Quantifying Evolutionary Dynamics

Adaptation is a central process in evolution: populations adapt to their environment by accumulating beneficial mutations over the course of generations. Microbial populations present an excellent experimental system that allows to observe the adaptation process on reasonable timescales. Recent results of evolutionary experiments with microbes expose an intricate dynamics: beneficial mutations appear continuously and often many of them are present simultaneously. These different clones interfere on their way to fixation or extinction in the mostly asexually reproducing populations. This dynamical regime, termed clonal competition, has been observed in various laboratory populations. In recent years traveling wave models gained considerable attention as possible description of the ensuing dynamics in the experimental microbial populations. There, the population is represented as a density in fitness space. Individuals are grouped by their growth rate. The size of these groups, called fitness classes, changes over time via mutation and selection. In many implementations genetic drift is considered to correctly account for the dynamics of very fit clones that are still low in number. If the influx of beneficial mutations is large enough, the bell-shaped density moves to higher fitness as soliton-like traveling wave: the population adapts. In this thesis, we investigate the dynamical behavior of these traveling wave models. In particular, we try to quantify the fluctuations in the adaptation process that are inherent due to the discreteness of individuals and individual mutations. Even very fit clones can go extinct due to genetic drift. Successful clones sweep to fixation and eradicate much of the genetic diversity. In order to describe these fluctuations, we use a special version of traveling wave models. Based on branching random walks, we couple the dynamics to a specific tuned constraint that allows to construct exactly solvable equations. As a particularly interesting extension, we show that slightly modifying this formalism yields all moments of the population density, giving access to the complete fluctuation spectrum. Based on simulation data, we extract relevant timescales of the adaptation process in our model. An almost universal scaling is indicated: the time of large scale oscillations in fitness variance appears to depend largely on the product of adaptation speed and mutational scale alone. When applied to experimental data, we can infer the mutational scale, a value that is usually obscured by the dynamics of interfering mutations

Critical phenomena and dynamical phase transitions in Boolean networks

Boole’sche Netzwerke werden als hoch nicht-lineare dynamische Modelle in der Biologie, Soziologie und Wirtschaftwissenschaften verwendet. Schon bei der Einfuhrung als genetische Regelnetzwerke in den späten 1960ern durch Stuart Kauffman wurden zwei Phasen in der Dynamik unterschieden: eine geordnete Phase, wo mögliche Störungen rasch verschwinden, und die ungeordnete Phase, wo sich anfänglich kleine Störungen auf das ganze Netzwerk ausbreiten können. In den 1980ern fuhrten statistische Uberlegungen von Bernard Derrida und Kollegen zu einigen analytischen Ergebnissen fur das dynamische Verhalten dieser Netzwerke, im Speziellen wurde eine statistische Charakterisierung der Kritischen Bedingung fur den Phasenubergang abgeleitet. In dieser Arbeit wurden einige neuere Ergebnisse und Entwicklungen gesammelt und formal präsentiert, wobei ein Hauptaugenmerk auf die Kritische Bedingung gelegt wurde. Diese ist für viele Netzwerke in der Natur von Bedeutung, da deren Dynamik oft in der Nähe des Phasenübergangs liegt. Die Ableitung der gekoppelten Iterationsgleichungen für die beiden makroskopischen Parameter Magnetisierung und Hammingdistanz wird erklärt für beliebige Mischungen von Boole’schen Funktionen und Verteilungen von Verknupfungsgraden. Aus diesen Iterationsgleichungen wird die Kritische Bedingung berechnet, und gezeigt, dass diese nur von der gemittelten “Empfindlichkeit“ der Verteilung der Funktionen abhängt. Weiters wird gezeigt, dass das Verwenden von ”Höheren Empfindlichkeiten” in der Iterationsgleichung der Hammingdistanz aquivalent ist zu einer Beschränkung der Magnetisierung, die aber nicht uber die Zeit aufrecht erhalten werden kann, und daher einen falschen Fixpunkt in der Hammingdistanz voraussagt. Im zweiten Teil der Arbeit wird dieser Formalismus auf Lineare Schwellwertfunktionen angewendet. Lineare Schwellwertfunktionen sind eine kleine Untermenge aller möglichen Boole’schen Funktionen und eine explizite Projektionsgleichung auf diese allgemeinen Funktionen ist in dieser Arbeit angegeben. Fur verschiedene Boole’sche Netzwerke wurden Phasendiagramme berechnet, wobei zwei verschiedene Parameter verwendet wurden, der Schwellwert h und die Asymmetrie p in der Verteilung der Gewichte, was ein zusätzlicher Parameter im Vergleich mit einigen früheren Arbeiten ist. Zum Schluss wird bewiesen, dass fur eine einfache Mischung aus Linearen Schwellwertfunktionen der Parameterbereich der geordnete Phase mit steigender Konnektivität K wächst, und der Parameterbereich der ungeordnete Phase auf einen einzigen Wert zusammenschrumpft im Grenzübergang K gegen unendlich. Dieses Verhalten ist konträr zum Kauffman-Modell, wo das gegenteilige Verhalten beobachtet wird: der Parameterbereich der ungeordneten Phase nimmt das ganze Intervall im Grenzübergang K gegen unendlich ein. Das ist ein interessantes Ergebnis, weil biologische Netzwerke normalerweise eine höhere Verknupfungsrate als den kritischen Wert Kc = 2 im ursprunglichen Kauffman-Modell haben, so dass eine realistischere Topologie für das Boole’sche Netzwerk verwendet werden kann. In diesen realistischeren Topologien können dann auch höhere Verknüpfungsraten auftreten, ohne Extremwerte der Modellparameter annehmen zu müssen. Boole’sche Netzwerke werden als hoch nicht-lineare dynamische Modelle in der Biologie, Soziologie und Wirtschaftwissenschaften verwendet. Schon bei der Einfuhrung als genetische Regelnetzwerke in den späten 1960ern durch Stuart Kauffman wurden zwei Phasen in der Dynamik unterschieden: eine geordnete Phase, wo mögliche Störungen rasch verschwinden, und die ungeordnete Phase, wo sich anfänglich kleine Störungen auf das ganze Netzwerk ausbreiten können. In den 1980ern fuhrten statistische Uberlegungen von Bernard Derrida und Kollegen zu einigen analytischen Ergebnissen fur das dynamische Verhalten dieser Netzwerke, im Speziellen wurde eine statistische Charakterisierung der Kritischen Bedingung fur den Phasenubergang abgeleitet. In dieser Arbeit wurden einige neuere Ergebnisse und Entwicklungen gesammelt und formal präsentiert, wobei ein Hauptaugenmerk auf die Kritische Bedingung gelegt wurde. Diese ist für viele Netzwerke in der Natur von Bedeutung, da deren Dynamik oft in der Nähe des Phasenübergangs liegt. Die Ableitung der gekoppelten Iterationsgleichungen für die beiden makroskopischen Parameter Magnetisierung und Hammingdistanz wird erklärt für beliebige Mischungen von Boole’schen Funktionen und Verteilungen von Verknupfungsgraden. Aus diesen Iterationsgleichungen wird die Kritische Bedingung berechnet, und gezeigt, dass diese nur von der gemittelten “Empfindlichkeit“ der Verteilung der Funktionen abhängt. Weiters wird gezeigt, dass das Verwenden von ”Höheren Empfindlichkeiten” in der Iterationsgleichung der Hammingdistanz aquivalent ist zu einer Beschränkung der Magnetisierung, die aber nicht uber die Zeit aufrecht erhalten werden kann, und daher einen falschen Fixpunkt in der Hammingdistanz voraussagt. Im zweiten Teil der Arbeit wird dieser Formalismus auf Lineare Schwellwertfunktionen angewendet. Lineare Schwellwertfunktionen sind eine kleine Untermenge aller möglichen Boole’schen Funktionen und eine explizite Projektionsgleichung auf diese allgemeinen Funktionen ist in dieser Arbeit angegeben. Fur verschiedene Boole’sche Netzwerke wurden Phasendiagramme berechnet, wobei zwei verschiedene Parameter verwendet wurden, der Schwellwert h und die Asymmetrie p in der Verteilung der Gewichte, was ein zusätzlicher Parameter im Vergleich mit einigen früheren Arbeiten ist. Zum Schluss wird bewiesen, dass fur eine einfache Mischung aus Linearen Schwellwertfunktionen der Parameterbereich der geordnete Phase mit steigender Konnektivität K wächst, und der Parameterbereich der ungeordnete Phase auf einen einzigen Wert zusammenschrumpft im Grenzübergang K gegen unendlich. Dieses Verhalten ist konträr zum Kauffman-Modell, wo das gegenteilige Verhalten beobachtet wird: der Parameterbereich der ungeordneten Phase nimmt das ganze Intervall im Grenzübergang K gegen unendlich ein. Das ist ein interessantes Ergebnis, weil biologische Netzwerke normalerweise eine höhere Verknupfungsrate als den kritischen Wert Kc = 2 im ursprunglichen Kauffman-Modell haben, so dass eine realistischere Topologie für das Boole’sche Netzwerk verwendet werden kann. In diesen realistischeren Topologien können dann auch höhere Verknüpfungsraten auftreten, ohne Extremwerte der Modellparameter annehmen zu müssen.Boolean Networks have been used as highly non-linear dynamical models in biology, sociology and economics. Together with the introduction as gene regulatory networks in the late 1960s, Stuart Kauffman established two different phases of the dynamics in Boolean Networks: the ordered phase, where eventual perturbations vanish rather quickly, and the disordered phase, where a small perturbation might spread over the whole network. In the 1980s statistical considerations by Bernard Derrida and coworkers yielded analytical results for the dynamical behavior of those networks, especially a statistical characterization of the critical condition for this phase transition was obtained. In this work, recent developments have been compiled and presented in a rather formal way, with special emphasis on this critical condition, which is important, because many networks in nature are believed to be close to this dynamical phase transition. An approach for the derivation of coupled iteration equations of the macroscopic parameters magnetization and Hamming distance is explained for arbitrary mixtures of Boolean functions and distribution of in-degrees. From these iteration equations the critical condition is derived, showing that this condition only depends on the average sensitivity of the mixture of Boolean functions. Furthermore, the equivalence of using higher sensitivities in the construction of the polynomial for the Hamming distance is established to be a restriction to the magnetization, which cannot be maintained over time, and therefore fails to predict the fixed point in the Hamming distance observed in computer simulations. In the second part of this work, this formalism has been applied to Linear Threshold functions. They are a subclass of all possible Boolean functions and an explicit projection to Boolean functions is given. Complete phase diagrams have been calculated for several different Boolean Networks with all functions being Linear Threshold functions, where an two parameters have been included, the threshold $h$ and the asymmetry $p$ in the distribution of weights, which is an additional degree of freedom compared to several earlier publications. Finally, it has been proven for a simple mixture of Linear Threshold functions, that the parameter region corresponding to the ordered phase actually grows with increased connectivity $K$, and the parameter region of the disordered phase shrinks to a single value in the limit $K\rightarrow\infty$. This is contrary to the Kauffman model, where the opposite behavior is observed: the parameter region of the disordered phase spans the complete interval in the limit $K\rightarrow\infty$. This is an interesting result, because biological networks usually have a connectivity larger than the critical value $K_c=2$ in the (unbiased) Kauffman model, so that a more realistic topology could be imposed on the BN, where also nodes with a higher in-degree occur, without being restricted to extreme values of the external parameters

Stochastic delocalization of finite populations

Heterogeneities in environmental conditions often induce corresponding heterogeneities in the distribution of species. In the extreme case of a localized patch of increased growth rates, reproducing populations can become strongly concentrated at the patch despite the entropic tendency for population to distribute evenly. Several deterministic mathematical models have been used to characterize the conditions under which localized states can form, and how they break down due to convective driving forces. Here, we study the delocalization of a finite population in the presence of number fluctuations. We find that any finite population delocalizes on sufficiently long time scales. Depending on parameters, however, populations may remain localized for a very long time. The typical waiting time to delocalization increases exponentially with both population size and distance to the critical wind speed of the deterministic approximation. We augment these simulation results by a mathematical analysis that treats the reproduction and migration of individuals as branching random walks subject to global constraints. For a particular constraint, different from a fixed population size constraint, this model yields a solvable first moment equation. We find that this solvable model approximates very well the fixed population size model for large populations, but starts to deviate as population sizes are small. The analytical approach allows us to map out a phase diagram of the order parameter as a function of the two driving parameters, inverse population size and wind speed. Our results may be used to extend the analysis of delocalization transitions to different settings, such as the viral quasi-species scenario

Coexistence and cooperation in structured habitats

Abstract Background Natural habitats are typically structured, imposing constraints on inhabiting populations and their interactions. Which conditions are important for coexistence of diverse communities, and how cooperative interaction stabilizes in such populations, have been important ecological and evolutionary questions. Results We investigate a minimal ecological framework of microbial population dynamics that exhibits crucial features to show coexistence: Populations repeatedly undergo cycles of separation into compartmentalized habitats and mixing with new resources. The characteristic time-scale is longer than that typical of individual growth. Using analytic approximations, averaging techniques and phase-plane methods of dynamical systems, we provide a framework for analyzing various types of microbial interactions. Population composition and population size are both dynamic variables of the model; they are found to be decoupled both in terms of time-scale and parameter dependence. We present specific results for two examples of cooperative interaction by public goods: collective antibiotics resistance, and enhanced iron-availability by pyoverdine. We find stable coexistence to be a likely outcome. Conclusions The two simple features of a long mixing time-scale and spatial compartmentalization are enough to enable coexisting strains. In particular, costly social traits are often stabilized in such an environment—and thus cooperation established

Collective Fluctuations in the Dynamics of Adaptation and Other Traveling Waves.

The dynamics of adaptation are difficult to predict because it is highly stochastic even in large populations. The uncertainty emerges from random genetic drift arising in a vanguard of particularly fit individuals of the population. Several approaches have been developed to analyze the crucial role of genetic drift on the expected dynamics of adaptation, including the mean fitness of the entire population, or the fate of newly arising beneficial deleterious mutations. However, little is known about how genetic drift causes fluctuations to emerge on the population level, where it becomes palpable as variations in the adaptation speed and the fitness distribution. Yet these phenomena control the decay of genetic diversity and variability in evolution experiments and are key to a truly predictive understanding of evolutionary processes. Here, we show that correlations induced by these emergent fluctuations can be computed at any arbitrary order by a suitable choice of a dynamical constraint. The resulting linear equations exhibit fluctuation-induced terms that amplify short-distance correlations and suppress long-distance ones. These terms, which are in general not small, control the decay of genetic diversity and, for wave-tip dominated ("pulled") waves, lead to anticorrelations between the tip of the wave and the lagging bulk of the population. While it is natural to consider the process of adaptation as a branching random walk in fitness space subject to a constraint (due to finite resources), we show that other traveling wave phenomena in ecology and evolution likewise fall into this class of constrained branching random walks. Our methods, therefore, provide a systematic approach toward analyzing fluctuations in a wide range of population biological processes, such as adaptation, genetic meltdown, species invasions, or epidemics

Deep Sequencing of a Genetically Heterogeneous Sample : Local Haplotype Reconstruction and Read Error Correction

We present a computational method for analyzing deep sequencing data obtained from a genetically diverse sample. The set of reads obtained from a deep sequencing experiment represents a statistical sample of the underlying population. We develop a generative probabilistic model for assigning observed reads to unobserved haplotypes in the presence of sequencing errors. This clustering problem is solved in a Bayesian fashion using the Dirichlet process mixture to define a prior distribution on the unknown number of haplotypes in the mixture. We devise a Gibbs sampler for sampling from the joint posterior distribution of haplotype sequences, assignment of reads to haplotypes, and error rate of the sequencing process to obtain estimates of the local haplotype structure of the population. The method is evaluated on simulated data and on experimental deep sequencing data obtained from HIV samples

60%susceptible

Time-lapse images of spread of T7 phage epidemics in Escherichia coli spatially structured populations over 48 hours. Archive contains images of the following treatment: 60% susceptible, 40% resistant cells

Data from: CRISPR-based herd immunity limits phage epidemics in bacterial populations

Herd immunity, a process in which resistant individuals limit the spread of a pathogen among susceptible hosts has been extensively studied in eukaryotes. Even though bacteria have evolved multiple immune systems against their phage pathogens, herd immunity in bacteria remains unexplored. Here we experimentally demonstrate that herd immunity arises during phage epidemics in structured and unstructured Escherichia coli populations consisting of differing frequencies of susceptible and resistant cells harboring CRISPR immunity. In addition, we develop a mathematical model that quantifies how herd immunity is affected by spatial population structure, bacterial growth rate, and phage replication rate. Using our model we infer a general epidemiological rule describing the relative speed of an epidemic in partially resistant spatially structured populations. Our experimental and theoretical findings indicate that herd immunity may be important in bacterial communities, allowing for stable coexistence of bacteria and their phages and the maintenance of polymorphism in bacterial immunity

100%susceptible_control_run3

Time-lapse images of spread of T7 phage epidemics in Escherichia coli spatially structured populations over 48 hours. Archive contains images of the following treatment: all 100% susceptible controls of run 3