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Theoretical conditions for the coexistence of viral strains with differences in phenotypic traits : A bifurcation analysis
Altres ajuts: CERCA Programme/Generalitat de CatalunyaWe investigate the dynamics of a wild-type viral strain which generates mutant strains differing in phenotypic properties for infectivity, virulence and mutation rates. We study, by means of a mathematical model and bifurcation analysis, conditions under which the wild-type and mutant viruses, which compete for the same host cells, can coexist. The coexistence conditions are formulated in terms of the basic reproductive numbers of the strains, a maximum value of the mutation rate and the virulence of the pathogens. The analysis reveals that parameter space can be divided into five regions, each with distinct dynamics, that are organized around degenerate Bogdanov-Takens and zero- Hopf bifurcations, the latter of which gives rise to a curve of transcritical bifurcations of periodic orbits. These results provide new insights into the conditions by which viral populations may contain multiple coexisting strains in a stable manner
Lineage replacement and evolution captured by 3 years of the United Kingdom Coronavirus (COVID-19) Infection Survey
The Office for National Statistics Coronavirus (COVID-19) Infection Survey (ONS-CIS) is the largest surveillance study of SARS-CoV-2 positivity in the community, and collected data on the United Kingdom (UK) epidemic from April 2020 until March 2023 before being paused. Here, we report on the epidemiological and evolutionary dynamics of SARS-CoV-2 determined by analysing the sequenced samples collected by the ONS-CIS during this period. We observed a series of sweeps or partial sweeps, with each sweeping lineage having a distinct growth advantage compared to their predecessors, although this was also accompanied by a gradual fall in average viral burdens from June 2021 to March 2023. The sweeps also generated an alternating pattern in which most samples had either S-gene target failure (SGTF) or non-SGTF over time. Evolution was characterized by steadily increasing divergence and diversity within lineages, but with step increases in divergence associated with each sweeping major lineage. This led to a faster overall rate of evolution when measured at the between-lineage level compared to within lineages, and fluctuating levels of diversity. These observations highlight the value of viral sequencing integrated into community surveillance studies to monitor the viral epidemiology and evolution of SARS-CoV-2, and potentially other pathogens
Mathematical modelling of pathogen specialisation
L鈥檃parici贸 de nous virus causants de malalties est脿 estretament lligada a l鈥檈specialitzaci贸 de subpoblacions virals cap a nous tipus d鈥檃mfitrions. La modelitzaci贸 matem脿tica proporciona un marc quantitatiu que pot ajudar amb la predicci贸 de processos a llarg termini com pot ser l鈥檈specialitzaci贸. A causa de la naturalesa complexa que presenten les interaccions intra i interespec铆fiques en els processos evolutius, cal aplicar eines matem脿tiques complexes, com ara l鈥檃n脿lisi de bifurcacions, al estudiar din脿miques de poblaci贸. Aquesta tesi desenvolupa una jerarquia de models de poblaci贸 per poder comprendre l鈥檃parici贸 i les din脿miques d鈥檈specialitzaci贸, i la seva depend猫ncia dels par脿metres del sistema. Utilitzant un model per a un virus de tipus salvatge i un virus mutat que competeixen pel mateix amfitri贸, es determinen les condicions per a la superviv猫ncia 煤nicament de la subpoblaci贸 mutant, juntament amb la seva coexist猫ncia amb el cep de tipus salvatge. Els diagrames d鈥檈stabilitat que representen regions de din脿miques diferenciades es construeixen en termes de taxa d鈥檌nfecci贸, virul猫ncia i taxa de mutaci贸; els diagrames s鈥檈xpliquen en base a les caracter铆stiques biol貌giques de les subpoblacions. Per a par脿metres variables, s鈥檕bserva i es descriu el fenomen d鈥檌ntersecci贸 i intercanvi d鈥檈stabilitat entre diferents solucions sistem脿tiques i peri貌diques en l鈥櫭爉bit dels ceps de tipus salvatge i els ceps mutants en compet猫ncia directa. En el cas de que diversos tipus d鈥檃mfitrions estiguin disponibles per a ser disputats per ceps especialitzats i generalistes existeixen regions de biestabilitat, i les probabilitats d鈥檕bservar cada estat es calculen com funcions de les taxes d鈥檌nfecci贸. S鈥檋a trobat un rar atractor ca貌tic i s鈥檋a analitzat amb l鈥櫭簊 d鈥檈xponents de Lyapunov. Aix貌, combinat amb els diagrames d鈥檈stabilitat, mostra que la superviv猫ncia del cep generalista en un entorn estable 茅s un fet improbable. A m茅s, s鈥檈studia el cas dels diversos ceps N>>1 que competeixen per diferents tipus de c猫l路lules amfitriones. En aquest cas s鈥檋a descobert una depend猫ncia no monot貌nica, contraria al que es preveia, del temps d鈥檈specialitzaci贸 sobre la mida inicial i la taxa de mutaci贸, com a conseq眉猫ncia de la realitzaci贸 d鈥檜n an脿lisi de regressi贸 sobre dades obtingudes num猫ricament. En general, aquest treball fa contribucions 脿mplies a la modelitzaci贸 matem脿tica i an脿lisi de la din脿mica dels patogens i els processos evolutius.La aparici贸n de nuevos virus causantes de enfermedades est谩 estrechamente ligada a la especializaci贸n de las subpoblaciones virales hacia nuevos tipos de anfitriones. La modelizaci 贸n matem谩tica proporciona un marco cuantitativo que puede ayudar a la predicci贸n de procesos a largo plazo como la especializaci贸n. Debido a la naturaleza compleja que presentan las interacciones intra e interespec铆ficas en los procesos evolutivos, aplicar herramientas matem谩ticas complejas, tales como el an谩lisis de bifurcaci贸n, al estudiar din谩micas de poblaci贸n. Esta tesis desarrolla una jerarqu铆a de modelos de poblaci贸n para poder comprender la aparici贸n y las din谩micas de especializaci贸n, y su dependencia de los par谩metros del sistema. Utilizando un modelo para un virus de tipo salvaje y un virus mutado que compiten por el mismo anfitri贸n, se determinan las condiciones para la supervivencia 煤nicamente de la subpoblaci贸n mutante, junto con su coexistencia con la cepa de tipo salvaje. Los diagramas de estabilidad que representan regiones de din谩micas diferenciadas se construyen en t茅rminos de tasa de infecci贸n, virulencia y tasa de mutaci贸n; los diagramas se explican en base a las caracter铆sticas biol贸gicas de las subpoblaciones. Para par谩metros variables, se observa y se describe el fen贸meno de intersecci贸n e intercambio de estabilidad entre diferentes soluciones sistem谩ticas y peri贸dicas en el 谩mbito de las cepas de tipo salvaje y las cepas mutantes en competencia directa. En el caso de que varios tipos de anfitriones est茅n disponibles para ser disputados por cepas especializadas y generalistas existen regiones de biestabilidad, y las probabilidades de observar cada estado se calculan como funciones de las tasas de infecci贸n. Se ha encontrado un raro atractor ca贸tico y se ha analizado con el uso de exponentes de Lyapunov. Esto, combinado con los diagramas de estabilidad, muestra que la supervivencia de la cepa generalista en un entorno estable es un hecho improbable. Adem谩s, se estudia el caso de los varias cepas N>> 1 que compiten por diferentes tipos de c茅lulas anfitrionas. En este caso se ha descubierto una dependencia no monot贸nica, contraria a lo que se preve铆a, del tiempo de especializaci贸n sobre el tama帽o inicial y la tasa de mutaci贸n, como consecuencia de la realizaci贸n de un an谩lisis de regresi贸n sobre datos obtenidos num茅ricamente. En general, este trabajo hace contribuciones amplias a la modelizaci贸n matem谩tica y el an谩lisis de la din谩mica de los pat贸genos y los procesos evolutivos.The occurrence of new disease-causing viruses is tightly linked to the specialisation of viral sub-populations towards new host types. Mathematical modelling provides a quantitative framework that can aid with the prediction of long-term processes such as specialisation. Due to the complex nature of intra- and interspecific interactions present in evolutionary processes, elaborate mathematical tools such as bifurcation analysis must be employed while studying population dynamics. In this thesis, a hierarchy of population models is developed to understand the onset and dynamics of specialisation and their dependence on the parameters of the system. Using a model for a wild-type and mutant virus that compete for the same host, conditions for the survival of only the mutant subpopulation, along with its coexistence with the wild-type strain, are determined. Stability diagrams that depict regions of distinct dynamics are constructed in terms of infection rates, virulence and the mutation rate; the diagrams are explained in terms of the biological characteristics of the sub-populations. For varying parameters, the phenomenon of intersection and exchange of stability between different periodic solutions of the system is observed and described in the scope of the competing wild-type and mutant strains. In the case of several types of hosts being available for competing specialist and generalist strains, regions of bistability exist, and the probabilities of observing each state are calculated as functions of the infection rates. A strange chaotic attractor is discovered and analysed with the use of Lyapunov exponents. This, combined with the stability diagrams, shows that the survival of the generalist in a stable environment is an unlikely event. Furthermore, the case of N=1 different strains competing for different types of host cells is studied. For this case, a counterintuitive and non-monotonic dependence of the specialisation time on the burst size and mutation rate is discovered as a result of carrying out a regression analysis on numerically obtained data. Overall, this work makes broad contributions to mathematical modelling and analysis of pathogen dynamics and evolutionary processes
Mathematical modelling of pathogen specialisation
L鈥檃parici贸 de nous virus causants de malalties est脿 estretament lligada a l鈥檈specialitzaci贸 de subpoblacions virals cap a nous tipus d鈥檃mfitrions. La modelitzaci贸 matem脿tica proporciona un marc quantitatiu que pot ajudar amb la predicci贸 de processos a llarg termini com pot ser l鈥檈specialitzaci贸. A causa de la naturalesa complexa que presenten les interaccions intra i interespec铆fiques en els processos evolutius, cal aplicar eines matem脿tiques complexes, com ara l鈥檃n脿lisi de bifurcacions, al estudiar din脿miques de poblaci贸. Aquesta tesi desenvolupa una jerarquia de models de poblaci贸 per poder comprendre l鈥檃parici贸 i les din脿miques d鈥檈specialitzaci贸, i la seva depend猫ncia dels par脿metres del sistema. Utilitzant un model per a un virus de tipus salvatge i un virus mutat que competeixen pel mateix amfitri贸, es determinen les condicions per a la superviv猫ncia 煤nicament de la subpoblaci贸 mutant, juntament amb la seva coexist猫ncia amb el cep de tipus salvatge. Els diagrames d鈥檈stabilitat que representen regions de din脿miques diferenciades es construeixen en termes de taxa d鈥檌nfecci贸, virul猫ncia i taxa de mutaci贸; els diagrames s鈥檈xpliquen en base a les caracter铆stiques biol貌giques de les subpoblacions. Per a par脿metres variables, s鈥檕bserva i es descriu el fenomen d鈥檌ntersecci贸 i intercanvi d鈥檈stabilitat entre diferents solucions sistem脿tiques i peri貌diques en l鈥櫭爉bit dels ceps de tipus salvatge i els ceps mutants en compet猫ncia directa. En el cas de que diversos tipus d鈥檃mfitrions estiguin disponibles per a ser disputats per ceps especialitzats i generalistes existeixen regions de biestabilitat, i les probabilitats d鈥檕bservar cada estat es calculen com funcions de les taxes d鈥檌nfecci贸. S鈥檋a trobat un rar atractor ca貌tic i s鈥檋a analitzat amb l鈥櫭簊 d鈥檈xponents de Lyapunov. Aix貌, combinat amb els diagrames d鈥檈stabilitat, mostra que la superviv猫ncia del cep generalista en un entorn estable 茅s un fet improbable. A m茅s, s鈥檈studia el cas dels diversos ceps N>>1 que competeixen per diferents tipus de c猫l路lules amfitriones. En aquest cas s鈥檋a descobert una depend猫ncia no monot貌nica, contraria al que es preveia, del temps d鈥檈specialitzaci贸 sobre la mida inicial i la taxa de mutaci贸, com a conseq眉猫ncia de la realitzaci贸 d鈥檜n an脿lisi de regressi贸 sobre dades obtingudes num猫ricament. En general, aquest treball fa contribucions 脿mplies a la modelitzaci贸 matem脿tica i an脿lisi de la din脿mica dels patogens i els processos evolutius.La aparici贸n de nuevos virus causantes de enfermedades est谩 estrechamente ligada a la especializaci贸n de las subpoblaciones virales hacia nuevos tipos de anfitriones. La modelizaci 贸n matem谩tica proporciona un marco cuantitativo que puede ayudar a la predicci贸n de procesos a largo plazo como la especializaci贸n. Debido a la naturaleza compleja que presentan las interacciones intra e interespec铆ficas en los procesos evolutivos, aplicar herramientas matem谩ticas complejas, tales como el an谩lisis de bifurcaci贸n, al estudiar din谩micas de poblaci贸n. Esta tesis desarrolla una jerarqu铆a de modelos de poblaci贸n para poder comprender la aparici贸n y las din谩micas de especializaci贸n, y su dependencia de los par谩metros del sistema. Utilizando un modelo para un virus de tipo salvaje y un virus mutado que compiten por el mismo anfitri贸n, se determinan las condiciones para la supervivencia 煤nicamente de la subpoblaci贸n mutante, junto con su coexistencia con la cepa de tipo salvaje. Los diagramas de estabilidad que representan regiones de din谩micas diferenciadas se construyen en t茅rminos de tasa de infecci贸n, virulencia y tasa de mutaci贸n; los diagramas se explican en base a las caracter铆sticas biol贸gicas de las subpoblaciones. Para par谩metros variables, se observa y se describe el fen贸meno de intersecci贸n e intercambio de estabilidad entre diferentes soluciones sistem谩ticas y peri贸dicas en el 谩mbito de las cepas de tipo salvaje y las cepas mutantes en competencia directa. En el caso de que varios tipos de anfitriones est茅n disponibles para ser disputados por cepas especializadas y generalistas existen regiones de biestabilidad, y las probabilidades de observar cada estado se calculan como funciones de las tasas de infecci贸n. Se ha encontrado un raro atractor ca贸tico y se ha analizado con el uso de exponentes de Lyapunov. Esto, combinado con los diagramas de estabilidad, muestra que la supervivencia de la cepa generalista en un entorno estable es un hecho improbable. Adem谩s, se estudia el caso de los varias cepas N>> 1 que compiten por diferentes tipos de c茅lulas anfitrionas. En este caso se ha descubierto una dependencia no monot贸nica, contraria a lo que se preve铆a, del tiempo de especializaci贸n sobre el tama帽o inicial y la tasa de mutaci贸n, como consecuencia de la realizaci贸n de un an谩lisis de regresi贸n sobre datos obtenidos num茅ricamente. En general, este trabajo hace contribuciones amplias a la modelizaci贸n matem谩tica y el an谩lisis de la din谩mica de los pat贸genos y los procesos evolutivos.The occurrence of new disease-causing viruses is tightly linked to the specialisation of viral sub-populations towards new host types. Mathematical modelling provides a quantitative framework that can aid with the prediction of long-term processes such as specialisation. Due to the complex nature of intra- and interspecific interactions present in evolutionary processes, elaborate mathematical tools such as bifurcation analysis must be employed while studying population dynamics. In this thesis, a hierarchy of population models is developed to understand the onset and dynamics of specialisation and their dependence on the parameters of the system. Using a model for a wild-type and mutant virus that compete for the same host, conditions for the survival of only the mutant subpopulation, along with its coexistence with the wild-type strain, are determined. Stability diagrams that depict regions of distinct dynamics are constructed in terms of infection rates, virulence and the mutation rate; the diagrams are explained in terms of the biological characteristics of the sub-populations. For varying parameters, the phenomenon of intersection and exchange of stability between different periodic solutions of the system is observed and described in the scope of the competing wild-type and mutant strains. In the case of several types of hosts being available for competing specialist and generalist strains, regions of bistability exist, and the probabilities of observing each state are calculated as functions of the infection rates. A strange chaotic attractor is discovered and analysed with the use of Lyapunov exponents. This, combined with the stability diagrams, shows that the survival of the generalist in a stable environment is an unlikely event. Furthermore, the case of N=1 different strains competing for different types of host cells is studied. For this case, a counterintuitive and non-monotonic dependence of the specialisation time on the burst size and mutation rate is discovered as a result of carrying out a regression analysis on numerically obtained data. Overall, this work makes broad contributions to mathematical modelling and analysis of pathogen dynamics and evolutionary processes
Mathematical modelling of pathogen specialization
Thesis submitted in order to be awarded the degree of Doctor of Phylosophy in Mathematics.[EN]: The occurrence of new disease-causing viruses is tightly linked to the specialisation of viral sub-populations towards new host types. Mathematical modelling provides a quantitative framework that can aid with the prediction of long-term processes such as specialisation. Due to the complex nature of intra- and interspecific interactions present in evolutionary processes, elaborate mathematical tools such as bifurcation analysis must be employed while studying population dynamics. In this thesis, a hierarchy of population models is developed to understand the onset and dynamics of specialisation and their dependence on the parameters of the system. Using a model for a wild-type and mutant virus that compete for the same host, conditions for the survival of only the mutant subpopulation, along with its coexistence with the wild-type strain, are determined. Stability diagrams that depict regions of distinct dynamics are constructed in terms of infection rates, virulence and the mutation rate; the diagrams are explained in terms of the biological characteristics of the sub-populations. For varying parameters, the phenomenon of intersection and exchange of stability between different periodic solutions of the system is observed and described in the scope of the competing wild-type and mutant strains. In the case of several types of hosts being available for competing specialist and generalist strains, regions of bistability exist, and the probabilities of observing each state are calculated as functions of the infection rates. A strange chaotic attractor is discovered and analysed with the use of Lyapunov exponents. This, combined with the stability diagrams, shows that the survival of the generalist in a stable environment is an unlikely event. Furthermore, the case of N >> 1 different
strains competing for different types of host cells is studied. For this case, a counterintuitive and non-monotonic dependence of the specialisation time on the burst size and mutation rate is discovered as a result of carrying out a regression analysis on numerically obtained data. Overall, this work makes broad contributions to mathematical modelling and analys is of pathogen dynamics and evolutionary processes.[CAT]: L'aparici贸 de nous virus causants de malalties est脿 estretament lligada a l'especialitzaci贸 de subpoblacions virals cap a nous tipus d'amfitrions. La modelitzaci贸 matem脿tica proporciona un marc quantitatiu que pot ajudar amb la predicci贸 de processos a llarg termini com pot ser l'especialitzaci贸. A causa de la naturalesa complexa que presenten les interaccions intra i interespec铆fiques en els processos evolutius, cal aplicar eines matem脿tiques complexes, com ara l'an脿lisi de bifurcacions, al estudiar din脿miques de poblaci贸. Aquesta tesi desenvolupa una jerarquia de models de poblaci贸 per poder comprendre l'aparici贸 i les din脿miques d'especialitzaci贸, i la seva depend猫ncia dels par脿metres del sistema. Utilitzant un model per a un virus de tipus salvatge i un virus mutat que competeixen pel
mateix amfitri贸, es determinen les condicions per a la superviv猫ncia 煤nicament de la subpoblaci贸 mutant, juntament amb la seva coexist猫ncia amb el cep de tipus salvatge. Els diagrames d'estabilitat que representen regions de din脿miques diferenciades es construeixen en termes de taxa d'infecci贸, virul猫ncia i taxa de mutaci贸; els diagrames s'expliquen en base a les caracter铆stiques biol貌giques de les subpoblacions. Per a par脿metres variables, s'observa i es descriu el fenomen d'intersecci贸 i intercanvi d'estabilitat entre diferents solucions sistem脿tiques i peri貌diques en l'脿mbit dels ceps de tipus salvatge i els ceps mutants en compet猫ncia directa. En el cas de que diversos tipus d'amfitrions estiguin disponibles per a ser disputats per ceps especialitzats i generalistes existeixen regions de biestabilitat, i les probabilitats d'observar cada estat es calculen com funcions de les taxes d'infecci贸. S'ha trobat un rar atractor ca貌tic i s'ha analitzat amb l'煤s d'exponents de Lyapunov. Aix貌, combinat
amb els diagrames d'estabilitat, mostra que la superviv猫ncia del cep generalista en un entorn estable 茅s un fet improbable. A m茅s, s'estudia el cas dels diversos ceps N >> 1 que competeixen per diferents tipus de c猫l路lules amfitriones. En aquest cas s'ha descobert una depend猫ncia no monot貌nica, contraria al que es preveia, del temps d'especialitzaci贸 sobre la mida inicial i la taxa de mutaci贸, com a conseq眉猫ncia de la realitzaci贸 d'un an脿lisi de regressi贸 sobre dades obtingudes num猫ricament. En general, aquest treball fa contribucions 脿mplies a la modelitzaci贸 matem脿tica i an脿lisi de la din脿mica dels pat貌gens i els processos evolutius.[ES]: La aparici贸n de nuevos virus causantes de enfermedades est谩 estrechamente ligada a la
especializaci贸n de las subpoblaciones virales hacia nuevos tipos de anfitriones. La modelizaci贸n matem谩tica proporciona un marco cuantitativo que puede ayudar a la predicci贸n de procesos a largo plazo como la especializaci贸n. Debido a la naturaleza compleja que presentan las interacciones intra e interespec铆ficas en los procesos evolutivos, aplicar herramientas matem谩ticas complejas, tales como el an谩lisis de bifurcaci贸n, al estudiar din谩micas de poblaci贸n. Esta tesis desarrolla una jerarqu铆a de modelos de poblaci贸n para poder comprender la aparici贸n y las din谩micas de especializaci贸n, y su dependencia de los par谩metros del sistema. Utilizando un modelo para un virus de tipo salvaje y un virus mutado que compiten por el mismo anfitri贸n, se determinan las condiciones para la supervivencia 煤nicamente de la subpoblaci贸n mutante, junto con su coexistencia con la cepa de tipo salvaje. Los diagramas de estabilidad que representan regiones de din谩micas diferenciadas se construyen en t茅rminos de tasa de infecci贸n, virulencia y tasa de mutaci贸n; los diagramas se explican en base a las caracter铆sticas biol贸gicas de las subpoblaciones. Para par谩metros variables, se observa y se describe el fen贸meno de intersecci贸n e intercambio de estabilidad entre diferentes soluciones sistem谩ticas y peri贸dicas en el 谩mbito de las cepas de tipo salvaje y las cepas mutantes en competencia directa. En el caso de que varios tipos de anfitriones est茅n disponibles para ser disputados por cepas especializadas y generalistas existen regiones de biestabilidad, y las probabilidades de observar cada estado se calculan como funciones de las tasas de infecci贸n. Se ha encontrado un raro atractor ca贸tico y se ha analizado con el uso de exponentes de Lyapunov. Esto, combinado con los diagramas de estabilidad, muestra que la supervivencia de la cepa generalista en un entorno estable es un hecho improbable. Adem谩s, se estudia el caso de los varias cepas N >> 1 que compiten por diferentes tipos de c茅lulas anfitrionas. En este caso se ha descubierto una dependencia no monot贸nica, contraria a lo que se preve铆a, del tiempo de especializaci贸n sobre el tama帽o inicial y la tasa de mutaci贸n, como consecuencia de la realizaci贸n de un an谩lisis de regresi贸n sobre datos obtenidos num茅ricamente. En general, este trabajo hace contribuciones amplias a la modelizaci贸n matem谩tica y el an谩lisis de la din谩mica de los pat贸genos y los procesos evolutivos.La meva formaci贸 al CRM compta amb el finan莽ament de l'Obra Social "la Caixa" dins del programa Recerca en Matem脿tica Col路laborativa (My training at CRM is funded by "la Caixa" Foundation within the programme Research on Collaborative Mathematics).Peer reviewe
Mathematical modelling of pathogen specialisation /
L'aparici贸 de nous virus causants de malalties est脿 estretament lligada a l'especialitzaci贸 de subpoblacions virals cap a nous tipus d'amfitrions. La modelitzaci贸 matem脿tica proporciona un marc quantitatiu que pot ajudar amb la predicci贸 de processos a llarg termini com pot ser l'especialitzaci贸. A causa de la naturalesa complexa que presenten les interaccions intra i interespec铆fiques en els processos evolutius, cal aplicar eines matem脿tiques complexes, com ara l'an脿lisi de bifurcacions, al estudiar din脿miques de poblaci贸. Aquesta tesi desenvolupa una jerarquia de models de poblaci贸 per poder comprendre l'aparici贸 i les din脿miques d'especialitzaci贸, i la seva depend猫ncia dels par脿metres del sistema. Utilitzant un model per a un virus de tipus salvatge i un virus mutat que competeixen pel mateix amfitri贸, es determinen les condicions per a la superviv猫ncia 煤nicament de la subpoblaci贸 mutant, juntament amb la seva coexist猫ncia amb el cep de tipus salvatge. Els diagrames d'estabilitat que representen regions de din脿miques diferenciades es construeixen en termes de taxa d'infecci贸, virul猫ncia i taxa de mutaci贸; els diagrames s'expliquen en base a les caracter铆stiques biol貌giques de les subpoblacions. Per a par脿metres variables, s'observa i es descriu el fenomen d'intersecci贸 i intercanvi d'estabilitat entre diferents solucions sistem脿tiques i peri貌diques en l'脿mbit dels ceps de tipus salvatge i els ceps mutants en compet猫ncia directa. En el cas de que diversos tipus d'amfitrions estiguin disponibles per a ser disputats per ceps especialitzats i generalistes existeixen regions de biestabilitat, i les probabilitats d'observar cada estat es calculen com funcions de les taxes d'infecci贸. S'ha trobat un rar atractor ca貌tic i s'ha analitzat amb l'煤s d'exponents de Lyapunov. Aix貌, combinat amb els diagrames d'estabilitat, mostra que la superviv猫ncia del cep generalista en un entorn estable 茅s un fet improbable. A m茅s, s'estudia el cas dels diversos ceps N禄1 que competeixen per diferents tipus de c猫l路lules amfitriones. En aquest cas s'ha descobert una depend猫ncia no monot貌nica, contraria al que es preveia, del temps d'especialitzaci贸 sobre la mida inicial i la taxa de mutaci贸, com a conseq眉猫ncia de la realitzaci贸 d'un an脿lisi de regressi贸 sobre dades obtingudes num猫ricament. En general, aquest treball fa contribucions 脿mplies a la modelitzaci贸 matem脿tica i an脿lisi de la din脿mica dels patogens i els processos evolutius.La aparici贸n de nuevos virus causantes de enfermedades est谩 estrechamente ligada a la especializaci贸n de las subpoblaciones virales hacia nuevos tipos de anfitriones. La modelizaci 贸n matem谩tica proporciona un marco cuantitativo que puede ayudar a la predicci贸n de procesos a largo plazo como la especializaci贸n. Debido a la naturaleza compleja que presentan las interacciones intra e interespec铆ficas en los procesos evolutivos, aplicar herramientas matem谩ticas complejas, tales como el an谩lisis de bifurcaci贸n, al estudiar din谩micas de poblaci贸n. Esta tesis desarrolla una jerarqu铆a de modelos de poblaci贸n para poder comprender la aparici贸n y las din谩micas de especializaci贸n, y su dependencia de los par谩metros del sistema. Utilizando un modelo para un virus de tipo salvaje y un virus mutado que compiten por el mismo anfitri贸n, se determinan las condiciones para la supervivencia 煤nicamente de la subpoblaci贸n mutante, junto con su coexistencia con la cepa de tipo salvaje. Los diagramas de estabilidad que representan regiones de din谩micas diferenciadas se construyen en t茅rminos de tasa de infecci贸n, virulencia y tasa de mutaci贸n; los diagramas se explican en base a las caracter铆sticas biol贸gicas de las subpoblaciones. Para par谩metros variables, se observa y se describe el fen贸meno de intersecci贸n e intercambio de estabilidad entre diferentes soluciones sistem谩ticas y peri贸dicas en el 谩mbito de las cepas de tipo salvaje y las cepas mutantes en competencia directa. En el caso de que varios tipos de anfitriones est茅n disponibles para ser disputados por cepas especializadas y generalistas existen regiones de biestabilidad, y las probabilidades de observar cada estado se calculan como funciones de las tasas de infecci贸n. Se ha encontrado un raro atractor ca贸tico y se ha analizado con el uso de exponentes de Lyapunov. Esto, combinado con los diagramas de estabilidad, muestra que la supervivencia de la cepa generalista en un entorno estable es un hecho improbable. Adem谩s, se estudia el caso de los varias cepas N禄 1 que compiten por diferentes tipos de c茅lulas anfitrionas. En este caso se ha descubierto una dependencia no monot贸nica, contraria a lo que se preve铆a, del tiempo de especializaci贸n sobre el tama帽o inicial y la tasa de mutaci贸n, como consecuencia de la realizaci贸n de un an谩lisis de regresi贸n sobre datos obtenidos num茅ricamente. En general, este trabajo hace contribuciones amplias a la modelizaci贸n matem谩tica y el an谩lisis de la din谩mica de los pat贸genos y los procesos evolutivos.The occurrence of new disease-causing viruses is tightly linked to the specialisation of viral sub-populations towards new host types. Mathematical modelling provides a quantitative framework that can aid with the prediction of long-term processes such as specialisation. Due to the complex nature of intra- and interspecific interactions present in evolutionary processes, elaborate mathematical tools such as bifurcation analysis must be employed while studying population dynamics. In this thesis, a hierarchy of population models is developed to understand the onset and dynamics of specialisation and their dependence on the parameters of the system. Using a model for a wild-type and mutant virus that compete for the same host, conditions for the survival of only the mutant subpopulation, along with its coexistence with the wild-type strain, are determined. Stability diagrams that depict regions of distinct dynamics are constructed in terms of infection rates, virulence and the mutation rate; the diagrams are explained in terms of the biological characteristics of the sub-populations. For varying parameters, the phenomenon of intersection and exchange of stability between different periodic solutions of the system is observed and described in the scope of the competing wild-type and mutant strains. In the case of several types of hosts being available for competing specialist and generalist strains, regions of bistability exist, and the probabilities of observing each state are calculated as functions of the infection rates. A strange chaotic attractor is discovered and analysed with the use of Lyapunov exponents. This, combined with the stability diagrams, shows that the survival of the generalist in a stable environment is an unlikely event. Furthermore, the case of N=1 different strains competing for different types of host cells is studied. For this case, a counterintuitive and non-monotonic dependence of the specialisation time on the burst size and mutation rate is discovered as a result of carrying out a regression analysis on numerically obtained data. Overall, this work makes broad contributions to mathematical modelling and analysis of pathogen dynamics and evolutionary processes
figure_data
Each subfolder has a name of a figure. In every such subfolder, Matlab code for the figure is provided, and named "...maker.m", alongside its data folder. The data is obtained using MATCONT6p10 (free Matlab software project for the numerical continuation and bifurcation study)
Data from: Theoretical conditions for the coexistence of viral strains with differences in phenotypic traits: a bifurcation analysis
We investigate the dynamics of a wild-type viral strain which generates mutant strains differing in phenotypic properties for infectivity, virulence, and mutation rates. We study, by means of a mathematical model and bifurcation analysis, conditions under which the wild-type and mutant viruses, which compete for the same host cells, can coexist. The coexistence conditions are formulated in terms of the basic reproductive numbers of the strains, a maximum value of the mutation rate, and the virulence of the pathogens. The analysis reveals that parameter space can be divided into five regions, each with distinct dynamics, that are organised around degenerate Bogdanov-Takens and zero-Hopf bifurcations, the latter of which gives rise to a curve of transcritical bifurcations of periodic orbits. These results provide new insights into the conditions by which viral populations may contain multiple coexisting strains in a stable manner
MATCONT_systems
Two systems were studied, numbered (2.4) and (3.19) in the paper. The codes for MATCONT6p10 for both systems are provided
Theoretical conditions for the coexistence of viral strains with differences in phenotypic traits: a bifurcation analysis
We investigate the dynamics of a wild-type viral strain which generates mutant strains differing in phenotypic properties for infectivity, virulence and mutation rates. We study, by means of a mathematical model and bifurcation analysis, conditions under which the wild-type and mutant viruses, which compete for the same host cells, can coexist. The coexistence conditions are formulated in terms of the basic reproductive numbers of the strains, a maximum value of the mutation rate and the virulence of the pathogens. The analysis reveals that parameter space can be divided into five regions, each with distinct dynamics, that are organized around degenerate Bogdanov鈥揟akens and zero-Hopf bifurcations, the latter of which gives rise to a curve of transcritical bifurcations of periodic orbits. These results provide new insights into the conditions by which viral populations may contain multiple coexisting strains in a stable manner