Geometría axiomática de la convexidad parte I: axiomática de segmento

En este trabajo haremos una introducción a la Geometría Axiomática de la Convexidad, para dos niveles en la formación matemática del alumnado. La Parte I, que veremos en este número, está destinada a introducir, en forma elemental, una axiomática de segmentos caracterizados mediante tres axiomas independientes. El desarrollo de esta axiomática permitirá obtener varias propiedades de los conjuntos convexos y de la cápsula convexa de un subconjunto A, es decir, del menor conjunto convexo que incluye al A. La Parte II, que estudiaremos en el próximo número, estará destinada a alumnos con mayor formación matemática. Allí consideraremos como concepto primitivo el de cápsula convexa, que caracterizaremos mediante cuatro axiomas independientes que son teoremas de la axiomática de segmentos. Se desarrollará este sistema y se probará su equivalencia con el sistema axiomático de segmentos visto en la Parte I. La consistencia de estos sistemas queda asegurada ya que sus axiomas son válidos en el plano y el espacio. Finalmente, en un Apéndice un nuevo axioma, independiente de los anteriores, permitirá estudiar la separación de convexos mediante semiespacios

Geometría axiomática de la convexidad parte II: axiomática de cápsula convexa

En la Parte I estudiamos una axiomática de segmentos, en la que definimos los convexos y estudiamos sus propiedades conjuntistas. Ello nos permitió definir la cápsula convexa para subconjuntos del espacio y demostrar algunas de sus propiedades. En esta Parte II, tomaremos como concepto primitivo el de cápsula convexa que caracterizaremos mediante cuatro axiomas independientes que resultan de propiedades de la cápsula convexa dadas en la Parte I. Los segmentos se definirán a partir de la cápsula convexa y obtendremos como teorema los tres axiomas de la axiomática de segmentos de la Parte I. De esta forma ambos sistemas axiomáticos resultarán equivalentes. Ello permitirá asegurar que toda proposición de la Parte I también puede demostrarse en el sistema axiomático de la Parte II y viceversa. En tal sentido, utilizando la axiomática de cápsula convexa, probaremos los diversos teoremas en este sistema axiomático, prescindiendo de las demostraciones hechas en la primera parte. En un Apéndice, un axioma independiente de los anteriores permitirá estudiar la separación de convexos mediante semiespacios. La numeración de los parágrafos, definiciones, proposiciones y figuras continúa la de la Parte I del trabajo

Sistemas axiomáticos para la convexidad

Fil:Bressan, Juan Carlos. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

Sistemas lineales planos de ecuaciones diferenciales y en diferencias: Un estudio comparativo

Este trabajo tiene como propuesta de enseñanza relacionar dos temas que habitualmente se tratan por separado. Nos estamos refiriendo a los sistemas lineales planos de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias finitas. Ambos sistemas resultan de fundamental importancia en el modelado de diversas ramas de la ciencia y en ciertos aspectos admiten un desarrollo en paralelo donde pueden destacarse las similitudes y las diferencias entre ambos. En tal sentido el estudio se centrará a partir de la transformación lineal inversible que define el sistema, considerando únicamente el caso en que los autovalores de la matriz de dicha transformación sean reales distintos y no nulos. Los autovalores y autovectores de esa transformación lineal serán el nodo cognitivo a partir del cual desarrollaremos el estudio cuantitativo y cualitativo de las soluciones de los sistemas autónomos de primer orden de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias

Lógica simbólica y teoría de conjuntos. Parte I

En este trabajo, la utilización de la lógica simbólica y de los conjuntos se hace desde un punto de vista intuitivo, ya que se persigue básicamente un fin didáctico. En esta Parte I se introducen simultáneamente las proposiciones, funciones proposicionales y sus conjuntos de verdad. Cada conectiva definida mediante una tabla de verdad, se relaciona con la operación entre conjuntos correspondiente. Las tautologías se utilizan para diferenciar el condicional de la implicación lógica, así como el bicondicional de la equivalencia lógica. En la Parte II, que aparecerá en el próximo número, se analizarán las tautologías y las formas de razonamiento válidas, se relacionará el cuantificador universal con la conjunción y la intersección de familias de conjuntos. Análogamente, se procederá con el cuantificador existencial relacionándolo con la disyunción inclusiva y la unión de familias de conjuntos. Se destacarán la diferencia entre demostraciones por el contrarrecíproco y por el absurdo y la importancia en el orden en que se escriben los cuantificadores en Matemática

Lógica simbólica y teoría de conjuntos. Parte II

En la Parte I se introdujeron simultáneamente las proposiciones, funciones proposicionales y sus conjuntos de verdad. Cada conectiva definida mediante una tabla de verdad, se relacionó con la operación entre conjuntos correspondiente. Las tautologías se utilizaron para diferenciar el condicional de la implicación lógica, así como el bicondicional de la equivalencia lógica. En esta Parte II del trabajo, se analizan las tautologías y las formas de razonamiento válidas, se relaciona el cuantificador universal con la conjunción y la intersección de familias de conjuntos. Análogamente, se procede con el cuantificador existencial relacionándolo con la disyunción inclusiva y la unión de familias de conjuntos. Se destacan la diferencia entre demostraciones por el contrarrecíproco y por el absurdo y la importancia en el orden en que se escriben los cuantificadores en Matemática. La numeración de los parágrafos así como de las tablas continúa la numeración de la Parte I, por cuanto las dos partes están estrechamente relacionadas constituyendo entre ambas la totalidad del trabajo

Análisis cualitativo de ecuaciones en diferencias y caos

El objetivo de este trabajo es introducir el concepto de caos, mediante el análisis cualitativo de sistemas dinámicos discretos, cuyos modelos deterministas están dados por ecuaciones en diferencias no lineales. La variable independiente discreta es el tiempo y al cabo de cada intervalo de igual longitud la variable dependiente describira el estado del sistema. El análisis cualitativo se realiza geométricamente, mediante representaciones gráficas, sin aplicar métodos formales de resolución de la ecuación, usando algunas veces métodos iterativos

La transformada Z como una discretización de la transformada de Laplace

Resulta frecuente que en ingeniería, física, química y economía se trabaje con fenómenos que podrían representarse mediante modelos dinámicos continuos, pero que cuando deben ser analizados se efectúa su observación en períodos determinados de duración constante, que los transforman en modelos dinámicos discretos. Mientras que los modelos dinámicos continuos se resuelven con ecuaciones diferenciales, los discretos utilizan ecuaciones en diferencias finitas. Queremos encontrar la relación entre las herramientas que permiten la obtención de las soluciones de las ecuaciones que modelan ambos sistemas dados con condiciones iniciales, determinando la relación entre las transformadas de Laplace y Z, que se utilizan en su resolución

Estabilidad de sistemas invariantes modelados por ecuaciones diferenciales

En las ciencias fácticas es frecuente estudiar la estabilidad de los sistemas de variable continua analizando las ecuaciones diferenciales que los modelan. Este tema suele ser muy poco abordado en los primeros niveles de cálculo por carecer aún de la base teórica suficiente, pero por su importancia y utilidad conviene exponerlo así sea a nivel elemental. Este trabajo presenta una propuesta didáctica para introducir el concepto de estabilidad en tres niveles distintos de acuerdo a la formación matemática ya recibida por el alumno según su carrera. El primer nivel está orientado a alumnos que simplemente resuelven ecuaciones diferenciales, con quienes se pueden inducir las condiciones de estabilidad por análisis de las funciones de entrada y salida. El segundo está destinado a aquellos alumnos que además saben transformada de Laplace y su inversa, con los que se puede introducir la función de transferencia y finalmente el tercero para alumnos de cursos avanzados ya familiarizados con la convolución, con la que pueden hacer la justificación teórica del criterio adoptado para el análisis de la estabilidad del sistema. En cada nivel se presentan ejemplos resueltos en que se aplica la información impartida y se evidencia la forma en que se determina la estabilidad del sistema. Destacamos que esencialmente en los dos primeros niveles insistimos en cómo se opera para determinar la estabilidad del sistema. Recién en el último nivel nos preocupa la justificación de dicha operatoria. Eso debido a que recién ahora el alumno cuenta con la base teórica que se lo permite