Homogenization of a Dirichlet semilinear elliptic problem with a strong singularity at u=0u=0 in a domain with many small holes

We perform the homogenization of the semilinear elliptic problem \begin{equation*} \begin{cases} u^\varepsilon \geq 0 & \mbox{in} \; \Omega^\varepsilon,\\ \displaystyle - div \,A(x) D u^\varepsilon = F(x,u^\varepsilon) & \mbox{in} \; \Omega^\varepsilon,\\ u^\varepsilon = 0 & \mbox{on} \; \partial \Omega^\varepsilon.\\ \end{cases} \end{equation*} In this problem $F(x,s)$ is a Carath\'eodory function such that $0 \leq F(x,s) \leq h(x)/\Gamma(s)$ a.e. $x\in\Omega$ for every $s > 0$, with $h$ in some $L^r(\Omega)$ and $\Gamma$ a $C^1([0, +\infty[)$ function such that $\Gamma(0) = 0$ and $\Gamma'(s) > 0$ for every $s > 0$. On the other hand the open sets $\Omega^\varepsilon$ are obtained by removing many small holes from a fixed open set $\Omega$ in such a way that a "strange term" $\mu u^0$ appears in the limit equation in the case where the function $F(x,s)$ depends only on $x$. We already treated this problem in the case of a "mild singularity", namely in the case where the function $F(x,s)$ satisfies $0 \leq F(x,s) \leq h(x) (\frac 1s + 1)$. In this case the solution $u^\varepsilon$ to the problem belongs to $H^1_0 (\Omega^\varepsilon)$ and its definition is a "natural" and rather usual one. In the general case where $F(x,s)$ exhibits a "strong singularity" at $u = 0$, which is the purpose of the present paper, the solution $u^\varepsilon$ to the problem only belongs to $H_{\tiny loc}^1(\Omega^\varepsilon)$ but in general does not belongs to $H^1_0 (\Omega^\varepsilon)$ any more, even if $u^\varepsilon$ vanishes on $\partial\Omega^\varepsilon$ in some sense. Therefore we introduced a new notion of solution (in the spirit of the solutions defined by transposition) for problems with a strong singularity. This definition allowed us to obtain existence, stability and uniqueness results

A semilinear elliptic equation with a mild singularity at u=0u=0: existence and homogenization

In this paper we consider semilinear elliptic equations with singularities, whose prototype is the following \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle - div \,A(x) D u = f(x)g(u)+l(x)& \mbox{in} \; \Omega,\\ u = 0 & \mbox{on} \; \partial \Omega,\\ \end{cases} \end{equation*} where $\Omega$ is an open bounded set of $\mathbb{R}^N,\, N\geq 1$, $A\in L^\infty(\Omega)^{N\times N}$ is a coercive matrix, $g:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty]$ is continuous, and $0\leq g(s)\leq {{1}\over{s^\gamma}}+1$ $\forall s>0$, with $0<\gamma\leq 1$ and $f,l \in L^r(\Omega)$, $r={{2N}\over{N+2}}$ if $N\geq 3$, $r>1$ if $N=2$, $r=1$ if $N=1$, $f(x), l(x)\geq 0$ a.e. $x \in \Omega$. We prove the existence of at least one nonnegative solution and a stability result; moreover uniqueness is also proved if $g(s)$ is nonincreasing or "almost nonincreasing". Finally, we study the homogenization of these equations posed in a sequence of domains $\Omega^\epsilon$ obtained by removing many small holes from a fixed domain $\Omega$

Análisis de los efectos de los probióticos ante distintas enfermedades

Según la OMS, los probióticos son “microorganismos vivos que cuando se administran en cantidades adecuadas, confieren un beneficio a la salud del consumidor”. El intestino es un órgano importante en el sistema inmunitario y la administración de estos organismos ayuda a reconstruir la microbiota que se puede haber desequilibrado por diversas causas, como por ejemplo una enfermedad. Por este motivo, el uso de probióticos puede jugar un papel importante en la prevención y/o tratamiento de enfermedades. El objetivo del trabajo es comprobar mediante el análisis de estudios científicos relacionados con el tema, comprobar si el uso de probióticos ayuda al sistema inmune. Los resultados obtenidos de los estudios y revisiones analizadas son esperanzadores y prometedores ante la administración de probióticos como tratamiento o incluso prevención de algunas enfermedades, sin embargo se necesitan más estudios con una metodología mejor y más homogénea que la empleada hasta el momento. Hay enfermedades tales como la diarrea aguda, la asociada a antibióticos o la encefalopatía hepática en las cuales es recomendable es uso de probióticos para el tratamiento o prevención, ya que los resultados parecen ser concluyentes. Por otro lado, hay otras enfermedades en las cuales se corre un riesgo de reacciones adversas como una sepsis en la enterocolitis necrotizante o incluso el resultado inverso al que se pretende como un empeoramiento de la sintomatología. No obstante, se encuentran muchas enfermedades en las cuales el uso de probióticos es muy esperanzador, pero se necesita de más ensayos para poder recomendarlos con seguridad

Contribución a la flora de la provincia de Málaga

Se relacionan 75 táxones recolectados dentro de los límites del sector Rondeño (provincia Bética) y que se encuentran poco citados o que suponen novedad. Para cada uno de ellos se indican las localidades (incluyendo la cuadrícula UTM de 1 km2 ), ecología observada y altitud. Los testigos se encuentran depositados en el Herbario del Departamento de Botánica de la Facultad de Farmacia de Sevilla (SEVF).A list of 75 scarcely recorded or wich mean new records taxa from the sector Rondeño (Betica province) is given. Localities (including UTM squares 1 km 2 ), ecology and altitude are also given. All the sheets are conserved in the Herbarium of the Departament of Botany, Faculty of Farmacy, Seville (SEVF)

Dos taxones naturalizados en la Península Ibérica presentes en Andalucía Occidental

Two naturalised taxa in the Iberian Peninsula present in west Andalusia. Plabras clave. Hibiscus, Solanum, Andalucía.Key words. Hibiscus, Solamon, Andalusia

Fragmentos Taxonómicos, corológicos, nomenclaturales y fitocenológicos

Se relacionan 75 táxones recolectados dentro de los límites del sector Rondeño (provincia Bética) y que se encuentran poco citados o que suponen novedad. Para cada uno de ellos se indican las localidades (incluyendo la cuadrícula UTM de 1 km2 ), ecología observada y altitud. Los testigos se encuentran depositados en el Herbario del Departamento de Botánica de la Facultad de Farmacia de Sevilla (SEVF).A list of 75 scarcely recorded or wich mean new records taxa from the sector Rondeño (Betica province) is given. Localities (including UTM squares 1 km 2 ), ecology and altitude are also given. All the sheets are conserved in the Herbarium of the Departament of Botany, Faculty of Farmacy, Seville (SEVF)

Contigo aunque mal me pagues : relación obreros-Estado, en dos actos

9 páginasConforme a los ciclos políticos que mueven al país, existe consenso y tranquilidad política. Sin embargo, como parte del proceso de reconstrucción capitalista, las transformaciones políticas nacionales asumen formas diferentes. En este proceso, entre el Estado y la sociedad civil, se modifican las estructuras de mediación y control que dan vida a las alianzas políticas