El Concepte de límit de Newton a Cauchy: entre la geometria i l'àlgebra i el paper dels signes [Segona part]

Aquesta segona part de l'article fa èmfasi en els autors que, d'alguna manera o altra, han adoptat un llenguatge més simbòlic en el tractament del concepte de límit. La presentació, com és natural, segueix l'ordre cronològic i posa l'èmfasi en aquelles parts que són deutores dels autors precedents i d'aquelles altres que són innovadores.This second part of the article does emphasis in the authors that, by some means or other, have adopted a more symbolic language in the treatment of the concept of limit. The presentation, how is natural, follows the chronological order and puts the emphasis in those parts that are debtors of the authors precedents and of those other that are innovative

El Concepte de límit de Newton a Cauchy : entre la geometria i l'àlgebra i el paper dels signes [Primera part]

El concepte de límit és constitutiu per al càlcul diferencial i integral. Això no obstant, la seva aparició històrica no s'ha estudiat prou acuradament. Newton fou el primer que l'introduí com una alternativa a les aproximacions infinitesimals, però sense reflexions conceptuals i sense cap tècnica operacional es mantingué vinculat als contextos geometricocinètics. Aquest article estudia el desenvolupament lent del concepte durant el segle divuit, i en particular les primeres definicions i el seus passos graduals vers l'algebraïtzació. Gràcies a l'apropament a una recerca de les aportacions al si de les comunitats matemàtiques en general, ens revela que autors aparentment marginals han fet avenços considerables cap a una teoria operacional algebraïtzada dels límits. Tanmateix, aquest procés mostra que no és, en absolut, continu i que depèn d'epistemologies que difereixen d'un paísi d'una comunitat a un altre. L'anàlisi finalitza contrastant dues aproximacions del 1820 que revelen aquestes visions diferents: Cauchy a França i Dirksen a Alemanya. Aquesta primera part de l'article presenta el marc conceptual del que es coneix com a procés d'algebraïtzació i s'hi analitza de quina manera Newton presenta el procés en el concepte de límit com l'usa Maclaurin com a resposta a Berkeley i d'Alembert a l'Encyclopédie per endinsar-se després en el límit com a aproximació i es tanca amb els inicis de l'algebraïtzació d'aquest nou concepte: el límit. Obre la porta a la segona part que publicarem en el proper número.The concept of limit is constitutive for the differential and integral calculus. Yet, its historical emergence has not been closely studied. As an alternative to infinitesimal approaches, it had first been introduced by Newton, but without conceptual reflections and without an operational technique; it remained tied to geometrical-kinematical contexts. The paper studies the slow development of the concept during the eighteenth century, and in particular the first definitions and their gradual steps towards algebraization. Thanks to the approach to investigate the contributions within the contemporaneousmathematical communities at large, apparentlymarginal authors reveal to achieve considerable steps towards an algebraized operational theory of limits. Yet, this process proves not to be a continuous one and depending on epistemologies differing over various countries and communities. The analysis finalizes in contrasting two approaches of the 1820s revealing such differing visions: Cauchy in France and Dirksen in Germany. This first part of the paper presents the conceptual frame of that known as the algebraization process and analizes wich way Newton presents this process in the concept of limithow to usesMaclaurin in response to Berkeley and dAlembert in the Enciclopèdie to enter after in the limit as approach. It closes with the start of the algebraization of this new concept: the limit. It opens the door to the second part which will publish them in the next issue

Interactions between epistemologies of mathematics and educational systems -the emergence of mathematical communities according to cultures and states in 19th century Europe

Este artículo analiza la convicción generalmente compartida de que las matemáticas son una ciencia universal, con un "lenguaje común" y una "agenda de investigación compartida". Estas convicciones se discuten en particular con respecto a las afirmaciones en el volumen "Mathematics Unbound" de 2002, donde se sostiene que las comunidades matemáticas nacionales surgieron durante el siglo XIX pero convergieron en una comunidad universal durante el siglo XX. Al enfatizar la importancia clave de las estructuras educativas nacionales, se argumenta aquí que las comunidades nacionales ya surgieron a raíz del humanismo. Los "lenguajes" diferentes para concebir números negativos proporcionan ejemplos reveladores para mostrar epistemologías relacionadas con diferentes estructuras educativas. Y un “lenguaje” fundamentalista en Italia muestra la alineación de la educación matemática con las concepciones clasicistas de la educación. Conectando con la concepción de “estilos nacionales”, el artículo propone enfoques para comprender las características que marcan las diferencias entre las comunidades matemáticas nacionales como las vinculadas a valores sociales y culturales y reveladas por los sistemas educativos. En la conclusión, se discute el reclamo de una comunidad internacional emergente.Mathematics uses to be regarded as a universal discipline, as constituting one whole –being coherent and without fragmentations. This corresponds to conceptualizations in sociology of science; Thomas Kuhn –in his seminal work “The Structure of ScientificRevolutions” of 1962 (Kuhn, 1962) and in later publications –-used to speak of ‘scientific community’ in the singular, thus assuming the existence of one global community in each scientific discipline and which would thus act as an entirety. If one investigates, however, the emergence of modern mathematics as a discipline from the 19th century, one remarks, for instance, revealing differences between French mathematics, focused on “physico-mathématique”, Prussian mathematics, focused on “pure mathematics”, and British and Italian mathematics, which even began to prosper with a certain delay

Conflitos entre matemáticos profissionais e amadores: tentando resolver a quadratura do círculo e o ultimo teorema de Fermat

Resolver a quadratura do círculo constituiu durante muitos séculos um tema de pesquisa dos matemáticos. Quando não houve mais progressos significativos pelos profissionais, um outro grupo entrou no campo, sempre com novas tentativas de resolução - os amadores. Uma vez que eles não prestavam atenção na definição matemática do problema e recusavam explicações sobre a natureza desse problema, os matemáticos profissionais – em particular em instituições como Academias – não mais aceitaram analisar tais propostas e encerraram a comunicação. Há se apresentar o caso da Prussia no século XIX com várias etapas de lidar com amadores. Já no caso da quadratura do círculo, os amadores foram instigados por um mítico prémio para quem resolvesse o problema, e ocuparam um novo espaço quando foi anunciado de verdade um prémio, em 1908 – do valor de uma fortuna: para encontrar a prova do ultimo teorema de Fermat: o prémio Wolfskehl. Os inúmeros memoriais submetidos excederam qualquer limite. Aí, estabeleceu-se a chamada “clínica Fermat”, concebida por uma pessoa excepcional, um matemático que era tambem médico

El Concepte de límit de Newton a Cauchy : entre la geometria i l'àlgebra i el paper dels signes [Primera part]

The concept of limit is constitutive for the differential and integral calculus. Yet, its historical emergence has not been closely studied. As an alternative to infinitesimal approaches, it had first been introduced by Newton, but without conceptual reflections and without an operational technique; it remained tied to geometrical-kinematical contexts. The paper studies the slow development of the concept during the eighteenth century, and in particular the first definitions and their gradual steps towards algebraization. Thanks to the approach to investigate the contributions within the contemporaneousmathematical communities at large, apparentlymarginal authors reveal to achieve considerable steps towards an algebraized operational theory of limits. Yet, this process proves not to be a continuous one and depending on epistemologies differing over various countries and communities. The analysis finalizes in contrasting two approaches of the 1820s revealing such differing visions: Cauchy in France and Dirksen in Germany. This first part of the paper presents the conceptual frame of that known as the algebraization process and analizes wich way Newton presents this process in the concept of limit—how to usesMaclaurin in response to Berkeley and d’Alembert in the Enciclopèdie— to enter after in the limit as approach. It closes with the start of the algebraization of this new concept: the limit. It opens the door to the second part which will publish them in the next issue.El concepte de límit és constitutiu per al càlcul diferencial i integral. Això no obstant, la seva aparició històrica no s'ha estudiat prou acuradament. Newton fou el primer que l'introduí com una alternativa a les aproximacions infinitesimals, però sense reflexions conceptuals i sense cap tècnica operacional es mantingué vinculat als contextos geometricocinètics. Aquest article estudia el desenvolupament lent del concepte durant el segle divuit, i en particular les primeres definicions i el seus passos graduals vers l'algebraïtzació. Gràcies a l'apropament a una recerca de les aportacions al si de les comunitats matemàtiques en general, ens revela que autors aparentment marginals han fet avenços considerables cap a una teoria operacional algebraïtzada dels límits. Tanmateix, aquest procés mostra que no és, en absolut, continu i que depèn d'epistemologies que difereixen d'un país—i d'una comunitat— a un altre. L'anàlisi finalitza contrastant dues aproximacions del 1820 que revelen aquestes visions diferents: Cauchy a França i Dirksen a Alemanya. Aquesta primera part de l'article presenta el marc conceptual del que es coneix com a procés d'algebraïtzació i s'hi analitza de quina manera Newton presenta el procés en el concepte de límit —com l'usa Maclaurin com a resposta a Berkeley i d'Alembert a l'Encyclopédie— per endinsar-se després en el límit com a aproximació i es tanca amb els inicis de l'algebraïtzació d'aquest nou concepte: el límit. Obre la porta a la segona part que publicarem en el proper número

Novos pesquisas sobre a história da convergência uniforme e dos seus aspetos de didática

Há dois fatos que são sempre relatados sobre o surgimento do conceito de convergência uniforme: em 1821, Cauchy estabeleceu um teorema falso – sobre a continuidade de uma sequencia convergente de funções continuas - porque ele não utilizou este conceito; já em 1841 Weierstrass trabalhou com este conceito, baseado em descobertas de seu professor Gudermann. Pesquisas recentes mostram, no entanto, que os relatos devem ser reavaliados e melhor contextualizados. A palestra analisa o desenvolvimento conceitual nos horizontes das concepções das diferentes comunidades matemáticas, enfatizando em particular o papel dos simbolismos e das notações para explicitar significados e diferenciações de conceitos

The interdisciplinarity of ethnomathematics: challenges of ethnomathematics to mathematics and its education

Since the creation of the International Study Group on Ethnomathematics, several researchers have debated on how could or should a theory of ethnomathematics exist, and, if so, how it is to be conceptualized. So far, there exists no consensus on how this theory should be defined. During the last International Conference on Ethnomathematics (ICEm-4) in Towson, Maryland (July, 2010), Rik Pinxten emphasized on the necessity of reopening this debate. Ethnomathematics will only be acknowledged by other scientific communities if we, as ethnomathematicians, are able to establish a proper conceptualization of this field of study. This article aims to at least one possible approach to a conceptualization of a theory of ethnomathematics. As we will show, this theory needs to be regarded as an interdisciplinary discipline that covers theories from both the exact and social sciences

A Noção de Multiplicação: um “obstáculo” desconhecido na História da Matemática

A relação entre a história e o ensino da Matemática representa um assunto de grande atualidade para as pesquisas em Educação Matemática. Particularmente são problemas inerentes à natureza da Matemática e que se revelam no processo de aprendizagem, no qual se espera – algumas vezes diretamente – soluções para problemas didáticos: por meio de conhecimentos tirados da história da Matemática. É o conceito de ‘obstáculo epistemológico’ que representa um foco maior para transpor tais conhecimentos no ensino. Este artigo discute as potencialidades e as fraquezas dessa noção: de um lado segundo a elaboração do conceito na Educação Matemática, e por outro, analisando processos de desenvolvimento históricos na Matemática. São apresentados novos resultados de pesquisas sobre a história do conceito de multiplicação, que revelam rupturas no desenvolvimento da Matemática e advertem contra um uso direto ou ingênuo da história em sala de aul