = (x− 1)3 − 1f4 = (x)3 − 10f5 = xex2 − (sinx)2 + 3 cosx+ 5f6 = ex2+7x−30 − 1.El criterio de parada usado es: |f(xn)| < 10−15 y |xn − xn−1| < 10−15.Finalmente, sea la ecuacio´n de Hammersteinx(s) = 1− 14∫ 10st+ s1x(t)dt, s ∈ [0, 1]. (1)Usando la regla de integracio´n de los trapecios con paso h = 1m , obtenemos el siguientesistema de ecuaciones no lineales0 = xi − 1 + 14m(12titi + t01x0+n∑k=0titi + tk1xk+12titi + tm1xm), i = 0, 1, . . . ,m, (2)donde tj = jm .En este caso, la segunda derivada Fre´chet es diagonal por bloques.Consideramos m = 100 y tomamos como solucio´n la computada nume´ricamente por elme´todo de Newton. (ver tabla 1).New α−4 2Tabla 1: Nu´mero de iteraciones hasta la convergencia, x0 = 1, discretizacio´n ecuacio´n tipoHammerstein.3S.Amat, C. Bermu´dez, S. Busquier, F. Manzano, S. Plaza5. ConclusionesSe ha estudiado unos me´todos iterativos de cuarto orden para ecuaciones no lineales.Se han calculado las constantes asinto´ticas del error y se ha presentado la extensio´n de losme´todos a ecuaciones entre operadores en espacios de Banach. En diversos ejemplos hemostestado los distintos me´todos. Los me´todos introducidos son competitivos con respecto alos me´todos cla´sicos ya conocidos.n xn f(xn) |xn − xn−1|f1,x0 = −1New 7 -1.4044916482153412260350868178 -1.04e-50 7.33e-26MN 5 -1.4044916482153412260350868178 -1.30e-40 5.40e-41α− 5 -1.4044916482153412260350868178 -4.27e-161 5.46e-41α+ 5 -1.4044916482153412260350868178 -8.86e-210 3.83e-53f2,x0 = 1,7New 5 0.73908513321516064165531208767 -2.03e-32 2.34e-16MN 4 0.73908513321516064165531208767 -3.70e-54 2.40e-54α− 4 0.73908513321516064165531208767 -1.82e-220 2.24e-55α+ 4 0.73908513321516064165531208767 -1.28e-133 9.30e-34f3, x0 = 3,5New 8 2 2.06e-42 8.28e-22MN 5 2 1.75e-24 5.80e-24α− 5 2 1.42e-100 5.86e-26α+ 5 2 1.86e-117 3.90e-30f4, x0 = 1,5New 7 2.1544346900318837217592935665 2.06e-54 5.64e-28MN 5 2.1544346900318837217592935665 8.10e-45 5.80e-46α− 5 2.1544346900318837217592935665 6.46e-185 5.84e-47α+ 4 2.1544346900318837217592935665 5.42e-65 6.18e-17f5, x0 = −2New 9 -1.2076478271309189270094167584 -2.27e-40 2.73e-21MN 6 -1.2076478271309189270094167584 -1.00e-37 4.90e-39α− 6 -1.2076478271309189270094167584 -1.68e-151 4.97e-39α+ 5 -1.2076478271309189270094167584 -2.06e-84 5.08e-22f6, x0 = 3,5New 13 3 1.51e-47 4.21e-25MN 8 3 5.00e-25 3.80e-26α− 8 3 3.24e-98 3.85e-26α+ 7 3 2.51e-71 2.69e-19Tabla 2: Ejemplos con distintos me´todos y ecuaciones.4Sobre un me´todo de cuarto orden para sistemas de ecuaciones no linealesAgradecimientosLa investigacio´n de los cuatro primeros autores ha sido en parte subvencionada porMTM2004-07114 y 00675/PI/04. La investigacio´n de Sergio Plaza ha sido subvencionadaen parte por Fondecyt Grant #1020711 y Dicyt Grant #0433Referencias[1] S. Amat, S. Busquier, Third-order iterative methods under Kantorovich conditions. J. Math. Anal.Appl., en prensa 2007.[2] S. Amat, S. Busquier and J.M. Gutie´rrez, Geometric constructions of iterative functions to solvenonlinear equations. J. Comput. Appl. Math. 157 (1), 197–205, (2003).[3] M.A. Herna´ndez and N. Romero, On a characterization of some Newton-like methods of R-order atleast three. J.Comput.Appl.Math. 183 (1), 53-66, (2005).[4] M.A. Noor and K.I. Noor, Some iterative schemes for nonlinear equations, Appl. Math. Comp., 183,774-779, (2006).5

Un esquema de cuarto orden con casi-óptimo gasto computacional para ecuaciones no lineales

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