Paradoja de las pelotas de tenis: construcción del infinito como un proceso iterativo infinito y un objeto trascendente

En este trabajo se analizan las construcciones que sobre el infinito evidencian estudiantes (entre 14 y 16 años) que pertenecen a programas de enriquecimiento en matemáticas, al tratar con la paradoja de las pelotas de tenis. A partir de los elementos de la teoría APOE (Acrónimo de Acciones, Procesos, Objetos, Esquemas) se describe, mediante una descomposición genética, la construcción del infinito como un proceso iterativo infinito (concepción dinámica) y como un objeto trascendente (concepción estática). Con base en el análisis teórico se discuten las concepciones primarias que los individuos desarrollan y el rol fundamental del conjunto de los números naturales en la construcción del infinito como una totalidad

La asimilacion del conocimiento matematico como una actividad del sujeto

En este documento intentamos hacer una reinterpretación a la teoría APOE tomando en cuenta el papel que juega el sujeto como constructor de su aprendizaje. Consideramos que es necesario hacer adecuaciones que se adapten al nuevo entorno en el que nos encontramos. Kuhn (1970) menciona que un paradigma (marco teórico) cambia o se modifica, porque satisface las necesidades de los tiempos más que el paradigma existente. Aclaramos que no pretendemos forzar ningún paradigma para dar explicaciones de los fenómenos inexplicados. Simplemente intentamos hacer una reinterpretación de las ideas hechas por Dubinsky acerca del papel que juega el sujeto en la construcción de su conocimiento, considerando que es necesario para el desarrollo de nuevas investigaciones que se desarrollen bajo esta perspectiva

Los sistemas de ecuaciones lineales: evidencias del tránsito entre los modos de pensamiento en estudiantes universitarios

En este artículo se aborda el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales a partir de los modos de pensamiento sintético-geométrico, analítico-aritmético y analítico-estructural. Particularmente se analiza el trabajo de un grupo de estudiantes universitarios que se encuentran en un curso de Ecuaciones Diferenciales. Los problemas propuestos se centran en sistemas de dos y tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, apoyados en un análisis a priori que contempla el tránsito entre los modos de pensamiento propuestos. En este estudio se diseñaron y aplicaron, un diagnóstico y una entrevista. El análisis del diagnóstico y de las transcripciones de las entrevistas muestran que en los estudiantes predomina un modo de pensar analítico aritmético y que a partir de este, pueden en cierto tipo de situaciones transitar entre los otros modos. Sin embargo, la centración en el modo analítico aritmético limita su comprensión de las características generales de los sistemas de ecuaciones lineales

El teorema fundamental del cálculo: escenarios para su comprensión

Este trabajo propone tres escenarios construidos en un software dinámico que buscan relacionar el cálculo diferencial y el integral a través de la construcción comprensiva del teorema fundamental del cálculo. Dichos escenarios fueron construidos tomando como base las cuatro fases que sustentan el uso de herramientas tecnológicas en la resolución de un problema propuestas por Santos y Moreno (2013). Se resalta el acercamiento visual y empírico a través de la construcción de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva, la construcción de la integral definida como el área bajo la curva en un intervalo cerrado y cómo éstas se relacionan en el teorema fundamental del cálculo

Proceso de generalización: una mirada de estudiantes de básica primaria

Con esta investigación buscamos analizar cómo estudiantes entre 9 y 12 años abordan el proceso de generalización a partir del estudio de patrones en diferentes representaciones. Para este trabajo hemos implementado las fases del proceso de generalización propuestas por el grupo Azarquiel (1993): Ver, Describir y Escribir. Los resultados muestran que después de un proceso de instrucción, los estudiantes identifican algunos patrones en secuencias numéricas y geométricas, ayudándose de estrategias que les permiten identificar el patrón, las más usadas fueron: Comparar, Representar e Invertir; sin embargo, logramos evidenciar que los estudiantes tienen grandes dificultades para pasar de una fase a otra; les resulta complejo llegar a una generalización ya sea de manera verbal o mediante una expresión general

Patrones geométricos, numéricos y verbales como iniciadores del proceso de generalización en la educación básica primaria

En este escrito se analiza el desarrollo del proceso de generalización de estudiantes entre 9 y 12 años, a partir del estudio de situaciones sobre patrones en diferentes representaciones. Para esto se consideran las actividades básicas del proceso de generalización propuestas por Kaput en 1999: 1. Identificar similitudes en un conjunto de casos, 2. Extender el razonamiento propio más allá del rango en el cual se originó y 3. Derivar resultados más amplios de casos particulares. Los resultados muestran que después de un proceso de instrucción los estudiantes logran identificar algunos patrones en secuencias numéricas y geométricas; sin embargo, tienen grandes dificultades para generalizarlos ya sea de manera verbal o mediante una expresión general

Estudio del concepto matriz de cambio de base en términos de la teoría APOE

El presente trabajo constituye parte de un proyecto de investigación que se inserta en el campo de la Matemática Educativa. El proyecto tiene como objetivo realizar una descomposición genética del concepto matriz de cambio de base, un concepto de Álgebra Lineal. En él se busca proponer una vía alternativa para la enseñanza de dicho concepto sobre la base de la teoría APOE; esta es una teoría cognitiva que describe a partir de estructuras y mecanismos cómo un individuo construye conocimiento matemático. En este documento se muestran evidencias de una prueba diagnóstico que fue aplicada a estudiantes de nivel superior, en donde se analizan y verifican los conceptos previos que se proponen como necesarios para la compresión del concepto matriz de cambio de base, además se muestran evidencia de algunas dificultades encontradas

El infinito: concepciones de los estudiantes que transitan del colegio a la universidad

En el presente trabajo nos interesa principalmente determinar qué concepciones sobre el infinito han desarrollado estudiantes de último año de secundaria y estudiantes universitarios de primer año. Aunque este concepto no aparece como un contenido específico del currículo de matemáticas, sobre él se desarrollan diferentes concepciones en escenarios no escolares que de una u otra manera afectan la construcción de conceptos matemáticos relacionados con él. Además, nos interesa confrontar las ideas que surgen cuando se habla de infinito en lo grande e infinito en lo pequeño, ya que aunque se trata de la construcción de un mismo concepto sus concepciones emergen de manera diferente en la mente de los individuos (Núñez, 1997). Lo que se puede justificar considerando que es más fácil comprender el infinito en lo grande como un proceso que continua sin parar y que no tiene fin, que el infinito en lo pequeño, en donde a pesar de conservarse el hecho de un proceso sin fin, aparece una nueva situación que sugiere que dicho proceso tiene un límite

Un esquema de transformación lineal: construcción de objetos abstractos a partir de la interiorización de acciones concretas

En aquest article s'exposa un model cognitiu denominat per la teoria APOE (acrònim d'Acció, Procés, Objecte, Esquema) descomposició genètica, que descriu les estructures i mecanismes mentals que un individu ha de desenvolupar per comprendre el concepte de transformació lineal. S'analitza com la definició funcional de la transformació lineal, la seva representació matricial i geomètrica es relacionen a través del concepte de base ordenada. L'esquema descrit a través de les diferents relacions entre estructures i mecanismes mentals assenyala la importància de realitzar accions sobre objectes concrets (representacions gràfiques de funcions del plànol en ell mateix) per aconseguir objectes abstractes. Aquest model permet la construcció d'un esquema que pot evolucionar gràcies a les diferents experiències d'un individu amb situacions matemàtiques més sofisticades.This article show a cognitive model called by the APOS theory (acronym for Action, Process, Object, Scheme) genetic decomposition, which describes the mental structures and mechanisms that a person must develop to understand the concept of linear transformation. We discussed how the functional definition of linear transformation and its matrix and geometric representation are related through the ordered basis concept. Scheme described through the different relationships between mental structures and mechanisms show the importance of actions on concrete objects (graphic representations of plane functions in itself ) to achieve abstract objects. This model allows the construction of a scheme that can evolve thanks to the different experiences of an individual with more sophisticated mathematical situations.En este artículo se expone un modelo cognitivo denominado por la teoría APOE (acrónimo de Acción, Proceso, Objeto, Esquema) descomposición genética, que describe las estructuras y mecanismos mentales que un individuo debe desarrollar para comprender el concepto de transformación lineal. Se analiza cómo la definición funcional de la transformación lineal, su representación matricial y geométrica se relacionan a través del concepto de base ordenada. El esquema descrito a través de las diferentes relaciones entre estructuras y mecanismos mentales señala la importancia de realizar acciones sobre objetos concretos (representaciones gráficas de funciones del plano en él mismo) para lograr objetos abstractos. Este modelo permite la construcción de un esquema que puede evolucionar gracias a las diferentes experiencias de un individuo con situaciones matemáticas más sofisticadas

Procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un modelo de construcción del infinito matemático desde la teoría APOE

En este estudio se analizan las estructuras mentales que un individuo puede desarrollar al construir el concepto de infinito en dos contextos particulares: la paradoja de Aquiles y la tortuga y el triángulo de Sierpinski. Con base en la descomposición genética genérica del infinito, planteada por Roa-Fuentes y Oktaç (2014), se estudian las características particulares de las estructuras y los mecanismos que cada contexto genera. El análisis de los datos a partir del trabajo llevado a cabo por estudiantes de posgrado en Matemáticas y Educación Matemática, muestra cómo se da paso de un proceso iterativo infinito (infinito potencial) a un objeto trascendente (infinito actual). Además se muestra la importancia del mecanismo de coordinación para la construcción de procesos iterativos infinitos