Äärellisesti sidotut abstraktit elementaariluokat

The research in model theory has extended from the study of elementary classes to non-elementary classes, i.e. to classes which are not completely axiomatizable in elementary logic. The main theme has been the attempt to generalize tools from elementary stability theory to cover more applications arising in other branches of mathematics. In this doctoral thesis we introduce finitary abstract elementary classes, a non-elementary framework of model theory. These classes are a special case of abstract elementary classes (AEC), introduced by Saharon Shelah in the 1980's. We have collected a set of properties for classes of structures, which enable us to develop a 'geometric' approach to stability theory, including an independence calculus, in a very general framework. The thesis studies AEC's with amalgamation, joint embedding, arbitrarily large models, countable Löwenheim-Skolem number and finite character. The novel idea is the property of finite character, which enables the use of a notion of a weak type instead of the usual Galois type. Notions of simplicity, superstability, Lascar strong type, primary model and U-rank are inroduced for finitary classes. A categoricity transfer result is proved for simple, tame finitary classes: categoricity in any uncountable cardinal transfers upwards and to all cardinals above the Hanf number. Unlike the previous categoricity transfer results of equal generality the theorem does not assume the categoricity cardinal being a successor. The thesis consists of three independent papers. All three papers are joint work with Tapani Hyttinen.Matemaattinen struktuuri eli malli on joukko, johon on määritelty rakenne nimeämällä vakioita, relaatioita ja funktioita. Esimerkkejä matemaattisten struktuurien luokista ovat ryhmät neutraalialkiolla 0 ja yhteenlaskufunktiolla + tai lineaarijärjestykset järjestysrelaatiolla <. Malliteoria on matemaattisen logiikan osa-alue, joka tutkii ja luokittelee matemaattisia struktuureja. Malliteorian tutkimus on usein tasapainoilua yleisyyden ja yksityiskohtaisuuden välillä. Päämääränä on kehittää mahdollisimman yleisiä tuloksia, jotka kattaisivat monia eri yksittäisiä struktuurien luokkia. Yleensä rajatummilla oletuksilla on kuitenkin käytettävissä enemmän konkreettisia työkaluja. Voi olla hyvin vaikeaa, tai jopa mahdotonta, saada haluttuja tuloksia todistettua ilman näitä työkaluja. Klassinen malliteoria tutkii niin kutsuttuja elementaarisia malliluokkia, jollaisen muodostavat kaikki yhden elementaarilogiikan teorian mallit. Elementaarilogiikan ilmaisuvoimassa on kuitenkin rajoitteita, ja monet mielenkiintoiset malliluokat jäävät tutkimuksen ulkopuolelle. Saharon Shelah ehdotti 1980-luvulla abstrakteja elementaariluokkia malliteorian yleistämisen pohjaksi. Näille luokille ei määritellä aksioomia millään yksittäisellä formaalilla kielellä, vaan keskitytään tutkimaan mallien välisiä suhteita, erityisesti niin kutsutun elementaarisen alimallin käsitettä. Tämä lähestymistapa on kuitenkin niin yleinen, että siihen on ollut vaikea soveltaa monia malliteorian työkaluja. Tästä johtuen luokittelutehtävässä on saavutettu vain vähän menestystä. Väitöskirjatyössä kehitetään uusi lähestymistapa struktuurien tutkimiseen elementaarilogiikkaa yleisemmässä kehyksessä. Tämä määritelmä tarkentaa abstrakteja elementaariluokkia asettamalla lisävaatimuksia elementaarisen alimallin käsitteelle. Erityisesti vaaditaan, että mallien väliset riipuvuudet perustuvat vain äärellisten osien välisiin riippuvuuksiin, mistä tulee nimi äärellisesti sidotut luokat. Lähestymistapa on edelleen hyvin yleinen, mutta työssä on silti onnistuttu soveltamaan monia klassisen malliteoria työkaluja. Työ on keskittynyt erityisesti riippumattomuuskalkyylin kehittämiseen ja sisältää myös kategorisuuden siirtymistuloksen. Työ koostuu johdannosta ja kolmesta artikkelista. Artikkelit ovat yhteisjulkaisuja väitöskirjatyön ohjaajan dosentti Tapani Hyttisen kanssa

Compactness and Löwenheim-Skolem theorems in extensions of first-order logic

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2019, Director: Enrique Casanovas Ruiz-Fornells[en] Lindström’s theorem characterizes first-order logic as the most expressive among those that satisfy the countable Compactness and downward Löwenheim-Skolem theorems. Given the importance of this results in model theory, Lindström’s theorem justifies, to some extent, the privileged position of first-order logic in contemporary mathematics. Even though Lindström’s theorem gives a negative answer to the problem of finding a proper extension of first-order logic satisfying the same model-theoretical properties, the study of these extensions has been of great importance during the second half of the XX. century: logicians were trying to find systems that kept a balance between expressive power and rich model-theoretical properties. The goal of this essay is to prove Lindström’s theorem, along with its prerequisites, and to give weaker versions of the Compactness and Löwenheim-Skolem theorems for the logic L ( Q 1 ) (first-order logic with the quantifier "there exist uncountably many"), which we present as an example of extended logic with good model-theoretical properties

Succinctness and Formula Size Games

Tämä väitöskirja tutkii erilaisten logiikoiden tiiviyttä kaavan pituuspelien avulla. Logiikan tiiviys viittaa ominaisuuksien ilmaisemiseen tarvittavien kaavojen kokoon. Kaavan pituuspelit ovat hyväksi todettu menetelmä tiiviystulosten todistamiseen. Väitöskirjan kontribuutio on kaksiosainen. Ensinnäkin väitöskirjassa määritellään kaavan pituuspeli useille logiikoille ja tarjotaan näin uusia menetelmiä tulevaan tutkimukseen. Toiseksi näitä pelejä ja muita menetelmiä käytetään tiiviystulosten todistamiseen tutkituille logiikoille. Tarkemmin sanottuna väitöskirjassa määritellään uudet parametrisoidut kaavan pituuspelit perusmodaalilogiikalle, modaaliselle μ-kalkyylille, tiimilauselogiikalle ja yleistetyille säännöllisille lausekkeille. Yleistettyjen säännöllisten lausekkeiden pelistä esitellään myös variantit, jotka vastaavat säännöllisiä lausekkeita ja uusia “RE over star-free” -lausekkeita, joissa tähtiä ei esiinny komplementtien sisällä. Pelejä käytetään useiden tiiviystulosten todistamiseen. Predikaattilogiikan näytetään olevan epäelementaarisesti tiiviimpi kuin perusmodaalilogiikka ja modaalinen μ-kalkyyli. Tiimilauselogiikassa tutkitaan systemaattisesti yleisten riippuvuuksia ilmaisevien atomien määrittelemisen tiiviyttä. Klassinen epäelementaarinen tiiviysero predikaattilogiikan ja säännöllisten lausekkeiden välillä osoitetaan uudelleen yksinkertaisemmalla tavalla ja saadaan tähtien lukumäärälle “RE over star-free” -lausekkeissa hierarkia ilmaisuvoiman suhteen. Monissa yllämainituista tuloksista hyödynnetään eksplisiittisiä kaavoja peliargumenttien lisäksi. Tällaisia kaavoja ja tyyppien laskemista hyödyntäen saadaan epäelementaarisia ala- ja ylärajoja yksittäisten sanojen määrittelemisen tiiviydelle predikaattilogiikassa ja monadisessa toisen kertaluvun logiikassa.This thesis studies the succinctness of various logics using formula size games. The succinctness of a logic refers to the size of formulas required to express properties. Formula size games are some of the most successful methods of proof for results on succinctness. The contribution of the thesis is twofold. Firstly, we define formula size games for several logics, providing methods for future research. Secondly, we use these games and other methods to prove results on the succinctness of the studied logics. More precisely, we develop new parameterized formula size games for basic modal logic, modal μ-calculus, propositional team logic and generalized regular expressions. For the generalized regular expression game we introduce variants that correspond to regular expressions and the newly defined RE over star-free expressions, where stars do not occur inside complements. We use the games to prove a number of succinctness results. We show that first-order logic is non-elementarily more succinct than both basic modal logic and modal μ-calculus. We conduct a systematic study of the succinctness of defining common atoms of dependency in propositional team logic. We reprove a classic non-elementary succinctness gap between first-order logic and regular expressions in a much simpler way and establish a hierarchy of expressive power for the number of stars in RE over star-free expressions. Many of the above results utilize explicit formulas in addition to game arguments. We use such formulas and a type counting argument to obtain non-elementary lower and upper bounds for the succinctness of defining single words in first-order logic and monadic second-order logic

Pseudo-contractions as Gentle Repairs

Updating a knowledge base to remove an unwanted consequence is a challenging task. Some of the original sentences must be either deleted or weakened in such a way that the sentence to be removed is no longer entailed by the resulting set. On the other hand, it is desirable that the existing knowledge be preserved as much as possible, minimising the loss of information. Several approaches to this problem can be found in the literature. In particular, when the knowledge is represented by an ontology, two different families of frameworks have been developed in the literature in the past decades with numerous ideas in common but with little interaction between the communities: applications of AGM-like Belief Change and justification-based Ontology Repair. In this paper, we investigate the relationship between pseudo-contraction operations and gentle repairs. Both aim to avoid the complete deletion of sentences when replacing them with weaker versions is enough to prevent the entailment of the unwanted formula. We show the correspondence between concepts on both sides and investigate under which conditions they are equivalent. Furthermore, we propose a unified notation for the two approaches, which might contribute to the integration of the two areas