Generalization of Weierstrassian Elliptic Functions to Rn{\bf R}^{n}

The Weierstrassian $\wp, \zeta$ and $\sigma$ functions are generalized to ${\bf R}^{n}$. The $n=3$ and $n=4$ cases have already been used in gravitational and Yang-Mills instanton solutions which may be interpreted as explicit realizations of spacetime foam and the monopole condensate, respectively. The new functions satisfy higher dimensional versions of the periodicity properties and Legendre's relations obeyed by their familiar complex counterparts. For $n=4$, the construction reproduces functions found earlier by Fueter using quaternionic methods. Integrating over lattice points along all directions but two, one recovers the original Weierstrassian elliptic functions.Comment: pp. 9, Late

Regular Moebius transformations of the space of quaternions

Let H be the real algebra of quaternions. The notion of regular function of a quaternionic variable recently presented by G. Gentili and D. C. Struppa developed into a quite rich theory. Several properties of regular quaternionic functions are analogous to those of holomorphic functions of one complex variable, although the diversity of the quaternionic setting introduces new phenomena. This paper studies regular quaternionic transformations. We first find a quaternionic analog to the Casorati-Weierstrass theorem and prove that all regular injective functions from H to itself are affine. In particular, the group Aut(H) of biregular functions on H coincides with the group of regular affine transformations. Inspired by the classical quaternionic linear fractional transformations, we define the regular fractional transformations. We then show that each regular injective function from the Alexandroff compactification of H to itself is a regular fractional transformation. Finally, we study regular Moebius transformations, which map the unit ball B onto itself. All regular bijections from B to itself prove to be regular Moebius transformations.Comment: 12 page

Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen

VORLESUNGEN ÜBER DIE SINGULÄREN MODULN UND DIE KOMPLEXE MULTIPLIKATION DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen (-) Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen (1) (-) Einband (-) Titelseite (-) Vorwort ([III]) Inhaltsverzeichnis ([VII]) I. Die elliptische Modulfunktion (1) 1. Die Modulgruppe und ihre Untergruppen (1) 2. Der Diskontinuitätsbereich der Modulgruppe (6) 3. Die Modulfunktion (17) 4. Funktionstheoretische Sätze über Modulfunktionen (25) II. Die Transformationsgleichungen ([33]) 1. Die Transformationsgruppen nter Ordnung ([33]) 2. Modulfunktionen nter Stufe (39) 3. Die Transformationsgleichungen (41) III. Die singulären Werte der Modulfunktionen ([49]) 1. Der quadratische Körper ([49]) 2. Substitutionen nter Ordnung und quadratischer Körper (58) 3. Die singulären Moduln (62) 4. Die Gruppe der Klassengleichung (66) 5. Die Ringklassenkörper (74) IV. Die elliptische Funktion ([79]) 1. Die Gruppe der Perioden und ihr Diskontinuitätsbereich ([79]) 2. Die elliptische Funktion (81) 3. Funktionentheoretische Sätze über elliptische Funktionen (84) 4. Die Multiplikationsformeln (95) 5. Multiplikation der Perioden (102) 6. Die Modulfunktion t (104) V. Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen ([109]) 1. Strahlen im quadratischen Körper ([109]) 2. Der singuläre Körper von t (111) 3. Die singulären elliptischen Funktionen und die komplexe Multiplikation (117) 4. Der Strahlklassenkörper und seine Gruppe (131) Verzeichnis der Definitionen (140) Verzeichnis der Sätze (140) Namen- und Sachverzeichnis ([141]) Werbung (-) Einband (-

The conic-gearing image of a complex number and a spinor-born surface geometry

Quaternion (Q-) mathematics formally contains many fragments of physical laws; in particular, the Hamiltonian for the Pauli equation automatically emerges in a space with Q-metric. The eigenfunction method shows that any Q-unit has an interior structure consisting of spinor functions; this helps us to represent any complex number in an orthogonal form associated with a novel geometric image (the conic-gearing picture). Fundamental Q-unit-spinor relations are found, revealing the geometric meaning of spinors as Lam\'e coefficients (dyads) locally coupling the base and tangent surfaces.Comment: 7 pages, 1 figur

Does the Gursey-Tze Solution Represent a Monopole Condensate?

We recast the quaternionic Gursey-Tze solution, which is a fourfold quasi-periodic self-dual Yang-Mills field with a unit instanton number per Euclidean spacetime cell, into an ordinary coordinate formulation. After performing the sum in the Euclidean time direction, we use an observation by Rossi which suggests the solution represents an arrangement with a BPS monopole per space lattice cell. This may provide a concrete realization of a monopole condensate in pure Yang-Mills theory.Comment: 12 pages, Latex

Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen

VORLESUNGEN ÜBER DIE SINGULÄREN MODULN UND DIE KOMPLEXE MULTIPLIKATION DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen (-) Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen (2) (-) Einband (-) Titelseite (-) Vorwort (III) Inhaltsverzeichnis ([VI]) VI. Die Zerfällung der Primideale ([143]) 1. Allgemeine Sätze über relativ-Abelsche Körper ([143]) 2. Die Zerfällung der Primideale im Klassenkörper (160) 3. Die Zerfällung der Primideale im Strahlklassenkörper (165) 4. Transzendente Sätze. Irreduzibilität der Strahlklassengleichung (169) 5. Die Zerfällung der Klassengleichung (181) VII. Der allgemeine Strahlklassenkörper und seine Relativdiskriminante ([189]) 1. Die Relativdiskriminante von K(4) in Bezug auf K ([189]) 2. Die Zusammensetzung der Strahlklassenkörper (204) 3. Die Relativdiskriminante der Strahlklassenkörper in Bezug auf K(4) (210) 4. Der allgemeine Strahlklassenkörper (230) 5. Die Relativdifferente des Klassenkörpers (254) 6. Die Relativdifferente des Strahlklassenkörpers (257) VIII. Die Vollständigkeit ([267]) 1. Die Einteilung der Geschlechter ([267]) 2. Die Maximaleigenschaft des Klassenkörpers (275) 3. Beweis der Vollständigkeit (277) IX. Berechnung der singulären Werte von t und der Teilungsgleichungen ([306]) 1. Die Diskontinuitätsbereiche der Gruppe G(4) und der Modulfunktion t ([306]) 2. Die Oktaeder-Modulfunktion µ (z) (308) 3. Sätze über zu G(4) gehörende Modulfunktionen (319) 4. Die transformierten Oktaeder-Modulfunktionen (322) 5. Die Transformations- oder Modulargleichungen (328) 6. Die Berechnung der Modulargleichungen (334) 7. Die Gleichungen der singulären Moduln (342) 8. Die Berechnung der Teilungsgleichungen (354) Namen- und Sachverzeichnis ([359]) Werbung ([361]) Einband (-

Matrix representations of a special polynomial sequence in arbitrary dimension

This paper provides an insight into different structures of a special polynomial sequence of binomial type in higher dimensions with values in a Clifford algebra. The elements of the special polynomial sequence are homogeneous hypercomplex differentiable (monogenic) functions of different degrees and their matrix representation allows to prove their recursive construction in analogy to the complex power functions. This property can somehow be considered as a compensation for the loss of multiplicativity caused by the non-commutativity of the underlying algebra.Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT

Interpretations of Presburger Arithmetic in Itself

Presburger arithmetic PrA is the true theory of natural numbers with addition. We study interpretations of PrA in itself. We prove that all one-dimensional self-interpretations are definably isomorphic to the identity self-interpretation. In order to prove the results we show that all linear orders that are interpretable in (N,+) are scattered orders with the finite Hausdorff rank and that the ranks are bounded in terms of the dimension of the respective interpretations. From our result about self-interpretations of PrA it follows that PrA isn't one-dimensionally interpretable in any of its finite subtheories. We note that the latter was conjectured by A. Visser.Comment: Published in proceedings of LFCS 201