Reachability Problems in Nondeterministic Polynomial Maps on the Integers

We study the reachability problems in various nondeterministic polynomial maps in Zn. We prove that the reachability problem for very simple three-dimensional affine maps (with independent variables) is undecidable and is PSPACE-hard for two-dimensional quadratic maps. Then we show that the complexity of the reachability problem for maps without functions of the form ±x + b is lower. In this case the reachability problem is PSPACE-complete in general, and NP-hard for any fixed dimension. Finally we extend the model by considering maps as language acceptors and prove that the universality problem is undecidable for two-dimensional affine maps

Weighted Automata on Infinite Words in the Context of Attacker-Defender Games

The paper is devoted to several infinite-state Attacker–Defender games with reachability objectives. We prove the undecidability of checking for the existence of a winning strategy in several low-dimensional mathematical games including vector reachability games, word games and braid games. To prove these results, we consider a model of weighted automata operating on infinite words and prove that the universality problem is undecidable for this new class of weighted automata. We show that the universality problem is undecidable by using a non-standard encoding of the infinite Post correspondence problem

Reachability problems in low-dimensional nondeterministic polynomial maps over integers

We study reachability problems for various nondeterministic polynomial maps in Zn. We prove that the reachability problem for very simple three-dimensional affine maps (with independent variables) is undecidable and is PSPACE-hard for both two-dimensional affine maps and one-dimensional quadratic maps. Then we show that the complexity of the reachability problem for maps without functions of the form ±x+a0 is lower. In this case the reachability problem is PSPACE for any dimension and if the dimension is not fixed, then the problem is PSPACE-complete. Finally we extend the model by considering maps as language acceptors and prove that the universality problem is undecidable for two-dimensional affine maps

Subsequence invariants

In this thesis, we introduce subsequence invariants, a new class of invariants for the specification and verification of systems. Unlike state invariants, which refer to the state variables of the system, subsequence invariants characterize the behavior of a concurrent system in terms of the occurrences of sequences of synchronization events. The first type of such invariants, pure subsequence invariants, are linear constraints over the possible numbers of such occurrences, where we allow every occurrence of a subsequence to be interleaved arbitrarily with other events. We then describe the more general class of phased subsequence invariants, in which additional restrictions can be placed on the events that may occur between those of a given sequence. In either case, subsequence invariants are preserved when a given process is composed with additional processes. subsequence invariants can therefore be computed individually for each process and then be used to reason about the full system. We present an efficient algorithm for the computation of subsequence invariants of finite-state systems. Our construction can be applied incrementally to obtain a growing set of invariants given a growing set of event sequences. We then address the problem of proving subsequence invariants of infinite-state systems. For this we use an abstraction refinement procedure that uses small, incrementally transformed graph-based abstractions. In order to explain the techniques we use, we first introduce a simpler version of this method for statebased properties, and then show how to verify subsequence invariants.Inhalt dieser Arbeit sind Subsequenzinvarianten, eine neue Klasse von Invarianten für die Systemspezifikation und -verifikation. Im Gegensatz zu zustandsbasierten Invarianten, die über den Zustandsvariablen des Systems definiert sind, beschreiben Subsequenzinvarianten das gewünschte Systemverhalten anhand des Auftretens verschiedener Synchronisationsfolgen. Wir beschreiben zunächst reine Subsequenzinvarianten, welche durch lineare Gleichungen auf den möglichen Häufigkeiten solcher Folgen von Events gegeben sind, zwischen denen jeweils beliebige andere Events autreten dürfen. Im Anschluss verallgemeinern wir diese zu Subsequenzinvarianten mit Phasen, in denen eine Synchronisationsfolge neben der eigentlichen Folge von Events auch durch Beschränkungen auf den dazwischen auftretenden Events gegeben sein kann. Beide Klassen von Invarianten bleiben gültig, wenn ein Prozess, für den sie gelten, mit beliebigen anderen Prozessen kombiniert wird. Sie können daher für jeden einzelnen Prozess berechnet und dann zur Verifikation des gesamten Systems verwendet werden. Wir präsentieren einen effizienten Algorithmus für die Berechnung von Subsequenzinvarianten auf Systemen mit endlichen Zustandsräumen. Diese Konstruktion kann auch inkrementell angewandt werden, wenn die Menge der betrachteten Subsequenzen allmählich wächst. Für die Berechnung von Subsequenzinvarianten für Systeme mit unendlichem Zustandsraum führen wir eine Methode ein, die auf dem Prinzip der Abstraktionsverfeinerung basiert. Unsere Version dieses Ansatzes zeichnet sich durch die Verwendung sehr kleiner, graphenbasierter Abstraktionen aus. Wir präsentieren zunächst eine einfachere Variante des Verfahrens für zustandsbasierte Fehlerbedingungen, an der sich die verwendeten Operationen leichter demonstrieren lassen, und beschreiben dann die Anpassungen für die Verifikation von Subsequenzinvarianten

Planification de pas pour robots humanoïdes : approches discrètes et continues

Dans cette thèse nous nous intéressons à deux types d'approches pour la planification de pas pour robots humanoïdes : d'une part les approches discrètes où le robot n'a qu'un nombre fini de pas possibles, et d'autre part les approches où le robot se base sur des zones de faisabilité continues. Nous étudions ces problèmes à la fois du point de vue théorique et pratique. En particulier nous décrivons deux méthodes originales, cohérentes et efficaces pour la planification de pas, l'une dans le cas discret (chapitre 5) et l'autre dans le cas continu (chapitre 6). Nous validons ces méthodes en simulation ainsi qu'avec plusieurs expériences sur le robot HRP-2. ABSTRACT : In this thesis we investigate two types of approaches for footstep planning for humanoid robots: on one hand the discrete approaches where the robot has only a finite set of possible steps, and on the other hand the approaches where the robot uses continuous feasibility regions. We study these problems both on a theoretical and practical level. In particular, we describe two original, coherent and efficient methods for footstep planning, one in the discrete case (chapter 5), and one in the continuous case (chapter 6). We validate these methods in simulation and with several experiments on the robot HRP-2