Testing formula satisfaction

We study the query complexity of testing for properties defined by read once formulae, as instances of massively parametrized properties, and prove several testability and non-testability results. First we prove the testability of any property accepted by a Boolean read-once formula involving any bounded arity gates, with a number of queries exponential in \epsilon and independent of all other parameters. When the gates are limited to being monotone, we prove that there is an estimation algorithm, that outputs an approximation of the distance of the input from satisfying the property. For formulae only involving And/Or gates, we provide a more efficient test whose query complexity is only quasi-polynomial in \epsilon. On the other hand we show that such testability results do not hold in general for formulae over non-Boolean alphabets; specifically we construct a property defined by a read-once arity 2 (non-Boolean) formula over alphabets of size 4, such that any 1/4-test for it requires a number of queries depending on the formula size

Sublinear-Time Cellular Automata and Connections to Complexity Theory

Im Gebiet des verteilten Rechnens werden Modelle untersucht, in denen sich mehrere Berechnungseinheiten koordinieren, um zusammen ein gemeinsames Ziel zu erreichen, wobei sie aber nur über begrenzte Ressourcen verfügen — sei diese Zeit-, Platz- oder Kommunikationskapazitäten. Das Hauptuntersuchungsobjekt dieser Dissertation ist das wohl einfachste solche Modell überhaupt: (eindimensionale) Zellularautomaten. Unser Ziel ist es, einen besseren Überblick über die Fähigkeiten und Einschränkungen des Modells und ihrer Varianten zu erlangen in dem Fall, dass die gesamte Bearbeitungszeit deutlich kleiner als die Größe der Eingabe ist (d. h. Sublinear-Zeit). Wir führen unsere Analyse von dem Standpunkt der Komplexitätstheorie und stellen dabei auch Bezüge zwischen Zellularautomaten und anderen Gebieten wie verteiltes Rechnen und Streaming-Algorithmen her. Sublinear-Zeit Zellularautomaten. Ein Zellularautomat (ZA) besteht aus identischen Zellen, die entlang einer Linie aneinandergereiht sind. Jede Zelle ist im Wesentlichen eine sehr primitive Berechnungseinheit (nämlich ein deterministischer endlicher Automat), die mit deren beiden Nachbarn interagieren kann. Die Berechnung entsteht durch die Aktualisierung der Zustände der Zellen gemäß derselben Zustandsüberführungsfunktion, die gleichzeitig überall im Automaten angewendet wird. Die von uns betrachteten Varianten sind unter anderem schrumpfende ZAs, die (gewissermaßen) dynamisch rekonfigurierbar sind, sowie eine probabilistische Variante, in der jede Zelle mit Zugriff auf eine faire Münze ausgestattet ist. Trotz überragendem Interesse an Linear- und Real-Zeit-ZAs scheint der Fall von Sublinear-Zeit im Großen und Ganzen von der wissenschaftlichen Gemeinschaft vernachlässigt worden zu sein. Wir arbeiten die überschaubare Anzahl an Vorarbeiten zu dem Thema auf, die vorhanden ist, und entwickeln die daraus stammenden Techniken weiter, sodass deren Spektrum an Anwendungsmöglichkeiten wesentlich breiter wird. Durch diese Bemühungen entsteht unter anderem ein Zeithierarchiesatz für das deterministische Modell. Außerdem übertragen wir Techniken zum Beweis unterer Schranken aus der Komplexitätstheorie auf das Modell der schrumpfenden ZAs und entwickeln neue Techniken, die auf probabilistische Sublinear-Zeit-ZAs zugeschnitten sind. Ein Bezug zu Härte-Magnifizierung. Ein Bezug zu Komplexitätstheorie, die wir im Laufe unserer Untersuchungen herstellen, ist ein Satz über Härte-Magnifizierung (engl. hardness magnification) für schrumpfende ZAs. Hier bezieht sich Härte-Magnifizierung auf eine Reihe neuerer Arbeiten, die bezeugen, dass selbst geringfügig nicht-triviale untere Schranken sehr beeindruckende Konsequenzen in der Komplexitätstheorie haben können. Unser Satz ist eine Abwandlung eines neuen Ergebnisses von McKay, Murray und Williams (STOC, 2019) für Streaming-Algorithmen. Wie wir zeigen kann die Aussage dabei genauso in Bezug auf schrumpfende ZAs formuliert werden, was sie auch beweisbar verstärkt. Eine Verbindung zu Sliding-Window Algorithmen. Wir verknüpfen das verteilte Zellularautomatenmodell mit dem sequenziellen Streaming-Algorithmen-Modell. Wie wir zeigen, können (gewisse Varianten von) ZAs von Streaming-Algorithmen simuliert werden, die bestimmten Lokalitätseinschränkungen unterliegen. Konkret ist der aktuelle Zustand des Algorithmus vollkommen bestimmt durch den Inhalt eines Fensters fester Größe, das wenige letzte Symbole enthält, die vom Algorithmus verarbeitet worden sind. Dementsprechend nennen wir diese eingeschränkte Form eines Streaming-Algorithmus einen Sliding-Window-Algorithmus. Wir zeigen, dass Sliding-Window-Algorithmen ZAs sehr effizient simulieren können und insbesondere in einer solchen Art und Weise, dass deren Platzkomplexität eng mit der Zeitkomplexität des simulierten ZA verbunden ist. Derandomisierungsergebnisse. Wir zeigen Derandomisierungsergebnisse für das Modell von Sliding-Window-Algorithmen, die Zufall aus einer binären Zufallsquelle beziehen. Dazu stützen wir uns auf die robuste Maschinerie von Branching-Programmen, die den gängigen Ansatz zur Derandomisierung von Platz-beschränkten Maschinen in der Komplexitätstheorie darstellen. Als eine Anwendung stellen sich Derandomisierungsergebnisse für probabilistische Sublinear-Zeit-ZAs heraus, die durch die oben genannten Verknüpfung erlangt werden. Vorhersageproblem für Pilz-Sandhaufen. Ein letztes Problem, das wir behandeln und das auch einen Bezug zu Sublinear-Zeitkomplexität im Rahmen von Zellularautomaten hat (obwohl nicht zu Sublinear-Zeit-Zellularautomaten selber), ist das Vorhersageproblem für Sandhaufen-Zellularautomaten. Diese Automaten sind basierend auf zweidimensionalen ZAs definiert und modellieren einen deterministischen Prozess, in dem sich Partikel (in der Regel denkt man an Sandkörnern) durch den Raum verbreiten. Das Vorhersageproblem fragt ob, gegeben eine Zellennummer $y$ und eine initiale Konfiguration für den Sandhaufen, die Zelle mit Nummer $y$ irgendwann vor einer gewissen Zeitschranke einen von Null verschiedenen Zustand erreichen wird. Die Komplexität dieses mindestens zwei Jahrzehnte alten Vorhersageproblems ist für zweidimensionelle Sandhaufen bemerkenswerterweise nach wie vor offen. Wir lösen diese Frage im Wesentlichen für eine neue Variante von Sandhaufen namens Pilz-Sandhaufen, die von Goles u. a. (Phys. Lett. A, 2020) vorgeschlagen worden ist. Unser Ergebnis ist besonders relevant, weil es innovative Erkenntnisse und neue Techniken liefert, die für die Lösung des offenen Problems im allgemeinen Fall von hoher Relevanz sein könnten

The limits of Nečiporuk’s method and the power of programs over monoids taken from small varieties of finite monoids

Cotutelle avec l'École Normale Supérieure de Cachan, Université Paris-Saclay.Cette thèse porte sur des minorants pour des mesures de complexité liées à des sous-classes de la classe P de langages pouvant être décidés en temps polynomial par des machines de Turing. Nous considérons des modèles de calcul non uniformes tels que les programmes sur monoïdes et les programmes de branchement. Notre première contribution est un traitement abstrait de la méthode de Nečiporuk pour prouver des minorants, indépendamment de toute mesure de complexité spécifique. Cette méthode donne toujours les meilleurs minorants connus pour des mesures telles que la taille des programmes de branchements déterministes et non déterministes ou des formules avec des opérateurs booléens binaires arbitraires ; nous donnons une formulation abstraite de la méthode et utilisons ce cadre pour démontrer des limites au meilleur minorant obtenable en utilisant cette méthode pour plusieurs mesures de complexité. Par là, nous confirmons, dans ce cadre légèrement plus général, des résultats de limitation précédemment connus et exhibons de nouveaux résultats de limitation pour des mesures de complexité auxquelles la méthode de Nečiporuk n’avait jamais été appliquée. Notre seconde contribution est une meilleure compréhension de la puissance calculatoire des programmes sur monoïdes issus de petites variétés de monoïdes finis. Les programmes sur monoïdes furent introduits à la fin des années 1980 par Barrington et Thérien pour généraliser la reconnaissance par morphismes et ainsi obtenir une caractérisation en termes de semi-groupes finis de NC^1 et de ses sous-classes. Étant donné une variété V de monoïdes finis, on considère la classe P(V) de langages reconnus par une suite de programmes de longueur polynomiale sur un monoïde de V : lorsque l’on fait varier V parmi toutes les variétés de monoïdes finis, on obtient différentes sous-classes de NC^1, par exemple AC^0, ACC^0 et NC^1 quand V est respectivement la variété de tous les monoïdes apériodiques finis, résolubles finis et finis. Nous introduisons une nouvelle notion de docilité pour les variétés de monoïdes finis, renforçant une notion de Péladeau. L’intérêt principal de cette notion est que quand une variété V de monoïdes finis est docile, nous avons que P(V) contient seulement des langages réguliers qui sont quasi reconnus par morphisme par des monoïdes de V. De nombreuses questions ouvertes à propos de la structure interne de NC^1 seraient réglées en montrant qu’une variété de monoïdes finis appropriée est docile, et, dans cette thèse, nous débutons modestement une étude exhaustive de quelles variétés de monoïdes finis sont dociles. Plus précisément, nous portons notre attention sur deux petites variétés de monoïdes apériodiques finis bien connues : DA et J. D’une part, nous montrons que DA est docile en utilisant des arguments de théorie des semi-groupes finis. Cela nous permet de dériver une caractérisation algébrique exacte de la classe des langages réguliers dans P(DA). D’autre part, nous montrons que J n’est pas docile. Pour faire cela, nous présentons une astuce par laquelle des programmes sur monoïdes de J peuvent reconnaître beaucoup plus de langages réguliers que seulement ceux qui sont quasi reconnus par morphisme par des monoïdes de J. Cela nous amène à conjecturer une caractérisation algébrique exacte de la classe de langages réguliers dans P(J), et nous exposons quelques résultats partiels appuyant cette conjecture. Pour chacune des variétés DA et J, nous exhibons également une hiérarchie basée sur la longueur des programmes à l’intérieur de la classe des langages reconnus par programmes sur monoïdes de la variété, améliorant par là les résultats de Tesson et Thérien sur la propriété de longueur polynomiale pour les monoïdes de ces variétés.This thesis deals with lower bounds for complexity measures related to subclasses of the class P of languages that can be decided by Turing machines in polynomial time. We consider non-uniform computational models like programs over monoids and branching programs. Our first contribution is an abstract, measure-independent treatment of Nečiporuk’s method for proving lower bounds. This method still gives the best lower bounds known on measures such as the size of deterministic and non-deterministic branching programs or formulæ with arbitrary binary Boolean operators; we give an abstract formulation of the method and use this framework to prove limits on the best lower bounds obtainable using this method for several complexity measures. We thereby confirm previously known limitation results in this slightly more general framework and showcase new limitation results for complexity measures to which Nečiporuk’s method had never been applied. Our second contribution is a better understanding of the computational power of programs over monoids taken from small varieties of finite monoids. Programs over monoids were introduced in the late 1980s by Barrington and Thérien as a way to generalise recognition by morphisms so as to obtain a finite-semigroup-theoretic characterisation of NC^1 and its subclasses. Given a variety V of finite monoids, one considers the class P(V) of languages recognised by a sequence of polynomial-length programs over a monoid from V: as V ranges over all varieties of finite monoids, one obtains different subclasses of NC^1, for instance AC^0, ACC^0 and NC^1 when V respectively is the variety of all finite aperiodic, finite solvable and finite monoids. We introduce a new notion of tameness for varieties of finite monoids, strengthening a notion of Péladeau. The main interest of this notion is that when a variety V of finite monoids is tame, we have that P(V) does only contain regular languages that are quasi morphism-recognised by monoids from V. Many open questions about the internal structure of NC^1 would be settled by showing that some appropriate variety of finite monoids is tame, and, in this thesis, we modestly start an exhaustive study of which varieties of finite monoids are tame. More precisely, we focus on two well-known small varieties of finite aperiodic monoids: DA and J. On the one hand, we show that DA is tame using finite-semigroup- theoretic arguments. This allows us to derive an exact algebraic characterisation of the class of regular languages in P(DA). On the other hand, we show that J is not tame. To do this, we present a trick by which programs over monoids from J can recognise much more regular languages than only those that are quasi morphism-recognised by monoids from J. This brings us to conjecture an exact algebraic characterisation of the class of regular languages in P(J), and we lay out some partial results that support this conjecture. For each of the varieties DA and J, we also exhibit a program-length-based hierarchy within the class of languages recognised by programs over monoids from the variety, refining Tesson and Thérien’s results on the polynomial-length property for monoids from those varieties

Testing read-once formula satisfaction

We study the query complexity of testing for properties defined by read once formulas, as instances of {\em massively parametrized properties}, and prove several testability and non-testability results. First we prove the testability of any property accepted by a Boolean read-once formula involving any bounded arity gates, with a number of queries exponential in $\epsilon$, doubly exponential in the arity, and independent of all other parameters. When the gates are limited to being monotone, we prove that there is an {\em estimation} algorithm, that outputs an approximation of the distance of the input from satisfying the property. For formulas only involving And/Or gates, we provide a more efficient test whose query complexity is only quasipolynomial in $\epsilon$. On the other hand, we show that such testability results do not hold in general for formulas over non-Boolean alphabets; specifically we construct a property defined by a read-once arity $2$ (non-Boolean) formula over an alphabet of size $4$, such that any $1/4$-test for it requires a number of queries depending on the formula size. We also present such a formula over an alphabet of size $5$ that additionally satisfies a strong monotonicity condition

Property testing : theory and applications

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering and Computer Science, 2003.Includes bibliographical references (p. 107-111).(cont.) We show upper and lower bounds for the general problem and for specific partial orders. A few of our intermediate results are of independent interest. 1. If strings with a property form a vector space, adaptive 2-sided error tests for the property have no more power than non-adaptive 1-sided error tests. 2. Random LDPC codes with linear distance and constant rate are not locally testable. 3. There exist graphs with many edge-disjoint induced matchings of linear size. In the final part of the thesis, we initiate an investigation of property testing as applied to images. We study visual properties of discretized images represented by n x n matrices of binary pixel values. We obtain algorithms with the number of queries independent of n for several basic properties: being a half-plane, connectedness and convexity.Property testers are algorithms that distinguish inputs with a given property from those that are far from satisfying the property. Far means that many characters of the input must be changed before the property arises in it. Property testing was introduced by Rubinfeld and Sudan in the context of linearity testing and first studied in a variety of other contexts by Goldreich, Goldwasser and Ron. The query complexity of a property tester is the number of input characters it reads. This thesis is a detailed investigation of properties that are and are not testable with sublinear query complexity. We begin by characterizing properties of strings over the binary alphabet in terms of their formula complexity. Every such property can be represented by a CNF formula. We show that properties of n-bit strings defined by 2CNF formulas are testable with O([square root of]n) queries, whereas there are 3CNF formulas for which the corresponding properties require Q(n) queries, even for adaptive tests. We show that testing properties defined by 2CNF formulas is equivalent, with respect to the number of required queries, to several other function and graph testing problems. These problems include: testing whether Boolean functions over general partial orders are close to monotone, testing whether a set of vertices is close to one that is a vertex cover of a specific graph, and testing whether a set of vertices is close to a clique. Testing properties that are defined in terms of monotonicity has been extensively investigated in the context of the monotonicity of a sequence of integers and the monotonicity of a function over the m-dimensional hypercube (1,... , a)m. We study the query complexity of monotonicity testing of both Boolean and integer functions over general partial orders.by Sofya Raskhodnikova.Ph.D

Les Houches 2011: Physics at TeV Colliders New Physics Working Group Report

We present the activities of the "New Physics" working group for the "Physics at TeV Colliders" workshop (Les Houches, France, 30 May-17 June, 2011). Our report includes new agreements on formats for interfaces between computational tools, new tool developments, important signatures for searches at the LHC, recommendations for presentation of LHC search results, as well as additional phenomenological studies.Comment: 243 pages, report of the Les Houches 2011 New Physics Group; fix three figure

Proofs of proximity for context-free languages and read-once branching programs

Proofs of proximity are probabilistic proof systems in which the verifier only queries a sub-linear number of input bits, and soundness only means that, with high probability, the input is close to an accepting input. In their minimal form, called Merlin-Arthur proofs of proximity ( MAP ), the verifier receives, in addition to query access to the input, also free access to an explicitly given short (sub-linear) proof. A more general notion is that of an interactive proof of proximity ( IPP ), in which the verifier is allowed to interact with an all-powerful, yet untrusted, prover. MAP s and IPP s may be thought of as the NP and IP analogues of property testing, respectively

A Primer on Cryptographic Multilinear Maps and Code Obfuscation

The construction of cryptographic multilinear maps and a general-purpose code obfuscator were two long-standing open problems in cryptography. It has been clear for a number of years that constructions of these two primitives would yield many interesting applications. This thesis describes the Coron-Lepoint-Tibouchi candidate construction for multilinear maps, as well as new candidates for code obfuscation. We give an overview of current multilinear and obfuscation research, and present some relevant applications. We also provide some examples and warnings regarding the inefficiency of the new constructions. The presentation is self-contained and should be accessible to the novice reader