Conditions of brittle fracture initiation in solids containing thin elastic inclusions

Досліджено три основні механізми зародження руйнування в тілах із тонкими концентраторами напружень: безпосередньо в тілі, на межі поділу матеріалів та у самому включенні. При дослідженні руйнування тіла поблизу включення проаналізовано застосування критеріїв на основі силових функцій, J-інтеграла, густини енергії деформації. Також побудовано співвідношення, що оцінюють сумарну енергію деформації в зоні інтенсивності напружень поблизу вістря дефекту. При дослідженні руйнування межі включення–тіло побудовано залежності, що пов’язують узагальнені коефіцієнти інтенсивності напружень із максимальними значеннями контактних напружень у вершині заокругленого тонкого дефекту. Руйнування включення пов’язане із досягненням напруженнями чи деформаціями у ньому своїх критичних значень. Усі випадки проілюстровано числовими розрахунками конкретних прикладів.This paper studies three main fracture initiation mechanisms in solids with thin stress concentrators: directly in the solid; on the solid-inclusion interface and inside the inclusion. For studying of fracture of solid near inclusion it provides the analysis of fracture criterions based on the force functions, J-integral, strain energy density. Also the equation, which accounts the total strain energy in the stress intensity zone near the defect’s tip, is received. For studying of fracture of inclusion-matrix interface the relations of stress concentration and generalized stress intensity factors are obtained. Inclusion’s fracture is related with the critical values of its internal strain or stress. The numerical analysis of certain problems is provided

Integral equations of plane magnetoelectroelasticity for a half-space with cracks and thin inclusions

На основі формалізму Стро та методів теорії функції комплексної змінної побудовано інтегральні рівняння для магнітоелектропружного півпростору з отворами, тріщинами і тонкими включеннями. У цих рівняннях поряд з існуючими додатково враховано задане на межі півпростору навантаження. На основі отриманих інтегральних співвідношень побудовано схему методу граничних елементів для вивчення магнітоелектропружних півпросторів із тонкими неоднорідностями. Ефективність та достовірність числового алгоритму підтверджено зіставленням розв’язків конкретних задач із відомими в літературі. Отримано розв’язки нових задач для тріщин і тонких включень у магнітоелектропружному півпросторі.This paper presents a novel approach for obtaining the boundary integral equations of magnetoelectroelasticity for a half-space. This approach is based on the complex variable technique and the Stroh formalism. There are two fundamental relations used: the Cauchy integral formula and the Stroh orthogonality relations. The Cauchy integral formula is applied to the Stroh complex functions, which define the solution of 2D magnetoelectroelasticity. The boundary conditions at the boundary of the half-space are accounted for to obtain the integral formula for the Stroh complex functions inside the half-space. The Stroh orthogonality relations allow obtaining a useful identity, relating the vector of the Stroh complex functions with the displacement, electric and magnetic potentials and tractions, electric displacement and magnetic induction. This relation is applied to the integral formulae obtained and the Somigliana type identities are derived for a magnetoelectroelastic half-space. Using the Sokhotski–Plemelj formula the dual boundary integral equations are obtained. Derived boundary integral equations have several advantages in comparison with the existing ones: (1) these equations are obtained straightforward using a solid elegant complex variable approach; (2) the kernels are derived in transparent and easy way without any preliminary assumptions; (3) the integral formulae obtained account for the load set at the boundary of a half-space; (4) there are explicit closed-form expressions for all kernels of the dual boundary integral equations, which contain only the constants of the Stroh formalism. Obtained boundary integral equations along with the previously developed model of a thin magnetoelectroelastic inclusion are incorporated into the boundary element method. The approach is verified by comparison of the obtained results of particular problems with those referenced in literature. New results are presented for cracks and thin inclusions in the magnetoelectroelastic half-space. It is shown that even under the only mechanical load the significant intensity of electric and magnetic fields is present at the tips of inhomogeneity, which is close to the boundary of the half-space

Regular arrays of thin inhomogeneities in the anisotropic solid

Побудовано крайові інтегральні рівняння та відповідну схему методу граничних елементів для розв’язування плоских задач теорії пружності тіл із подвійно періодичними системами тріщин і тонких неоднорідностей. Отримано інтегральні подання для середніх напружень та деформацій, що дають можливість визначати ефективні механічні характеристики тіл із подвійно періодичними системами тонких включень. Наведено числові приклади аналізу узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень та ефективних характеристик композитних матеріалів із тонкими пружними включеннями.This paper develops boundary integral equations and the boundary element method for a solution of 2D problems of anisotropic elasticity for doubly periodic arrays of cracks or thin inhomogeneities. The integral representations of mean stress and strain are obtained, which allow determination of effective properties of solids with doubly periodic arrays of thin inhomogeneities. The numerical examples are presented for generalized stress intensity factors and effective properties of composite materials with thin elastic inclusions

Plane problem of elasticity for an anisotropic solid containing a thin branched elastic inclusion

Запропоновано підхід для моделювання тонких гіллястих включень за допомогою методу граничних елементів. Записано умови контакту нерозгалужених ланок для випадків жорсткого та шарнірного їх поєднання. Числово розглянуто випадки хрестоподібного та двотаврового включень в ізотропному та анізотропному середовищах. Обчислено коефіцієнти інтенсивності напружень поблизу кінців включень та внутрішні зусилля в характерних точках неоднорідностей.This paper presents a novel approach for modeling of thin branched inclusions based on the boundary element method. Contact conditions are developed for rigid or hinge joints of the chains of inclusions. The numerical analysis is provided for a cross-like and I-beam profile inclusions. The stress intensity factors along with the internal forces at the characteristic points of the inhomogeneities are evaluated

Boundary element analysis of anisotropic thermoelastic half-space containing thin deformable inclusions

За допомогою розширеного формалізму Стро й теорії функції комплексної змінної побудовано інтегральні рівняння типу Сомільяни плоскої задачі термопружності для анізотропного півпростору, що містить отвори, тріщини та тонкі жорсткі та деформівні включення. Ядра записаних інтегральних подань враховують усі можливі комбінації однорідних механічних і теплових крайових умов на межі півпростору. Отримані інтегральні рівняння введено у схему модифікованого методу граничних елементів. Здійснено числовий аналіз впливу межі півпростору на інтенсивність напружень в околі торців тонких неоднорідностей.The paper studies the influence of boundary effects on the stress intensity factors at the tips of thin inclusions in an anisotropic thermoelastic half-space. It utilizes the extended Stroh formalism, which allows writing the general solution of thermoelastic problems in terms of certain analytic functions. Applying the complex variable calculus, in particular, Cauchy integral formula and Sokhotski-Plemelj formula the Somigliana type identities and boundary integral equations are derived for a thermoelastic anisotropic half-space. For modeling of solids with thin inhomogeneities, a coupling principle for continua of different dimension and the method of averaging of the physical and mechanical parameters over the thickness of the inclusion are used. Derived dual integral equations along with the models of thin thermoelastic inclusions, which are written as certain functional dependences of discontinuity functions, allow solving problems of a plane thermoelasticity for anisotropic half-space with holes, cracks and thin inclusions. The absence of the integrals over infinite path in the obtained integral relations allows to apply the boundary element method for solving of the derived integral equations of the plane problem of thermoelasticity for a half-space with thin deformable inhomogeneities. Despite the fact that the boundary conditions on the boundary of a half-space in general have both mechanical and thermal components (the surface of a half-space with zero displacements, traction-free half-space, the surface of half-space maintained at zero temperature or thermally insulated half-space), the paper presents the kernels of integral equations in a closed form for each of the four abovementioned boundary value problems. All obtained integral equations are introduced into the modified boundary element method procedure. Based on the numerical calculations held the influence of boundary effects in the half-space on the stress intensity at the tips of the inclusion is studied

Longitudinal shear of anisotropic solids containing singly periodic sets of thin inhomogeneities of unequal size and orientation

Задачу поздовжнього зсуву анізотропних тіл із лінійно періодичними системами тонких включень зведено до системи крайових сингулярних інтегральних рівнянь. Числовий розв’язок останньої отримано за допомогою модифікованого методу граничних елементів. Розглянуто приклади антиплоскої деформації анізотропного тіла з двома та трьома стовпчиками паралельних дефектів. Досліджено вплив довжини, кута нахилу до осі та періоду розміщень включень, що формують періодичну структуру на значення коефіцієнтів інтенсивності напружень. Порівнянням із даними окремих аналітичних розв’язків для тріщин і абсолютно жорстких включень підтверджено достовірність отриманих результатів. Також здійснено розрахунки напружено-деформованого стану тіла та значень коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі вершин тонких неоднорідностей у разі зміни міри анізотропії (ортотропії) матеріалу.It is known, that artificial introduction of some sort of inhomogeneities (inclusions of different rigidity, overlays, etc.) into a homogeneous material can dramatically change and improve its physical and mechanical properties. However, due to induction of high stress concentration there is also a danger of premature fracture. In view of this, the design and analysis of such inhomogeneous materials is closely related to the problems of studying of the stress-strain state of solids with isolated inclusions or their systems, including regularly placed inhomogeneities. For example, using singly or doubly periodic sets of thin inhomogeneities one can model composite materials and layered rocks. Applying the coupling principle for continua of different dimension and Somigliana identity for displacements in a solid with a cut under the antiplane deformation the general integral equations for a problem of a solid with a system of cuts have been obtained. Using the direct summation of kernels the system of singular integral equations for a solid with a singly periodic set of thin inhomogeneities was obtained. Numerical solution of the latter is obtained using the modified boundary element method. The paper presents numerical calculations of the problems of antiplane shear of a solid with two or three columns of parallel defects of the type of a crack (very soft inclusion) or a rigid line inclusion. It is observed that in the case of rapprochement of columns of inhomogeneities the generalized stress intensity factors (SIF) increase. On the contrary for a constant distance between the columns, the decrease in the period vector causes the decrease in SIF of cracks, which can be explained by the shielding effect. For a solid containing three columns of rigid line inclusions the increase (decrease) in length of central inclusions causes the increase (decrease) in generalized SIF of the latter. The analysis of influence of length, inclination angle, and the period vector on the stress intensity factors of singly periodic inclusions is carried out. Besides, the paper studies the influence of mechanical properties of a solid, in particular its anisotropy (orthotropy), on generalized SIF. The numerical analysis is carried out for different measures of anisotropy and corresponding plots are presented. The validity of the obtained results is confirmed by the solution of particular examples for singly periodic cracks and rigid line inclusions in isotropic medium. Obtained results can be used in the analysis of reinforced composite materials, periodic sets of defects in rocks, regular systems of defects of structural elements made of anisotropic materials

Stress concentration and effective mechanical properties of plates with doubly periodic systems of enforced holes

Використовуючи модифікацію методу граничних елементів, розглянуто подвійно періодичні системи отворів довільної форми із тонкими замкненими та розімкненими накладками. Обчислено концентрацію напружень та ефективні механічні характеристики таких композицій для різних відстаней між круговими отворами, відносних жорсткостей накладки та характеристик анізотропії матеріалу матриці.Modern high-tech devices and machines are designed using mainly composite materials, since the latter are lightweight and provide desired rigidity and durability. A lot of attention is paid to the usage of perforated plates, in which edges of the holes are enforced by thin overlays. Therefore, this study is concerned with the analysis of doubly periodic sets of enforced holes. Based on the previously developed boundary element technique for doubly periodic problems and models of thin overlays, the efficient approach is developed for studying effective properties and stress concentration in perforated plates with enforced holes. The enforcements can be both closed and opened. First an infinite plate with doubly periodic fully enforced holes is considered. With the increase of the relative rigidity of an overlay, effective elastic moduli of the perforated plate expectedly increase. The smaller is the distance between holes the higher is the increase in effective elastic moduli. It is clear, that in the case of holes without enforcement (or an overlay of a very small rigidity) the closer are the holes, the lower are effective properties of the plate. For an anisotropic plate with holes the increase in rigidity of isotropic overlays gives different change in elastic moduli in different directions. The growth of the effective modulus in a direction perpendicular to fibers is the highest. The thinner is an overlay the more evident is an influence of its bending not only on the effective properties of the composite, but also on the maximal Mises stress in it. In particular, local maxima of Mises stress increases with the decrease of the thickness of enforcements. With the increase in the relative rigidity of overlays the longitudinal force and bending moment in each overlay also increase. The higher is the distance between holes the higher are the force and bending moment. This behavior should be accounted for during the design of perforated composite plates. Also the plate with a doubly periodic set of holes with a square lattice is considered. The edge of each hole is conditionally divided into six symmetric and identical parts, three of which are enforced with overlays. For the considered geometrical configuration of the opened reinforcements one of the effective moduli practically does not change with an increase in the rigidity of overlays. At the same time this increase significantly influences another elastic modulus and also effective shear modulus. This behavior is explained by the fact that selected arrangement of overlays “works” for tension/compression in one direction better than in other. Therefore, the usage of opened overlays allows changing effective properties of the perforated plate in the given direction, thus, establishing the desired anisotropy of the material. The numerical data obtained using proposed boundary element approach was verified by the commercial finite element software. Relative deviation of both approaches did not exceed 3 %. However, the advantages of the proposed approach are obvious, since it requires only boundary mesh, and no periodic boundary conditions are required to imposed, as they are already incorporated in the boundary integral equations used

Elasto-plastic problem for a finite plate with soft elliptic inclusion

Розглянуто пружно-пластичну задачу для обмеженої пластинки із м’яким еліптичним включенням. Визначення напруженого стану проведено за допомогою методів граничних елементів та змінних параметрів. Досліджено напружено-деформований стан пластинок залежно від розміщення включення та прикладеного навантаження з урахуванням зміцнення матеріалу.Experimentally it is found that most of the materials are more or less macroscopically inhomogeneous. In particular, structural elements contain many inclusions, which can induce crack initiation. When the stress is sufficient to deform permanently the material of a solid or an inclusion, elasto-plastic deformations should be also accounted for, because plastic deformation involves the breaking of a limited number of atomic bonds by the movement of dislocations. Thus, determination of the elasto-plastic state in the vicinity of inclusion tips is essential in the study of the plate-like structural elements strength. Similar studies were provided mainly for the truly elastic case, or for the infinite plates. However, in practice the size of inclusions are often comparable with the size of the structural element. This significantly influences stress field and stress concentration inside the inclusion and near it. This type of problems can be solved numerically; however, for complex geometry it will require high computational performance and large amount of time. On the other hand, the solution of elasto-plastic problem for a soft inclusion in the infinite plate is quite simple and is easy-to-use in the engineering applications. Therefore, it is of considerable interest to test whether the latter can be applied to the calculation of finite plates with inclusions. This paper provides the analysis of elasto-plastic state of a soft inclusion embed into a finite square plate and the stress/strain field of inclusion and a plate using the boundary element method combined with the method of variable elastic parameters. In this approach, the problem of elastic-plastic deformation of the inclusion is reduced to the solution of the sequence of linear algebraic equations for Mises stress inside the inclusion, which is obtained based on the boundary element method, in which the kernels are related to that Mises stress by constitutive relations of the method of variable elastic parameters. Based on the obtained numerical solution the elastic-plastic state of plates with inclusions of different size and placement is analyzed. Stress/strain state of the plate is studied depending on the position of inclusion and the applied load. Material hardening is accounted for. Obtained results are compared with the solutions for infinite plates under the same input data. It is found that for the inclusion, which dimensions are two or more times smaller than that of a plate, the divergence of the numerical results and the closed-form solution for infinite plate does not exceed 1%, which is quite acceptable for engineering calculations. Critical load and orientation of the inclusion are studied as well. Thus, it is found that the calculation of Mises stress inside the inclusion under relatively low loads can be provided based on the solution for infinite plates. It is also found that the nature of the stress distribution in the inclusion and the plate is different. In particular, the maximal Mises stress inside the inclusion are the greatest for tension of the plate at an angle of relatively to the bigger semi-axis of the inclusion, and in the matrix for the transverse tension

Probabilistic modeling of fatigue fracture using multiple cracking under thermal fatigue

Одним із фундаментальних чинників, що істотно впливає на міцність елементів конструкцій під час їхньої експлуатації, є термовтома матеріалів. Важливим завданням є прогнозування розвитку мережі поверхневих тріщин термовтоми, яка виникає на ранніх етапах експлуатації й значною мірою окреслює майбутню довговічність елемента конструкції. Аналітично розроблено метод інженерних розрахунків впливу теплової втоми на втомне руйнування матеріалу. Розвиток мікродефектів запропоновано моделювати на основі принципу механізмів зародження та розвитку тріщин з урахуванням в останньому залежності для коефіцієнтів інтенсивності напружень, отриманої в результаті розгляду подвійно періодичної задачі теорії пружності для нескінченної пластинки із подвійно періодичною мережею паралельних тріщин. Відстані між тріщинами визначено на основі ймовірнісних залежностей, отриманих за діаграмами термовтоми, а розміри дефектів розраховано за формулою Періса. Такий підхід дає змогу ефективно моделювати дію теплових напружень на втому й живучість матеріалів. Обчислено ймовірнісні залежності пошкодженості D, довжини мікротріщин і відстаней між ними від кількості термоциклів для сталі 25Х1М1Ф при розмаху внутрішніх температурних напружень S0 = 100...300 MПa.One of the fundamental factors that significantly affect the strength of structural elements during their operation is thermal fatigue of materials. It is important to predict the development of surface cracks network under thermal fatigue that emerges in the early stages of operation and largely determines the lifetime of structural elements. The microcracks growth rate depends on the thermomechanical properties of the material, its structure, temperature and force operation conditions (level, type, method of loading, other external influences), the relative position of microcracks and the distance between them and has a largely statistical nature. Modern design standards for the industry account for this uncertainty through empirical factor of safety. This makes the design conservative, not giving the proper ways to study and improve it. This approach makes it impossible to quantify the risks associated with the project design. So the critical task is the development and introduction into practice of design the probabilistic models, and the probabilistic methods on their basis, in addition to the existing standards. Analytical method is developed for engineering calculations of thermal fatigue effect on fatigue fracture of the material. The development of microdefects is proposed to be modeled on the basis of the mechanisms of nucleation and growth of cracks taking into consideration the dependency for stress intensity factors obtained as a result of the solution of doubly periodic problem of elasticity for an infinite plate with a doubly periodic network of parallel cracks. The distances between the cracks were determined based on probabilistic dependencies obtained from thermal fatigue diagrams and the size of defects was calculated by Paris law. This approach enables the efficient modeling of effects of thermal stresses on fatigue and durability of materials. The probabilistic dependencies of damage D, the average length of microcracks and the distances between them upon the number of thermal cycles were calculated for 25Cr1MoV steel under internal thermal stresses range S0 = 100 ... 300 MPa

Boundary element method for analysis of thermomagnetoelectroelastic solids with thread-like inhomogeneities

This study presents a solid approach in the numerical analysis of thermomagnetoelectroelastic solids containing thin thread-like inhomogeneities. The peculiarities of the application of integral equation approach to the analysis of thread-like inhomogeneities are discussed. The solid boundary element technique is developed, which can be applied to the analysis of 3D ill-posed boundary-value problems with boundary conditions set on spatial curves. The models of thermomagnetoelectroelastic thread-like inhomogeneities are developed. Several numerical examples are studied