Lexicographic Optimal Homologous Chains and Applications to Point Cloud Triangulations

This paper considers a particular case of the Optimal Homologous Chain Problem (OHCP) for integer modulo 2 coefficients, where optimality is meant as a minimal lexicographic order on chains induced by a total order on simplices. The matrix reduction algorithm used for persistent homology is used to derive polynomial algorithms solving this problem instance, whereas OHCP is NP-hard in the general case. The complexity is further improved to a quasilinear algorithm by leveraging a dual graph minimum cut formulation when the simplicial complex is a pseudomanifold. We then show how this particular instance of the problem is relevant, by providing an application in the context of point cloud triangulation

Regular triangulations as lexicographic optimal chains

We introduce a total order on n-simplices in the n-Euclidean space for which the support of the lexicographic-minimal chain with the convex hull boundary as boundary constraint is precisely the n-dimensional Delaunay triangulation, or in a more general setting, the regular triangulation of a set of weighted points. This new characterization of regular and Delaunay triangulations is motivated by its possible generalization to submanifold triangulations as well as the recent development of polynomial-time triangulation algorithms taking advantage of this order

Lexicographic optimal homologous chains and applications to point cloud triangulations

This paper considers a particular case of the Optimal Homologous Chain Problem (OHCP), where optimality is meant as a minimal lexicographic order on chains induced by a total order on simplices. The matrix reduction algorithm used for persistent homology is used to derive polynomial algorithms solving this problem instance, whereas OHCP is NP-hard in the general case. The complexity is further improved to a quasilinear algorithm by leveraging a dual graph minimum cut formulation when the simplicial complex is a strongly connected pseudomanifold. We then show how this particular instance of the problem is relevant, by providing an application in the context of point cloud triangulation

Regular triangulations as lexicographic optimal chains

We introduce a total order on n-simplices in the n-Euclidean space for which the support of the lexicographic-minimal chain with the convex hull boundary as boundary constraint is precisely the n-dimensional Delaunay triangulation, or in a more general setting, the regular triangulation of a set of weighted points. This new characterization of regular and Delaunay triangulations is motivated by its possible generalization to submanifold triangulations as well as the recent development of polynomial-time triangulation algorithms taking advantage of this order

Simplification of 2D Polygonal Partitions via Point‐line Projective Duality, and Application to Urban Reconstruction

International audienceWe address the problem of simplifying two-dimensional polygonal partitions that exhibit strong regularities. Such partitions are relevant for reconstructing urban scenes in a concise way. Preserving long linear structures spanning several partition cells motivates a point-line projective duality approach in which points represent line intersections, and lines possibly carry multiple points. We propose a simplification algorithm that seeks a balance between the fidelity to the input partition, the enforcement of canonical relationships between lines (orthogonality or parallelism) and a low complexity output. Our methodology alternates continuous optimization by Riemannian gradient descent with combinatorial reduction, resulting in a progressive simplification scheme. Our experiments show that preserving canonical relationships helps gracefully degrade partitions of urban scenes, and yields more concise and regularity-preserving meshes than common mesh-based simplification approaches

Simplification planimétrique et chaînes lexicographiques pour la reconstruction 3D de scènes urbaines

Creating mesh representations for urban scenes is a requirement for numerous modern applications of urban planning ranging from visualization, inspection, to simulation. Adding to the diversity of possible input data -- photography, laser-based acquisitions and existing geographical information system (GIS) data, the variety of urban scenes as well as the large-scale nature of the problem makes for a challenging line of research. Working towards an automatic approach to this problem suggests that a one-fits-all method is hardly realistic. Two independent approaches of reconstruction from point clouds have thus been investigated in this work, with radically different points of view intended to cover a large number of use cases. In the spirit of the GIS community, the first approach makes strong assumptions on the reconstructed scenes and creates a 2.5D piecewise-planar representation of buildings using an intermediate 2D cell decomposition. Constructing these decompositions from noisy or incomplete data often leads to overly complex representations, which lack the simplicity or regularity expected in this context of reconstruction. Loosely inspired by clustering problems such as mean-shift, the focus is put on simplifying such partitions by formulating an optimization process based on a tradeoff between attachment to the original partition and objectives striving to simplify and regularize the arrangement. This method involves working with point-line duality, defining local metrics for line movements and optimizing using Riemannian gradient descent. The second approach is intended to be used in contexts where the strong assumptions on the representation of the first approach do not hold. We strive here to be as general as possible and investigate the problem of point cloud meshing in the context of noisy or incomplete data. By considering a specific minimization, corresponding to lexicographic orderings on simplicial chains, polynomial-time algorithms finding lexicographic optimal chains, homologous to a given chain or bounded by a given chain, are derived from algorithms for the computation of simplicial persistent homology. For pseudomanifold complexes in codimension 1, leveraging duality and an augmented version of the disjoint-set data structure improves the complexity of these problem instances to quasi-linear time algorithms. By combining its uses with a sharp feature detector in the point cloud, we illustrate different use cases in the context of urban reconstruction.La représentation par maillages surfaciques de scènes urbaines est devenue un prérequis à de nombreuses applications de planification urbaine, comme la visualisation, l'inspection ou encore la simulation. La diversité des données souvent massives, sous forme de photographies aériennes, d'acquisitions laser ou issues de systèmes d'information géographique (SIG) ainsi que la variété des scènes urbaines en font une ligne de recherche ambitieuse. Aussi, une méthode unique et automatique ne pourra réalistiquement pas satisfaire l'intégralité des domaines d'application. Dans ce contexte, deux méthodes indépendantes sont étudiées dans ce travail, avec des points de vues radicalement différents afin de couvrir un large spectre de cas d'utilisation. Proche des méthodes traditionnelles en SIG, la première approche adopte des hypothèses fortes sur les scènes à reconstruire, en représentant les bâtiments par extrusion d'une partition cellulaire 2-dimensionnelle. La construction de ces partitions, à partir de données bruitées ou incomplètes, conduit à des représentations souvent trop complexes comparées aux attentes de simplicité et régularité pour ce genre de maillage. Inspirée des méthodes de partitionnement comme le {\em mean shift}, l'attention des travaux est portée sur la simplification de ces partitions grâce à une méthode d'optimisation formulée comme un compromis entre la fidélité à la partition d'origine et des objectifs encourageant la simplicité et régularité de l'arrangement. Cette méthode emploie la dualité point-ligne, définit des métriques locales associées aux lignes de l'arrangement, et décrit une optimisation basée sur une descente de gradient dans un cadre de géométrie riemannienne. La seconde approche est adaptée aux contextes où les hypothèses de régularité de la première ne s'appliquent pas. L'accent est alors porté sur la conception d'une méthode la plus générale possible, afin de pouvoir obtenir un maillage à partir de données bruitées ou incomplètes. En considérant une optimisation particulière, correspondant à un ordre lexicographique sur les chaines simpliciales, des algorithmes de complexité en temps polynomial, proches de ceux développés pour le calcul de l'homologie simpliciale persistante, permettent d'obtenir des chaînes minimales au sens lexicographique. Dans le cas de pseudo-variétés, la dualité ainsi que des structures de données efficaces permettent d'obtenir des versions en temps quasi-linéaires de ces algorithmes. Leur utilisation est enfin illustrée par plusieurs applications dans le contexte de la reconstruction urbaine

Planimetric simplification and lexicographic optimal chains for 3D urban scene reconstruction

La représentation par maillages surfaciques de scènes urbaines est devenue un prérequis à de nombreuses applications de planification urbaine, comme la visualisation, l'inspection ou encore la simulation. La diversité des données souvent massives, sous forme de photographies aériennes, d'acquisitions laser ou issues de systèmes d'information géographique (SIG) ainsi que la variété des scènes urbaines en font une ligne de recherche ambitieuse. Aussi, une méthode unique et automatique ne pourra réalistiquement pas satisfaire l'intégralité des domaines d'application. Dans ce contexte, deux méthodes indépendantes sont étudiées dans ce travail, avec des points de vues radicalement différents afin de couvrir un large spectre de cas d'utilisation. Proche des méthodes traditionnelles en SIG, la première approche adopte des hypothèses fortes sur les scènes à reconstruire, en représentant les bâtiments par extrusion d'une partition cellulaire 2-dimensionnelle. La construction de ces partitions, à partir de données bruitées ou incomplètes, conduit à des représentations souvent trop complexes comparées aux attentes de simplicité et régularité pour ce genre de maillage. Inspirée des méthodes de partitionnement comme le {\em mean shift}, l'attention des travaux est portée sur la simplification de ces partitions grâce à une méthode d'optimisation formulée comme un compromis entre la fidélité à la partition d'origine et des objectifs encourageant la simplicité et régularité de l'arrangement. Cette méthode emploie la dualité point-ligne, définit des métriques locales associées aux lignes de l'arrangement, et décrit une optimisation basée sur une descente de gradient dans un cadre de géométrie riemannienne. La seconde approche est adaptée aux contextes où les hypothèses de régularité de la première ne s'appliquent pas. L'accent est alors porté sur la conception d'une méthode la plus générale possible, afin de pouvoir obtenir un maillage à partir de données bruitées ou incomplètes. En considérant une optimisation particulière, correspondant à un ordre lexicographique sur les chaines simpliciales, des algorithmes de complexité en temps polynomial, proches de ceux développés pour le calcul de l'homologie simpliciale persistante, permettent d'obtenir des chaînes minimales au sens lexicographique. Dans le cas de pseudo-variétés, la dualité ainsi que des structures de données efficaces permettent d'obtenir des versions en temps quasi-linéaires de ces algorithmes. Leur utilisation est enfin illustrée par plusieurs applications dans le contexte de la reconstruction urbaine.Creating mesh representations for urban scenes is a requirement for numerous modern applications of urban planning ranging from visualization, inspection, to simulation. Adding to the diversity of possible input data -- photography, laser-based acquisitions and existing geographical information system (GIS) data, the variety of urban scenes as well as the large-scale nature of the problem makes for a challenging line of research. Working towards an automatic approach to this problem suggests that a one-fits-all method is hardly realistic. Two independent approaches of reconstruction from point clouds have thus been investigated in this work, with radically different points of view intended to cover a large number of use cases. In the spirit of the GIS community, the first approach makes strong assumptions on the reconstructed scenes and creates a 2.5D piecewise-planar representation of buildings using an intermediate 2D cell decomposition. Constructing these decompositions from noisy or incomplete data often leads to overly complex representations, which lack the simplicity or regularity expected in this context of reconstruction. Loosely inspired by clustering problems such as mean-shift, the focus is put on simplifying such partitions by formulating an optimization process based on a tradeoff between attachment to the original partition and objectives striving to simplify and regularize the arrangement. This method involves working with point-line duality, defining local metrics for line movements and optimizing using Riemannian gradient descent. The second approach is intended to be used in contexts where the strong assumptions on the representation of the first approach do not hold. We strive here to be as general as possible and investigate the problem of point cloud meshing in the context of noisy or incomplete data. By considering a specific minimization, corresponding to lexicographic orderings on simplicial chains, polynomial-time algorithms finding lexicographic optimal chains, homologous to a given chain or bounded by a given chain, are derived from algorithms for the computation of simplicial persistent homology. For pseudomanifold complexes in codimension 1, leveraging duality and an augmented version of the disjoint-set data structure improves the complexity of these problem instances to quasi-linear time algorithms. By combining its uses with a sharp feature detector in the point cloud, we illustrate different use cases in the context of urban reconstruction

Simplification planimétrique et chaînes lexicographiques pour la reconstruction 3D de scènes urbaines

Creating mesh representations for urban scenes is a requirement for numerous modern applications of urban planning ranging from visualization, inspection, to simulation. Adding to the diversity of possible input data -- photography, laser-based acquisitions and existing geographical information system (GIS) data, the variety of urban scenes as well as the large-scale nature of the problem makes for a challenging line of research. Working towards an automatic approach to this problem suggests that a one-fits-all method is hardly realistic. Two independent approaches of reconstruction from point clouds have thus been investigated in this work, with radically different points of view intended to cover a large number of use cases. In the spirit of the GIS community, the first approach makes strong assumptions on the reconstructed scenes and creates a 2.5D piecewise-planar representation of buildings using an intermediate 2D cell decomposition. Constructing these decompositions from noisy or incomplete data often leads to overly complex representations, which lack the simplicity or regularity expected in this context of reconstruction. Loosely inspired by clustering problems such as mean-shift, the focus is put on simplifying such partitions by formulating an optimization process based on a tradeoff between attachment to the original partition and objectives striving to simplify and regularize the arrangement. This method involves working with point-line duality, defining local metrics for line movements and optimizing using Riemannian gradient descent. The second approach is intended to be used in contexts where the strong assumptions on the representation of the first approach do not hold. We strive here to be as general as possible and investigate the problem of point cloud meshing in the context of noisy or incomplete data. By considering a specific minimization, corresponding to lexicographic orderings on simplicial chains, polynomial-time algorithms finding lexicographic optimal chains, homologous to a given chain or bounded by a given chain, are derived from algorithms for the computation of simplicial persistent homology. For pseudomanifold complexes in codimension 1, leveraging duality and an augmented version of the disjoint-set data structure improves the complexity of these problem instances to quasi-linear time algorithms. By combining its uses with a sharp feature detector in the point cloud, we illustrate different use cases in the context of urban reconstruction.La représentation par maillages surfaciques de scènes urbaines est devenue un prérequis à de nombreuses applications de planification urbaine, comme la visualisation, l'inspection ou encore la simulation. La diversité des données souvent massives, sous forme de photographies aériennes, d'acquisitions laser ou issues de systèmes d'information géographique (SIG) ainsi que la variété des scènes urbaines en font une ligne de recherche ambitieuse. Aussi, une méthode unique et automatique ne pourra réalistiquement pas satisfaire l'intégralité des domaines d'application. Dans ce contexte, deux méthodes indépendantes sont étudiées dans ce travail, avec des points de vues radicalement différents afin de couvrir un large spectre de cas d'utilisation. Proche des méthodes traditionnelles en SIG, la première approche adopte des hypothèses fortes sur les scènes à reconstruire, en représentant les bâtiments par extrusion d'une partition cellulaire 2-dimensionnelle. La construction de ces partitions, à partir de données bruitées ou incomplètes, conduit à des représentations souvent trop complexes comparées aux attentes de simplicité et régularité pour ce genre de maillage. Inspirée des méthodes de partitionnement comme le {\em mean shift}, l'attention des travaux est portée sur la simplification de ces partitions grâce à une méthode d'optimisation formulée comme un compromis entre la fidélité à la partition d'origine et des objectifs encourageant la simplicité et régularité de l'arrangement. Cette méthode emploie la dualité point-ligne, définit des métriques locales associées aux lignes de l'arrangement, et décrit une optimisation basée sur une descente de gradient dans un cadre de géométrie riemannienne. La seconde approche est adaptée aux contextes où les hypothèses de régularité de la première ne s'appliquent pas. L'accent est alors porté sur la conception d'une méthode la plus générale possible, afin de pouvoir obtenir un maillage à partir de données bruitées ou incomplètes. En considérant une optimisation particulière, correspondant à un ordre lexicographique sur les chaines simpliciales, des algorithmes de complexité en temps polynomial, proches de ceux développés pour le calcul de l'homologie simpliciale persistante, permettent d'obtenir des chaînes minimales au sens lexicographique. Dans le cas de pseudo-variétés, la dualité ainsi que des structures de données efficaces permettent d'obtenir des versions en temps quasi-linéaires de ces algorithmes. Leur utilisation est enfin illustrée par plusieurs applications dans le contexte de la reconstruction urbaine