Geometric approach to the proof of Fermat’s last theorem

A geometric approach to the proof of Fermat’s last theorem is proposed. Instead of integers a, b, c, Fermat’s last theorem considers a triangle with side lengths a, b, c. It is proved that in the case of right-angled and obtuse-angled triangles Fermat's equation has no solutions. When considering the case when a, b, c are sides of an acute triangle, it is proved that Fermat's equation has no entire solutions for p>2. The numbers a=k, b=k+m, c=k+n, where k, m, n are natural numbers satisfying the inequalities n>m, n<k+m, exhaust all possible variants of natural numbers a, b, c which are the sides of the triangle. The proof in this case is carried out by introducing a new auxiliary function f(k,p)=kp+(k+m)p–(k+n)p of two variables, which is a polynomial of degree in the variable . The study of this function necessary for the proof of the theorem is carried out. A special case of Fermat’s last theorem is proved, when the variables a, b, c take consecutive integer values. The proof of Fermat’s last theorem was carried out in two stages. Namely, all possible values of natural numbers k, m, n, p were considered, satisfying the following conditions: firstly, the number (np–mp) is odd, and secondly, this number is even, where the number (np–mp) is a free member of the function f(k, p). Another proof of Fermat’s last theorem is proposed, in which all possible relationships between the supposed integer solution of the equation f(k, p)=0 and the number corresponding to this supposed solution  are considered. The proof is carried out using the mathematical apparatus of the theory of integers, elements of higher algebra and the foundations of mathematical analysis. These studies are a continuation of the author's works, in which some special cases of Fermat’s last theorem are prove

The proof of Fermat’s last theorem based on the geometric principle

This paper provides another proof of Fermat's theorem. As in the previous work, a geometric approach is used, namely: instead of integers a, b, c, a triangle with side lengths a, b, c is considered. To preserve the completeness of the proof of the theorem in this work, the proof is repeated for the cases of right and obtuse triangles. In this case, the Fermat equation ap+bp=cp has no solutions for any natural number p>2 and arbitrary numbers a, b, c. When considering the case when the numbers a, b, c are sides of an acute triangle, it is proven that Fermat’s equation has no solutions for any natural number p>2 and non-zero integer numbers a, b, c. Numbers a=k, b=k+m, c=k+n, where k, m, n are natural numbers that satisfy the inequalities n>m, n<k+m, exhaust all possible variants of natural numbers a, b, c, which are the sides of the triangle. In an acute triangle, the following condition is additionally satisfied: To study the Fermat equation, an auxiliary function f(k,p)=kp+(k+m)p–(k+n)p, is introduced, which is a polynomial of natural degree p in the variable k. The equation f(k,p)=0 has a single positive root for any natural A recurrent formula connecting the functions f(k,p+1) and f(k,p) has been proven: f(k,p+1)=kf(k,p)-[n(k+n)p-m(k+m)p]. The proof of the main proposition 2 is based on considering all possible relationships between the assumed integer solution of the equation f(k,p+1)=0 and the number  corresponding to this solution The proof was carried out using the mathematical apparatus of number theory, elements of higher algebra and the foundations of mathematical analysis. These studies are a continuation of the author’s works, in which some special cases of Fermat’s theorem were prove

Дослідження процеса получення композіта на основі Cr2O3-AlN методом гарячего пресуваня

We have established the influence of heating rate of 150, 350 and 600 °C/min, pressure of 8 and 18 MPa, on the compaction process of the reaction mixture Cr2O3–15AlNnano, the hardness and crack resistance of the dense material. The intensity of compacting the charge Cr2O3–15AlNnano depends on the pressure magnitude and the rate of heating. A pressure of 18 MPa ensures the complete compaction of the mixture regardless of the specified heating rate while a pressure of 8 MPa provides for the complete compaction of the material only at the rate of heating of 600 °C/min. For the heating rate of 600 °C/min, compaction curves of the mixture at pressures 8 and 18 MPa are similar in shape. It was established that at a heating rate of 600 °C/min the compaction process of the mixture, in addition to pressure, is additionally activated by the effect of exothermic reaction among its components. Increasing the rate of heating from 150 to 600 °C makes it possible to improve the hardness and crack resistance of the dense material by, respectively, 1.0 GPa and 1.5MPa∙m1/2. It was revealed that the structure of the dense material, newly formed during HP(Hot pressing) of the mixture Cr2O3–15AlNnano, is of the dispersed-strengthened type: the matrix phase from a solid solution of variable composition from the composition (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0.4) and the dispersed, stochastically distributed within it, Cr2N inclusions the size of up to 2 µm that are alloyed with Al to 1.8 %. We have identified separate large inclusions the size of 10–40 μm of the structure, similar to the basic structure, but with the matrix phase of solid solution of the composition (Cr1-x–Alx)2О3 (0.5<x<0.9). The fracture toughness of the material, obtained in the course of research, is 1.5 times larger, while the hardness is 1.2 GPa less, than similar characteristics for the most common ceramics of the "mixed" type based on Al2O3–ТіС.Установлено влияние скорости нагревания 150, 350 и 600 °С/хв, давлений 8 и 18 МПа на процесс уплотнения реакционной смеси Cr2O3–15AlNнано, на твердость и трещиностойкость плотного материала. Интенсивность уплотнения шихты Cr2O3–15AlNнан зависит от величины давления и от скорости нагревания. Давление 18 МПа обеспечивает полное уплотнение смеси независимо от указанных скоростей нагревания, а давление 8 МПа обеспечивает полное уплотнение материала только при скорости нагревания 600 °С/мин. Для скорости нагревания 600 °С/мин. кривые уплотнения смеси для давлений 8 и 18 МПа близкие по форме. Установлено, что при скорости нагревания 600 °С/хв процесс уплотнения смеси, кроме давления, дополнительно активируется эффектом экзотермической реакции между ее компонентами. Повышение скорости с 150 до 600 °С нагревания позволяет увеличить твердость и трещиностойкость плотного материала соответственно на 1,0ГПа и 1,5МПа∙м1/2. Выявлено, что новообразованная в процессе ГП смеси Cr2O3–15AlNнано, структура плотного материала есть дисперсноупрчнненного типа: матричная фаза из твердого раствора переменного состава состава (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0,4) и дисперсных, стохастически распределенных в ней, включений Cr2N размером до 2 мкм, которые легированы до 1,8 % Al. Выявлены отдельные крупные включения размером 10-40мкм с аналогичным, как основная структура, строением, но с матричной фазой из твердого раствора состава (Cr1-x–Alx)2О3 (0,5<x<0,9). Трещиностойкость, полученного в процессе исследований материала в 1,5 больше, а твердость на 1,2 ГПа меньше аналогичных характеристик наиболее распространенной на сегодня керамики "смешанного" типа на основе Al2O3–ТіСВстановлено вплив швидкості нагрівання 150, 350 і 600 °С/хв, тисків 8 і 18 МПа на процес ущільнення реакційної суміші Cr2O3–15AlNнано, на твердість і тріщиностійкість щільного матеріалу. Інтенсивність ущільнення шихти Cr2O3–15AlN залежить від величини тиску і від швидкості нагрівання. Тиск 18 МПа забезпечує повне ущільнення суміші незалежно від вказаних швидкостей нагрівання, а тиск 8 МПа забезпечує повне ущільнення тільки при швидкості нагрівання 600 °С/хв. Для швидкості нагрівання 600 °С/хв. криві ущільнення суміші для тисків 8 і 18 МПа близькі за формою. Встановлено, що при швидкості нагрівання 600 °С/хв процес ущільнення суміші, крім тиску, додатково активується ефектом екзотермічної реакції між її компонентами. Підвищення швидкості з 150 до 600 °С нагрівання дозволяє збільшити твердість і тріщиностійкість щільного матеріалу відповідно на 1,0 ГПа і 1,5МПа∙м1/2. Виявлено, що новоутворена в процесі ГП суміші Cr2O3–15AlNнано структура щільного матеріалу є дисперснозміцненого типу: матрична із твердого розчину перемінного складу типу (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0,4) і дисперсних стохастично розподілених в ній включень Cr2N розміром до 2 мкм, які леговані до 1,8 % Al. Виявлено окремі крупні включеннями розміром 10–40мкм з аналогічним, як основна структура, будовою, але з матричною фазою із твердого розчину (Cr1-x-Alx)2О3 (0,5<x<0,9). Тріщиностійкість, одержаного в процесі досліджень матеріалу, в 1,5 більша, а твердість на 1,2 ГПа менша за аналогічні характеристики найбільш поширеної на сьогодні кераміки «змішаного» типу на основі Al2O3–Ті

Дослідження процеса получення композіта на основі Cr2O3-AlN методом гарячего пресуваня

We have established the influence of heating rate of 150, 350 and 600 °C/min, pressure of 8 and 18 MPa, on the compaction process of the reaction mixture Cr2O3–15AlNnano, the hardness and crack resistance of the dense material. The intensity of compacting the charge Cr2O3–15AlNnano depends on the pressure magnitude and the rate of heating. A pressure of 18 MPa ensures the complete compaction of the mixture regardless of the specified heating rate while a pressure of 8 MPa provides for the complete compaction of the material only at the rate of heating of 600 °C/min. For the heating rate of 600 °C/min, compaction curves of the mixture at pressures 8 and 18 MPa are similar in shape. It was established that at a heating rate of 600 °C/min the compaction process of the mixture, in addition to pressure, is additionally activated by the effect of exothermic reaction among its components. Increasing the rate of heating from 150 to 600 °C makes it possible to improve the hardness and crack resistance of the dense material by, respectively, 1.0 GPa and 1.5MPa∙m1/2. It was revealed that the structure of the dense material, newly formed during HP(Hot pressing) of the mixture Cr2O3–15AlNnano, is of the dispersed-strengthened type: the matrix phase from a solid solution of variable composition from the composition (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0.4) and the dispersed, stochastically distributed within it, Cr2N inclusions the size of up to 2 µm that are alloyed with Al to 1.8 %. We have identified separate large inclusions the size of 10–40 μm of the structure, similar to the basic structure, but with the matrix phase of solid solution of the composition (Cr1-x–Alx)2О3 (0.5<x<0.9). The fracture toughness of the material, obtained in the course of research, is 1.5 times larger, while the hardness is 1.2 GPa less, than similar characteristics for the most common ceramics of the "mixed" type based on Al2O3–ТіС.Установлено влияние скорости нагревания 150, 350 и 600 °С/хв, давлений 8 и 18 МПа на процесс уплотнения реакционной смеси Cr2O3–15AlNнано, на твердость и трещиностойкость плотного материала. Интенсивность уплотнения шихты Cr2O3–15AlNнан зависит от величины давления и от скорости нагревания. Давление 18 МПа обеспечивает полное уплотнение смеси независимо от указанных скоростей нагревания, а давление 8 МПа обеспечивает полное уплотнение материала только при скорости нагревания 600 °С/мин. Для скорости нагревания 600 °С/мин. кривые уплотнения смеси для давлений 8 и 18 МПа близкие по форме. Установлено, что при скорости нагревания 600 °С/хв процесс уплотнения смеси, кроме давления, дополнительно активируется эффектом экзотермической реакции между ее компонентами. Повышение скорости с 150 до 600 °С нагревания позволяет увеличить твердость и трещиностойкость плотного материала соответственно на 1,0ГПа и 1,5МПа∙м1/2. Выявлено, что новообразованная в процессе ГП смеси Cr2O3–15AlNнано, структура плотного материала есть дисперсноупрчнненного типа: матричная фаза из твердого раствора переменного состава состава (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0,4) и дисперсных, стохастически распределенных в ней, включений Cr2N размером до 2 мкм, которые легированы до 1,8 % Al. Выявлены отдельные крупные включения размером 10-40мкм с аналогичным, как основная структура, строением, но с матричной фазой из твердого раствора состава (Cr1-x–Alx)2О3 (0,5<x<0,9). Трещиностойкость, полученного в процессе исследований материала в 1,5 больше, а твердость на 1,2 ГПа меньше аналогичных характеристик наиболее распространенной на сегодня керамики "смешанного" типа на основе Al2O3–ТіСВстановлено вплив швидкості нагрівання 150, 350 і 600 °С/хв, тисків 8 і 18 МПа на процес ущільнення реакційної суміші Cr2O3–15AlNнано, на твердість і тріщиностійкість щільного матеріалу. Інтенсивність ущільнення шихти Cr2O3–15AlN залежить від величини тиску і від швидкості нагрівання. Тиск 18 МПа забезпечує повне ущільнення суміші незалежно від вказаних швидкостей нагрівання, а тиск 8 МПа забезпечує повне ущільнення тільки при швидкості нагрівання 600 °С/хв. Для швидкості нагрівання 600 °С/хв. криві ущільнення суміші для тисків 8 і 18 МПа близькі за формою. Встановлено, що при швидкості нагрівання 600 °С/хв процес ущільнення суміші, крім тиску, додатково активується ефектом екзотермічної реакції між її компонентами. Підвищення швидкості з 150 до 600 °С нагрівання дозволяє збільшити твердість і тріщиностійкість щільного матеріалу відповідно на 1,0 ГПа і 1,5МПа∙м1/2. Виявлено, що новоутворена в процесі ГП суміші Cr2O3–15AlNнано структура щільного матеріалу є дисперснозміцненого типу: матрична із твердого розчину перемінного складу типу (Cr1-x–Alx)2О3 (0<x<0,4) і дисперсних стохастично розподілених в ній включень Cr2N розміром до 2 мкм, які леговані до 1,8 % Al. Виявлено окремі крупні включеннями розміром 10–40мкм з аналогічним, як основна структура, будовою, але з матричною фазою із твердого розчину (Cr1-x-Alx)2О3 (0,5<x<0,9). Тріщиностійкість, одержаного в процесі досліджень матеріалу, в 1,5 більша, а твердість на 1,2 ГПа менша за аналогічні характеристики найбільш поширеної на сьогодні кераміки «змішаного» типу на основі Al2O3–Ті

KRAS Gene Mutations and Gender Differences in Colorectal Cancer

The aim of this study was to investigate the frequency and spectrum of KRAS mutations in men and women with colorectal cancer (CRC), and an impact of KRAS-mutation status on the clinical and morphological features of CRC. The study included 303 patients (168/55.4% women and 135/44.6% men) with CRC T2-4N0-2M0-1. We defined 7 KRAS SNP-mutations (G12D, G12A, G12R, G12C, G12S, G12V and G13D) located within codons 12 and 13 using Bio-Rad real-time thermal cyclers CFX96 and Real-Time-PCR- KRAS-7M Kit. The frequency of KRAS mutations was 35.6% in the CRC patients with a predominant presence of G>A transitions. The KRAS codon 12 and 13 mutations are predictive of poor prognosis The KRAS-mutated CRC has clinical features in view of the gender differences. KRAS-mutation status is a promising predictive biomarker of personalized treatment

Визначення впливу ультрадисперсних домішок нітриду алюмінію на структуру і фізико-механічні властивості інструментальної кераміки

This paper considers features related to manufacturing the chromium oxide-based tool material. The process involved ultra-dispersed powders made of aluminum nitride. It has been established that the destruction of chromium oxide at high sintering temperatures is prevented through the reaction sintering of chromium oxide (Cr2O3) and aluminum nitride (AlN). It was established that the structure of the composite depends both on the temperature and the duration of hot pressing. Thermodynamic calculations of the interaction between Cr2O3 and AlN showed that this interaction begins at a temperature of 1,300 °C. In contrast to hot pressing in the air, no СrN and Сr2N compounds were formed in a vacuum. With increasing temperature, the content of Al2O3 in solid solution becomes maximum at a temperature of 1,700 °C in the case of hot pressing in the air while in vacuum the content of Al2O3 remains unchanged within the entire temperature range of 1,300–1,700 °C. When increasing the time of hot pressing to 30 minutes, the size of individual grains reaches 10 μm. It has been shown that in the sintering process involving Cr2O3 and AlN, the plasma-chemical synthesis produces the solid solution (Cr, Al)2O3 at the interphase boundary, which improves the mechanical properties of the material. The influence exerted on the quality of the machined surface of tempered hard steel when machining by the devised tool material based on chromium oxide with an optimal admixture of 15 wt % of ultra-dispersed aluminum nitride powder was investigated. It was determined that the quality of the machined hard steel surface improved compared to standard imported tool plates. It was established that the resulting tool material, in addition to relatively high strength and crack resistance, also demonstrates high thermal conductivity, which favorably affects the quality of the machined steel surface, given that lubricants and coolants are not used during the cutting process.Рассмотрены особенности получения инструментального материала на основе оксида хрома. При этом были использованы ультрадисперсные порошки из нитрида алюминия. Установлено, что деструкция оксида хрома при высоких температурах спекания предотвращается за счёт реакционного спекания оксида хрома (Cr2O3) и нитрида алюминия (AlN). Установлено, что структура композита зависит как от температуры, так и от времени горячего прессования. Термодинамические расчёты взаимодействия Cr2O3 с AlN показали, что взаимодействие между ними начинается при температуре 1300 °С. В отличие от горячего прессования на воздухе в вакууме соединения СrN и Сr2N не образуются. С повышением температуры содержание Al2O3 в твёрдом растворе становится максимальным при температуре 1700 °С при горячем прессовании на воздухе, в вакууме содержание Al2O3 остаётся неизменным во всём температурном диапазоне 1300–1700 °С. При увеличении времени горячего прессования до 30 мин размер отдельных зерен достигает 10 мкм. Показано, что в процессе спекания границ Cr2O3 и AlN путём плазмохимического синтеза на границах фаз образуется твёрдый раствор (Cr, Al)2O3, который повышает механические свойства материала. Исследовано влияние на качество обработанной поверхности твёрдой закаленной стали при обработке разработанным инструментальным материалом на основе оксида хрома с оптимальной примесью 15 мас. % ультрадисперсного порошка нитрида алюминия. Определено, что качество обработанной поверхности твёрдой стали улучшается в сравнении со стандартными импортными инструментальными пластинами. Установлено, что полученный инструментальный материал, кроме относительно высокой прочности и трещиностойкости, имеет также высокую теплопроводность, что благоприятно влияет на качество обработанной поверхности стали, учитывая, что в процессе резки не используются смазочно-охлаждающие жидкостиРозглянуто особливості отримання інструментального матеріалу на основі оксиду хрому. При цьому було використано ультрадисперсні порошки з нітриду алюмінію. Встановлено, що деструкція оксиду хрому при високих температурах спікання запобігається за рахунок реакційного спікання оксиду хрому (Cr2O3) та нітриду алюмінію (AlN). Встановлено, що структура композиту залежить як від температури, так і від часу гарячого пресування. Термодинамічні розрахунки взаємодії Cr2O3 з AlN показали, що взаємодія меж ними починається за температури 1300 °С. На відміну від гарячого пресування на повітрі, у вакуумі сполуки СrN та Сr2N не утворюються. З підвищенням температури вміст Al2O3 в твердому розчині стає максимальним за температури 1700 °С у разі гарячого пресування на повітрі, у вакуумі вміст Al2O3 залишається незмінним у всьому температурному діапазоні 1300–1700 °С. При збільшенні часу гарячого пресування до 30 хв, розмір окремих зерен досягає 10 мкм. Показано, що в процесі спікання меж Cr2O3 та AlN шляхом плазмохімічного синтезу на межах фаз утворюється твердий розчин (Cr, Al)2O3, який підвищує механічні властивості матеріалу. Досліджено вплив на якість обробленої поверхні загартованої твердої сталі при обробці розробленим інструментальним матеріалом на основі оксиду хрому з оптимальною домішкою 15 мас. % ультрадисперсного порошку нітриду алюмінію. Визначено, що якість обробленої поверхні твердої сталі покращується порівняно зі стандартними імпортними інструментальними пластинами. Встановлено, що отриманий інструментальний матеріал, крім відносно високої міцності і тріщиностійкості, має також високу теплопровідність, що сприятливо впливає на якість обробленої поверхні сталі, враховуючи що у процесі різання не використовуються мастильно-охолоджувальні рідин

Дослідження закономірностей отримання пористих структур з субмікронного порошку оксиду алюмінію і його сумішей

This paper proposes an economical thermal cycle of the production of ceramic articles from submicronic powders of aluminum oxide, titanium oxide, and manganese oxide. The implementation of a given cycle involves the introduction of a special aluminophosphate bond into the charge in order to reduce the temperature of firing. The optimal composition of the material for a foam-ceramic filter with the highest physical and mechanical properties has been determined; the optimal method for preparing the original charge and the baking mode have been selected.According to the results of tests under industrial conditions, the manufactured alumina filters became a decent alternative to known analogs used in aluminum metallurgy for the purification of liquid metal. The application and rational dosage of titanium dioxides, manganese, and aluminum aluminophosphate in porous ceramic compositions on an alumina base have made it possible to significantly reduce the time and, consequently, improve the productivity, of firing. The results obtained were evaluated by the level of maximum temperature in the cycle of heat treatment according to known technologies. Compared to those technologies, the developed technology ensures the growth of firing productivity when implementing the proposed solution by about 220 %.It was found that the high true density of ceramic powder requires large dispersion as the relatively large powder particles are significantly worse retained in foam films and settle.At medium (intermediate) temperatures, a large weight loss occurs at a heating rate of 10 °C/h. In this case, the decomposition progress changes in proportion to the heating speed. Changing the heating speed with temperature is the most effective technique for deparaffinization in the air. The heating time from the ambient temperature to 200 °C significantly decreases. At a certain temperature, prior to the thermal decomposition, the bond would transfer from a strongly viscous state to a liquid stateПредложен экономный  термический цикл производства керамических изделий из субмикронных порошков оксида алюминия, оксида титана и оксида марганца. Реализация данного цикла предполагает введение в шихту специальной алюмофосфатной связки с целью снижения температуры обжига. Установлен оптимальный состав материала для пенокерамического фильтра с наиболее высокими физико-механическими свойствами, подобран оптимальный метод подготовки исходной шихты и режим спекания.По результатам испытаний в условиях производства изготовленные алюмооксидные фильтры составили достойную альтернативу известным аналогам, которые используются в металлургии алюминия для очистки жидкого металла. Благодаря применению и рациональной дозировке диоксидов титана, марганца и алюмофосфата алюминия в пористых керамических композициях на алюмооксидной основе удалось значительно сократить время и, соответственно, повысить производительность обжига. Полученные результаты оценивались по уровню максимальной температуры в цикле термообработки известных технологий. В сравнении с этими технологиями разработанная технология обеспечивает рост производительности обжига при реализации предлагаемого решения примерно на 220 %.Установлено, что большая истинная плотность керамического порошка требует большой дисперсности, так как относительно более крупные частицы порошка существенно хуже удерживаются в плёнках пены и оседают.При средних (промежуточных) температурах большая потеря веса происходит при скорости нагревания 10 °С/ч. При этом ход разложения изменяется со скоростью нагрева. Изменение скорости нагрева с температурой является наиболее эффективным средством депарафинизации в воздухе. Заметно уменьшается время нагрева от температуры окружающей среды до 200 °С. При определённой температуре перед термическим разложением связка будет переходить из сильно вязкого состояния в достаточно жидкоеЗапропоновано економний термічний цикл виробництва керамічних виробів з субмікронних порошків оксиду алюмінію, оксиду титану і оксиду марганцю. Реалізація даного циклу передбачає введення в шихту спеціальної алюмофосфатної зв’язки з метою зниження температури випалу. Встановлено оптимальний склад матеріалу для пінокерамічного фільтра з найбільш високими фізико-механічними властивостями, підібрано оптимальний  метод підготовки вихідної шихти і режим спікання.За результатами випробувань в умовах виробництва виготовлені алюмооксидні фільтри склали гідну альтернативу відомим аналогам, які використовуються в металургії алюмінію для очищення рідкого металу. Завдяки застосуванню і раціональному дозуванню діоксидів титану, марганцю і алюмофосфату алюмінію в пористих керамічних композиціях на алюмооксидній основі вдалося значно скоротити час і, відповідно, підвищити продуктивність випалу. Отримані результати оцінювалися за рівнем максимальної температури в циклі термообробки відомих технологій. У порівнянні з цими технологіями розроблена технологія забезпечує зростання продуктивності випалу при реалізації пропонованого рішення приблизно на 220 %.Встановлено, що велика справжня щільність керамічного порошку вимагає великої дисперсності, так як відносно більші частки порошку істотно гірше утримуються в плівках піни і осідають.При середніх (проміжних) температурах велика втрата ваги відбувається при швидкості нагрівання 10 °С/год. При цьому хід розкладання змінюється зі швидкістю нагріву. Зміна швидкості нагріву з температурою є найбільш ефективним засобом депарафінізації в повітрі. Помітно зменшується час нагріву від температури навколишнього середовища до 200 °С. При певній температурі перед термічним розкладанням зв’язка буде переходити з сильно в’язкого стану в досить рідки

Geometric Approach to the Proof of Fermat's Last Theorem

A geometric approach to the proof of Fermat's last theorem is proposed. Instead of integers a, b, c, Fermat's last theorem considers a triangle with side lengths a, b, c. It is proved that in the case of right-angled and obtuse-angled triangles Fermat's equation has no solutions. When considering the case when a, b, c are sides of an acute triangle, it is proved that Fermat's equation has no entire solutions for p>2. The numbers a=k, b=k+m, c=k+n, where k, m, n are natural numbers satisfying the inequalities n>m, n<k+m, exhaust all possible variants of natural numbers a, b, c which are the sides of the triangle. The proof in this case is carried out by introducing a new auxiliary function f(k,p)=kp+(k+m)p–(k+n)p of two variables, which is a polynomial of degree in the variable . The study of this function necessary for the proof of the theorem is carried out. A special case of Fermat's last theorem is proved, when the variables a, b, c take consecutive integer values. The proof of Fermat's last theorem was carried out in two stages. Namely, all possible values of natural numbers k, m, n, p were considered, satisfying the following conditions: firstly, the number (np–mp) is odd, and secondly, this number is even, where the number (np–mp) is a free member of the function f(k, p). Another proof of Fermat's last theorem is proposed, in which all possible relationships between the supposed integer solution of the equation f(k, p)=0 and the number corresponding to this supposed solution  are considered. The proof is carried out using the mathematical apparatus of the theory of integers, elements of higher algebra and the foundations of mathematical analysis. These studies are a continuation of the author's works, in which some special cases of Fermat's last theorem are prove

Examination of Patterns in Obtaining Porous Structures From Submicron Aluminum Oxide Powder and Its Mixtures

This paper proposes an economical thermal cycle of the production of ceramic articles from submicronic powders of aluminum oxide, titanium oxide, and manganese oxide. The implementation of a given cycle involves the introduction of a special aluminophosphate bond into the charge in order to reduce the temperature of firing. The optimal composition of the material for a foam-ceramic filter with the highest physical and mechanical properties has been determined; the optimal method for preparing the original charge and the baking mode have been selected.According to the results of tests under industrial conditions, the manufactured alumina filters became a decent alternative to known analogs used in aluminum metallurgy for the purification of liquid metal. The application and rational dosage of titanium dioxides, manganese, and aluminum aluminophosphate in porous ceramic compositions on an alumina base have made it possible to significantly reduce the time and, consequently, improve the productivity, of firing. The results obtained were evaluated by the level of maximum temperature in the cycle of heat treatment according to known technologies. Compared to those technologies, the developed technology ensures the growth of firing productivity when implementing the proposed solution by about 220 %.It was found that the high true density of ceramic powder requires large dispersion as the relatively large powder particles are significantly worse retained in foam films and settle.At medium (intermediate) temperatures, a large weight loss occurs at a heating rate of 10 °C/h. In this case, the decomposition progress changes in proportion to the heating speed. Changing the heating speed with temperature is the most effective technique for deparaffinization in the air. The heating time from the ambient temperature to 200 °C significantly decreases. At a certain temperature, prior to the thermal decomposition, the bond would transfer from a strongly viscous state to a liquid stat