Algorithms for lattice problems with respect to general norms

Gitter sind klassische Objekte aus der Geometrie der Zahlen. Ein Gitter ist definiert als eine diskrete Untergruppe des n dimensionalen Vektorraumes über den reellen Zahlen. Diese Dissertationsschrift beschäftigt sich mit der algorithmischen Komplexität von vier klassischen Problemen aus der Geometrie der Zahlen, dem Problem des kürzesten Gittervektors, dem Problem der sukzessiven Minima, dem Problem der kürzesten linear unabhängigen Gittervektoren sowie dem Problem des nächsten Gittervektors. Diese Probleme können bezüglich jeder beliebigen Norm definiert werden. Der Schwerpunkt dieser Dissertation liegt auf der Untersuchung der algorithmischen Komplexität dieser oben erwähnten Gitterprobleme mit einem speziellen Fokus auf ihrer Lösbarkeit bezüglich allgemeiner, nicht euklidischer Normen. Aufbauend auf Algorithmen von Ajtai, Kumar und Sivakumar ([AKS01],[AKS02]) für das Problem des kürzesten Gittervektors und das Problem des nächsten Gittervektors beschreiben wir in dieser Arbeit randomisierte Algorithmen mit einfach exponentieller Laufzeit für alle vier erwähnten Gitterprobleme. Diese Algorithmen lösen das Problem des kürzesten Gittervektors sowie wie eingeschränkte Varianten der anderen Gitterprobleme exakt. Für die allgemeinen Varianten des Problems der sukzessiven Minima, des Problems der kürzesten linear unabhängigen Gittervektoren sowie des Problems des nächsten Gittervektors beschreiben wir randomisierte Algorithmen mit einfach exponentieller Laufzeit, die diese Probleme fast optimal lösen. Für das Problem des nächsten Gittervektors entwickeln wir in dieser Arbeit auf Grundlage einer Technik von Lenstra ([Len83]) für ganzzahlige Programmierung einen deterministischen Algorithmus, der das Problem exakt löst und dabei lediglich polynomiellen Platz benötigt.Lattices are classical objects in the geometry of numbers. A lattice is a discrete subgroup of the n-dimensional vector space over the real numbers. In this thesis, we study the complexity of four classical problems from the geometry of numbers, the shortest vector problem (SVP), the successive minima problem (SMP), the shortest independent vectors problem (SIVP), and the closest vector problem (CVP). These problems can be defined for any norm on the vector space.The focus of this thesis is the algorithmic complexity of the four lattice problems described above with respect to arbitrary, especially non-Euclidean norms.Extending and generalizing results of Ajtai et al. we present probabilistic single exponential time algorithms for all four lattice problems using single exponential space. The algorithms solve SVP and restricted versions of the other problems optimally. Furthermore, the algorithms solve the general versions of SMP, SIVP, and CVP almost optimally.To obtain algorithms that solve SMP, SIVP, and CVP exactly with respect to arbitrary norms, we consider CVP in detail since there exist polynomial time reductions from SMP and SIVP to CVP which work for any norm, see [Micc08]. We will describe in this thesis a deterministic polynomially space bounded algorithm for CVP. The algorithm is based on Lenstras technique for integer programming ([Len83]).Tag der Verteidigung: 28.10.2011Paderborn, Univ., Diss., 201