Otros significados epistemológicos de la integral definida

El cálculo de áreas ha sido desde tiempos remotos un problema a resolver. Arquímedes es reconocido como el iniciador del cálculo integral, de modo tal que variantes de sus ideas originales se reflejan particularmente en el método de cuadraturas. En este artículo se hace un recorrido histórico-epistemológico del cálculo de áreas bajo las curvas de parábolas genéricas y=xk, y de sus inversas, hipérbolas genéricas, y=x1/k, para realizar el rescate de diferentes significados de la integral definida y así propiciar su instalación en la didáctica del cálculo

Articulación de la complejidad matemática de la media aritmética

Les reflexions sobre la complexitat dels objectes matemàtics i l'articulació dels components d'aquesta complexitat són freqüents en molts dels enfocaments teòrics utilitzats a l'àrea de l'Educació Matemàtica. En aquest article es realitza una reflexió teòrica, en el marc de l'enfocament ontosemiótico de la Cognició i Instrucció Matemàtica, que aprofundeix en els mecanismes d'articulació de la complexitat associada a l'objecte matemàtic. Es presenta una visió integrada dels diferents tipus d'articulació contemplats en treballs de recerca previs en els quals s'ha utilitzant com a marc teòric aquest enfocament (nivells de generalització, projeccions metafòriques i trames de funcions semiòtiques).Per a això, com a context de reflexió, s'utilitza l'objecte matemàtic “mitjana aritmètica”Reflections on the complexity of the mathematical objects and the necessary articula¬tion of the components of such complexity are common in many of the theoretical approaches used in the area of Mathematics Education. In this paper we present a theoretical reflection, inside the framework of the Onto-Semiotic Approach of the Cognition and Mathematical Instruction, that explores the mechanisms of articulation of the complexity associated to the mathematical object. We present an integrated view of different types of articulation covered in previous research works that have been using this approach as a theoretical framework (layers of generality, metaphoric projection and sequence of semiotic functions. With this purpose, we use the mathematical object «arithmetic mean» as a context of reflection.Las reflexiones sobre la complejidad de los objetos matemáticos y la articulación de los componentes de esta complejidad son frecuentes en muchos de los enfoques teóricos utilizados en el área de la Educación Matemática. En este artículo se realiza una reflexión teórica, en el marco del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática, que profundiza en los mecanismos de articulación de la complejidad asociada al objeto matemático. Se presenta una visión integrada de los diferentes tipos de articulación contemplados en trabajos de investigación previos en los que se ha utilizando como marco teórico dicho enfoque (niveles de generalización, proyecciones metafóricas y tramas de funciones semióticas).Para ello, como contexto de reflexión, se utiliza el objeto matemático “media aritmética

Vínculos conceptuales discretos y continuos del cálculo en la ingeniería de control

Este trabajo de investigación pretende hacer un estudio preliminar de la dualidad discreto-continuo con profesores de matemáticas y física, específicamente aquellos que imparten estas materias en ingeniería. El marco teórico que sustenta este trabajo de investigación documental es el constructivismo de Piaget y la Matemática en Contexto que tiene su origen en el mismo constructivismo. En el trabajo de investigación se hacen varias referencias sobre la matemática en contexto con la ingeniería, sobre la matemática y la dualidad en el estudio de lo discreto y lo continuo dentro de la Ingeniería de Control. La madurez que debe de tener el cálculo en este trabajo de investigación es de que los alumnos distingan entre el diferencial como una variable continua y del tipo analógico entre el incremento como un intervalo definido y una variable discreta que da origen a las señales digitales. Hacer notar las herramientas matemáticas entre una y otra, así como mostrar la importancia de transitar o transformar (convertir) un tipo de señal a otra

Propuesta didáctica sobre la construcción de la recta tangente sin el uso de la derivada

El trabajo contiene resultados sobre la construcción de la recta tangente para las funciones elementales sin derivar así como para las funciones formadas por operaciones lineales y aritméticas entre ellas. Dentro del estudio de las nociones fundamentales del cálculo, se consideran: crecimiento, decrecimiento, puntos mínimos y máximos, concavidad y conexiones entre sí. Con base a estas relaciones se presentó, en trabajos previos, un enfoque no tradicional acerca de la construcción de la recta tangente. Para ello, dicho problema se redujo a la búsqueda de puntos extremos de una función adicional que está conectada con la función inicial. La propuesta didáctica que se ha venido estructurando, posibilita el entender más profundamente las nociones fundamentales del cálculo y sus articulaciones entre sí y está dirigida a los profesores y estudiantes de matemáticas de los niveles educativos medio superior y superior

Las nociones de linealidad y promediación como elementos articuladores en la didáctica

Se considera que las nociones matemáticas tienen su origen en las ideas germinales que han surgido en diferentes momentos histórico-epistemológicos de la matemática. En la didáctica de la matemática las nociones tienen un papel preponderante como elementos articuladores de los saberes matemáticos que están en juego. En este trabajo se dan algunas evidencias del comportamiento epistemológico acerca de dos nociones: la promediación y la linealidad, las cuales no se perciben en la escuela en su estatus metamatemático. Aparecen en prácticamente todas las etapas escolares y su conceptualización en los diferentes niveles educativos es abordada de forma desarticulada, lo que propicia aprendizajes poco significativos

La resignificación de la noción de linealidad

La noción de linealidad toma distintos significados, en los dominios matemáticos por los que transita en el currículo escolar. Además está vinculada desde una perspectiva epistemológica a la noción de proporcionalidad y ambas cumplen una función de articulación en toda la matemática escolar. Las filiaciones y rupturas epistemológicas conllevan a la identificación de diferentes significados de la linealidad en la didáctica misma, como es el caso de la recta representada usualmente como y= mx+b, con x( R , que se estudia desde el nivel básico en álgebra elemental y que no cumple cuando con la definicion de transformación lineal que se analiza en los cursos de Álgebra lineal, por lo que la noción adquiere significados diferentes, de acuerdo al dominio matemático en que se está desarrollando. También, se dan evidencias epistemológicas y cognitivas de algunos de los significados de la noción de linealidad, de modo tal que se muestra cómo es que la misma juega un papel preponderante en la didáctica de las matemáticas

La construcción de la recta tangente en puntos de inflexión: un método alternativo en la articulación de saberes

En trabajos anteriores (Karelin, O., Rondero, C., Tarasenko, A., 2004, 2005 y 2006), se propuso un método alternativo en la búsqueda de la recta tangente para funciones elementales sin el uso de la derivada y donde se demostraron algunas de sus principales propiedades. Por medio de una función adicional, F(x) = f(x) – (m x + b), se identifican relaciones entre los puntos extremos de ésta función y los puntos de tangencia de la función original f(x) . Todos los resultados previos fueron obtenidos para funciones cóncavas. En este trabajo, se discute una ampliación del método que posibilita incluir el caso del cálculo de la recta tangente en los puntos de inflexión de la función f(x)

Un estudio sobre la recta tangente en puntos de inflexión desde la articulación de saberes

Algunos de los resultados previamente estudiados con el mismo método del cálculo de la recta tangente, fueron obtenidos sólo para funciones cóncavas o cuando la pendiente m es igual a cero. Ahora se propone una generalización del método para el cálculo de la recta tangente de diferentes tipos de funciones elementales en puntos de inflexión, y cuando m ≠ 0. El procedimiento se basa en ideas de simetría para poder construir una función auxiliar cóncava que tiene la misma pendiente de la función original a la que se le aplica el esquema anteriormente señalado. Este método ayuda a relacionar conceptualmente la derivada de una función en un punto dado, con el cálculo de los puntos mínimos, máximos y de inflexión, sin aplicar métodos de derivación

Algunas incongruencias conceptuales sobre la noción de linealidad

Desde la perspectiva de este trabajo se considera a la noción de linealidad como un elemento fundamental en la construcción del saber matemático. Esta noción cumple una función de articulación entre la matemática elemental y la matemática avanzada. Se tienen evidencias históricas y epistemológicas de este relevante hecho, a partir de escenarios históricos acerca de su evolución. Desde un punto de vista didáctico se han identificado algunas incongruencias conceptuales. Se busca precisar un discurso didáctico congruente y articulado en la matemática escolar. Para tal propósito el rescate epistemológico de la noción de linealidad, posibilita su resignificación en la Didáctica de la Matemática

Modos de acción y decisiones de los docentes. Un ejemplo en la enseñanza de la proporcionalidad

En esta investigación se pretende mostrar que el teorema de Pitágoras es un eje articulador transversal de saberes matemáticos, dado que posibilita el relacionar conceptualmente la matemática básica con la matemática avanzada, esto particularmente referido en los niveles educativos básico y medio superior. Se parte de la realización de un análisis histórico-epistemológico del teorema, para dar evidencias acerca de la relevancia de este saber sabio en un gran número de asignaturas de la matemática escolar