Geometría Fractal

En este artículo se presenta la Geometría Fractal como uno de los contenidos matemáticos de interés para los estudiantes de informática. Se describen el contenido y el desarrollo de Geometría Fractal, asignatura optativa de cuarto curso (cuatrimestral de 6 créditos), impartida este año en la Facultad de Informática de la U.P.M. En el último apartado haremos una valoración de esta experiencia y del interés manifestado por los alumnos

Medidas autosemejantes con solapamiento : Dimensión, momentos y aproximación

La tesis se desarrolla en el área de la teoría geométrica de la medida. En 1981, J. E. Hutchinson formalizó una teoría unificada sobre el estudio y la obtención de los conjuntos y medidas autosemejantes. La definición matemática de conjunto autosemejante, que allí se da, permite que las piezas en que se descompone el conjunto autosemejante, se corten, mientras la intersección sea pequeña en comparación con el conjunto. El problema del solapamiento consiste precisamente en estudiar estos conjuntos y medidas, cuando no se pone restricción en los cortes y falla la teoría de Hutchinson. Para abordar este problema el trabajo se centra en el estudio de las convoluciones infinitas de distribuciones de Bernoulli, que llamaremos ICBM (del inglés Inflnitely Convolution Bernoulli Measures), planteado ya en 1935 por B. Jessen y A. Wintner. Este es un ejemplo de medidas autosemejantes con solapamiento que, en principio, puede parecer bastante sencillo ya que se trata de medidas definidas en un intervalo acotado en R a partir de dos semejanzas con igual radio de contracción. Sin embargo, estas medidas se han estudiado durante más de sesenta años y siguen sin resolverse las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia en 1962. En el primer capítulo se describe con detalle el problema de las convoluciones de Bernoulli y los resultados que se han obtenido desde su planteamiento en 1935 hasta la actualidad. Se comienza con una introducción a la teoría de la medida. El capítulo segundo es una introducción la geometría fractal, marco en el que se desarrolla la investigación. El capítulo tercero comienza con la definición de sistemas equivalentes de funciones iteradas y el estudio de las propiedades que permiten obtener un sistema equivalente a uno dado. El método, que consiste en eliminar el solapamiento mediante sistemas equivalentes, es muy restrictivo. Se muestra, mediante un ejemplo, que puede ser efectivo en casos concretos. El resultado central de este capítulo es la aproximación de medidas autosemejantes con solapamiento mediante una sucesión de medidas autosemejantes con condición fuerte de separación, definidas a partir de los cilindros del sistema de funciones iteradas inicial. Para medidas autosemejantes en R, como es el caso de las convoluciones de Bernoulli, la existencia de esta sucesión depende de que se verifique una cierta propiedad que llamaremos F. Se prueba la propiedad F para el sistema de funciones iteradas correspondiente a la convolución infinita de Bernoulli para el inverso de la razón áurea. En el último capítulo se utilizan técnicas de la teoría de los polinomios ortogonales para estudiar las ICBM. El resultado central de este capítulo es el cálculo de una fórmula explícita para los momentos de la familia de convoluciones de Bernoulli. Ésta permite expresar los momentos de orden n de esas medidas como cociente de dos polinomios en la variable r. Se prueba que el coeficiente conductor del polinomio numerador es en valor absoluto el número de Euler E2n. En la siguiente sección se deducen nuevas relaciones para los números de Bernoulli a partir de la fórmula que se ha obtenido para los momentos. A continuación se calcula el comportamiento asintótico de los momentos de las convoluciones infinitas de Bernoulli y de las medidas que se obtienen variando las probabilidades. En la última sección se presentan diferentes cálculos numéricos obtenidos a partir de las fórmulas desarrolladas a lo largo de este capítulo. Se muestra gráficamente la concordancia del teorema de Rakhmanov con los resultados de Erdüs. Por último, se aproxima la función de distribución y la función de densidad, en caso de existir, de las convoluciones de Bernoulli mediante el teorema de representación de Hausdorff con las fórmulas de los momentos obtenidas en las secciones anteriores

Serie de Chebyshev para un operador Schrödinger 1-D ergódico

Las autofunciones {Ψn(ǫ)} (n ∈ Z +) de algunos operadores Schrödinger unidimensionales, de interés tanto académico como tecnológico, tienen una representación en forma de ecuación en diferencias lineal de segundo orden conocida como ecuación de Harper. La dificultad del análisis del espectro de estos operadores en el caso ergódico y la producción científica que ha generado puede consultarse en [9] J. Puig, Cantor Spectrum for the Almost Mathieu Operator, Comm. Math. Phys. 244(2):297-309, 2004. Con las condiciones iniciales adecuadas, se puede asociar a este tipo de operador una familia {Ψn(ǫ)} de autofunciones en forma de polinomios mónicos ortonormales. En [1] J.C. Abderramán, Chebyshev expansion for the eigenfunctions of the almost Mathieu operator, 6th Int. Congress on Industrial and Applied Math. ICIAM07, Zurich, 2007. se usan las propiedades algebraicas de los polinomios de Chebyshev de primera clase en la familia ortonormal de autofunciones, para separar variables y obtener para cada Ψn(ǫ) una expansión en serie de {Tk(ω)}. Los coeficientes de la serie {a (n) k (ǫ, λ)} se obtienen de forma recurrente y la energía ǫ depende de aquellos. En este trabajo se obtienen las matrices de transferencia entre los vectores de coeficientes y se comenta brevemente las propiedades del espectro y de las soluciones según valores de θ

Inclusión como aspecto esencial en organizaciones: religión y genéro

The future of industrial and labour relations is shaping up to be diverse and inclusive. One of the main elements is respect for religious choices, but this is not always the case, as we discuss in the article. Moreover, this inclusion and non-discrimination is obviously one that takes into account equality between men and women. The article explores how both aspects, depending on countries and religious orientations (or non-secularisation, if this is the case) impact on organisations. In addition to the legal perspective, we analyse how this translates into the development of countries.El futuro de las relaciones laborales se perfila diverso e integrador. Uno de los principales elementos es el respeto de las opciones religiosas, pero no siempre es así, como analizamos en el artículo. Además, esta inclusión y no discriminación tiene obviamente en cuenta la igualdad entre hombres y mujeres. El artículo explora cómo ambos aspectos, según los países y las orientaciones religiosas (o la no secularización, si es el caso) repercuten en las organizaciones. Además de la perspectiva jurídica, se analiza cómo se traduce esto en el desarrollo de los países

Prácticas con Algoritmos Fractales

Se presentan ideas para el desarrollo de prácticas con técnicas y algoritmos Fractales. Estas técnicas tienen especial interés en el tratamiento de imágenes, tanto en la generación y simulación como en la compresión

Digitally continuous multivalued functions

We introduce in this paper a notion of continuity in digital spaces which extends the usual notion of digital continuity. Our approach uses multivalued maps. We show how the multivalued approach provides a better framework to define topological notions, like retractions, in a far more realistic way than by using just single-valued digitally continuous functions. In particular, we characterize the deletion of simple points, one of the most important processing operations in digital topology, as a particular kind of retraction

Digital Topology Java Applet

We present here a java applet, accessible through the World Wide Web, which allows to apply to a binary digital image a series of topological algorithms for image processing

A Rakhmanov-like theorem for orthogonal polynomials on Jordan arcs in the complex plane

Rakhmanov's theorem establishes a result about the asymptotic behavior of the elements of the Jacobi matrix associated with a measure ¹ which is de¯ned on the interval I = [¡1; 1] with ¹ 0 > 0 almost everywhere on I. In this work we give a weak version of this theorem, for a measure with support on a connected ¯nite union of Jordan arcs on the complex plane, in terms of the Hessenberg matrix, the natural generalization of the tridiagonal Jacobi matrix to the complex plane

Asymptotically Toeplitz Hessenberg Operators and the Rieman mapping

In a recent work the authors have established a relation between the limits of the elements of the diagonals of the Hessenberg matrix D associated with a regular measure, whenever those limits exist, and the coe?cients of the Laurent series expansion of the Riemann mapping ?(z) of the support supp(?), when this is a Jordan arc or a connected nite union of Jordan arcs in the complex plane C. We extend here this result using asymptotic Toeplitz operator properties of the Hessenberg matriz

Effects of Therapeutic Antibodies on Gene and Protein Signatures in Asthma Patients: A Comparative Systematic Review

[EN]Several biologic therapies that target inflammatory modulators are now used for treating patients with uncontrolled, severe asthma. Knowledge about how this type of treatment modifies the molecular milieu is rapidly increasing. Thus, this systematic review aimed to compile the reported effects of therapeutic antibodies on the transcriptome or proteome of asthma patients. Studies of asthmatic patients under biological treatment describing transcriptomic or proteomic changes upon treatment were included. Preclinical or single gene/protein studies were not considered. PubMed and Scopus search was performed in August and September 2021. Following PRISMA guidelines and GRADE recommendations, we selected 12 studies on gene or protein expression changes in patients treated with the antibodies currently approved by EMA and the FDA. All studies were at low risk of bias as per the RoB2 tool. Different gene clusters have been identified to change upon omalizumab treatment, found a reduction in eosinophil-associated gene signatures after benralizumab treatment, and protein profiles were different in patients treated with mepolizumab and in those treated with benralizumab. The main potential biomarkers proposed by the selected studies are shown. These results may contribute to discovering biomarkers of response and selecting the best therapy for each patient.Instituto de Salud Carlos III; Junta de Castilla y León; Sociedad Española de Alergia e Inmunología Clínic