Застосування натуральної параметризації до апроксимації дискретно поданої кривої

Борисенко, В. Д. Застосування натуральної параметризації до апроксимації дискретно поданої кривої = Application of natural parametrization for approximation of a discrete represented curve / В. Д. Борисенко, І. В. Устенко, А. С. Устенко // Сучасні проблеми моделювання : зб. наук. пр. – Мелітополь : Вид-во МДПУ і. Б. Хмельницького, 2018. – Вип. 13. – С. 11–18.Робота присвячена розробці нового підходу до апроксимації кривої, поданої сукупністю дискретних точок. Аналітичний опис шуканої кривої реалізується із застосуванням натуральної параметризації та лінійного закону розподілу кривини від довжини власної дуги. Для побудови апроксимаційної залежності ординат заданих дискретних точок від їх абсцис необхідно знайти величини п’ятьох параметрів. До цих параметрів відносяться два невідомих коефіцієнти лінійного закону розподілу кривини, довжина дуги, кути нахилу дотичної в початковій та кінцевій точках шуканої кривої. Початкові значення кутів нахилу дотичних визначаються на підставі осереднених величин похідних, які розраховуються по трьох точках методом скінчених різниць, довжина дуги приймається рівною довжині дуги ламаної. Застосування положень диференціальної геометрії до кутів нахилу дотичних дозволяє знайти залежність одного коефіцієнта лінійного закону розподілу кривини від решти параметрів. Розраховується апроксимаційна крива першого наближення і визначаються довжини дуг для точок, які відповідають абсцисам точок вихідних даних. По визначеним довжинам дуг інтегруванням знаходяться ординати проміжно отриманих точок і розраховуються квадрати їх відхилень від заданих дискретних точок. Числовим методом мінімізації функції багатьох змінних знаходяться величини всіх невідомих параметрів. За цільову функцію в цьому обчислювальному процесі приймається сума квадратів відхилень між проміжними та заданими дискретними точками. Розроблений метод призначений для аналітичного подання кривих, якими подаються опукла та увігнута ділянки профілів лопаток осьових компресорів, координати яких задаються у табличній формі.The work is devoted to the development of a new approach to the approximation of the curve presented by a set of discrete points. The analytical description of the desired curve is realized with the use of natural parameterization and the linear law of the distribution of curvature from the length of its own arc. To construct the approximation dependence of the ordinates of the given discrete points from their abscissa, one must find the values of the five parameters. These parameters include two unknown coefficients of the linear law of the distribution of the curvature, the length of the arc, the angles of inclination of the tangent at the initial and the final points of the desired curve. The initial values of the tilt angles are determined on the basis of the averaged values of the derivatives, which are calculated on three points by the method of finite differences, and the length of the arc is assumed to be equal to the length of the arc of the broken. The application of the positions of differential geometry to the tilt angles allows us to find the dependence of one coefficient of the linear law of the distribution of curvature on the remaining parameters. An approximation curve for the first approximation is calculated and the lengths of arcs for the points corresponding to the abscissas of the points of the initial data are determined. By the definite lengths of the arcs, numerical integration contains the ordinates of the intermediate points obtained and calculate the squares of their deviations from the given points. Numerical method of minimizing the function of many variables are the values of all unknown parameters. The target function in this computational process is the sum of squares of deviations between intermediate and given discrete points. The developed method is intended for the analytical representation of the curves, which are presented curved sections of the profiles blades of axial compressors, whose coordinates are given in tabular form.Работа посвящена разработке нового подхода к аппроксимации кривой, представленной совокупностью дискретных точек. Аналитическое описание искомой кривой реализуется с применением натуральной параметризации и линейного закона распределения кривизны от длины собственной дуги. Для построения аппроксимирующей зависимости ординат заданных дискретных точек от их абсцисс необходимо найти величины пяти параметров. К этим параметрам относятся два неизвестных коэффициента линейного закона распределения кривизны, длина дуги, углы наклона касательной в начальной и конечной точках искомой кривой. Начальные значения углов наклона касательных определяются на основании усредненных величин производных, которые рассчитываются по трем точкам методом конечных разностей, а длина дуги принимается равной длине дуги ломаной. Применение положений дифференциальной геометрии к углам наклона касательных позволяет найти зависимость одного коэффициента линейного закона распределения кривизны от остальных параметров. Рассчитывается аппроксимирующая кривая первого приближения и определяются длины дуг для точек, соответствующих абсциссам точек исходных данных. По определенным длинам дуг интегрированием находятся ординаты промежуточно полученных точек и рассчитываются квадраты их отклонений от заданных точек. Численным методом минимизации функции многих переменных находятся величины всех неизвестных параметров. За целевую функцию в этом вычислительном процессе принимается сумма квадратов отклонений между промежуточными и заданными дискретными точками. Разработанный метод предназначен для аналитического представления кривых, которыми описываются выпуклый и вогнутый участки профилей лопаток осевых компрессоров, координаты которых задаются в табличной форме

Модифікація лемніскати Бернуллі та її практичне застосування

Борисенко, В. Д. Модифікація лемніскати Бернуллі та її практичне застосування = Modification of the Bernoulli's lemniscate and its practical application / В. Д. Борисенко, С. А. Устенко, І. В. Устенко // Вчені записки ТНУ ім. В. І. Вернадського. Сер. Технічні науки. – Київ, 2020. – № 3, т. 31 (70), ч. 1. – С. 1–6.Стаття присвячена розробленню методу модифікації лемніскати Бернуллі з метою забезпечення заданих кутів нахилу дотичних у початковій і кінцевій точках ділянки лемніскати, розташованій у ділянці додатних значень абсцис та ординат ортогональної системи координат, а також проведення кривої через проміжну точку. Звичайна лемніската має на початку координат кут нахилу дотичної, рівний 45°. У точці перетину пелюстки лемніскати з віссю абсцис ортогональних координат дотична до неї розташовується перпендикулярно до цієї осі. Для модифікації лемніскати введені два параметри, один із яких є степенем кореня, а другий є деяким раціональним додатним або від’ємним числом, але таким, що не призводить до від’ємного значення косинуса, що знаходиться під знаком кореня. Зміна кута нахилу дотичної в початковій точці реалізується введенням під знак кореня додаткової компоненти. Розроблено метод проведення дуги модифікованої лемніскати через точку, задану в площині розташування лемніскати з довільними кутами нахилу дотичних у початковій і кінцевій точках модельованої дуги модифікованої лемніскати. Метод застосовано до розрахунку координат перехідної кривої, яка влаштовується між прямолінійною та круговою ділянками залізничного шляху. Задача розв’язується за умови, що модельована крива буде дотичною до прямолінійної та кругової рейок, а в точці стикування з круговою ділянкою мати в ній кривину, рівну оберненій величині радіуса кола кругової рейки. Наведені результати моделювання тестового прикладу перехідної кривої залізничного шляху, які підтвердили працездатність розробленого методу модифікації лемніскати Бернуллі. Запропонований метод модифікації лемніскати реалізовано у вигляді комп’ютерного коду, який дає змогу, окрім числових результатів, отримувати графічні зображення модельованих кривих на екрані монітора комп’ютера.The paper is devoted to the development of the method of modification of Bernoulli's lemniscates in order to provide given angles of tangent tangents at the start and end points of the lemniscate's section, located in the region of positive values of the abscissa and ordinates of the Cartesian coordinate system, as well as to draw a curve through an intermediate point. An ordinary lemniscate has a tangent angle of 45° at the origin. At the point of intersection of the petal of the lemniscate with the abscissa axis of Cartesian coordinates, the tangent to it is perpendicular to this axis. To modify lemniscate, two parameters are entered, one of which is the exponent of the root and the other is some rational positive or negative number, but one that does not lead to a negative cosine value under the root sign. Changing the angle of tangent at the starting point is realized by introducing an additional component under the root. The method of drawing a modified lemniscate arc through a point arbitrarily given in the plane of arrangement of the lemniscate with arbitrary angles of tangent at the beginning and end points of the modeled arc of the modified lemniscate is developed. The method is applied to the calculation of the coordinates of the transition curve, which is arranged between the straight and circular sections of the railway track. The problem is solved provided that the modeled curve is tangent to the straight and circular rails, and at a point of joining have a curvature in it equal to the inverse of the radius of the circle of a circular rail. The results of modulation of a test example of a transition curve of the railway track, which confirmed the efficiency of the proposed method of modification of Bernoulli lemniscate. The proposed lemniscate modification method is implemented as a computer code that allows, in addition to numerical results, to obtain graphical representations of simulated curves on a computer monitor screen

Геометричне моделювання просторових перехідних кривих залізничних колій

Борисенко, В. Д. Геометричне моделювання просторових перехідних кривих залізничних колій = Geometric modelling of railways spatial transition curve / В. Д. Борисенко, С. А. Устенко, І. В. Устенко // Радіоелектроніка, інформатика, управління. – 2017. – № 4. – С. 33–39.Актуальність. Питання геометричного моделювання перехідних кривих, які влаштовуються між прямолінійними і круговими ділянками залізничних колій, можна вважати розв’язаним у достатньому ступені. Але існує ряд чинників, що сприяють розробці нових методів моделювання цих важливих ділянок залізничних шляхів. Основними з них є підвищення швидкості руху потягів, збільшення їх маси, обмеженість розмірів території, на якій будується залізнична колія тощо. Важливість цього питання суттєво зростає при прокладці рейок в гірській місцевості, коли потягам доводиться долати підйоми і спуски, огинати природні та штучні перепони. За цих обставин перехідні криві набувають просторового характеру. Мета. Подальший розвиток методу геометричного моделювання просторових перехідних кривих, які влаштовуються між прямолінійними та круговими ділянками залізничних колій, розташованих у двох паралельних площинах. Метод. Перехідні ділянки залізничного шляху моделюються із застосуванням параметричних кривих, в яких за параметр приймається довжина дуги кривої. Для замкнення математичної моделі перехідних кривих приймається, що кривина кривої підпорядковується поліноміальній залежності четвертого степеня, а скруту – другого степеня. Невідомі коефіцієнти цих поліноміальних залежностей, які необхідні для розрахунку координат модельованих перехідних кривих, визначаються числовим методом, зокрема, мінімізацією функціоналу, за який приймається відхилення проміжно отриманої кінцевої точки перехідної кривої від заданої. Результати. На підставі запропонованих теоретичних положень розроблено програмний код розрахунку та візуалізації просторових перехідних кривих, які забезпечують плавний перехід від прямолінійних ділянок залізничного шляху до кругових за умови, що обидві ці ділянки знаходяться в паралельних площинах. Висновки. Запропоновано новий метод моделювання просторових перехідних кривих залізничних колій, які прокладаються на місцевості зі складних рельєфом. Практичною реалізацію багатьох варіантів просторових перехідних кривих, що влаштовуються між прямолінійною і круговою ділянками залізничного шляху, доведена працездатність методу їх геометричного моделювання.Context. The problem of geometric modelling of transitional curves, which are placed between rectilinear and circular sections of railway tracks, can be considered solved sufficiently. However, there are a number of factors that contribute to the development of new methods for modelling these important sections of the railway tracks. The main of them are the increase in the speed of the train, the increase in their mass, the limited size of the territory on which the railway is built, etc. The importance of this issue is greatly increased when laying rails in a mountainous area, when trains have to overcome the ups and downs, bend around natural and artificial obstacles. Under these conditions, the transition curves acquire a spatial character. Objective. Further development of the method of geometric modelling of spatial transition curves, which are placed between rectilinear and circular sections of railway tracks located in two parallel planes. Method. Transitional sections of the railway track are modelled using parametric curves, in which the length of the curve arc is taken as the parameter. To close the mathematical model of the transition curves, it is assumed that the curvature of the curve is subject to a polynomial dependence of the fourth degree, and torsion to the second degree. The unknown coefficients of these polynomial dependencies, which are necessary for calculating the coordinates of the simulated transition curves, are determined by a numerical method, in particular, by minimization of the functional for which the deviation of the intermediate obtained final point of the transition curve from the given one is accepted. Results. On the basis of the proposed theoretical proposition, a program code for calculating and visualizing spatial transition curves providing a smooth transition from rectilinear sections of a railway track to a circular one is developed, provided that both these sections are in parallel planes. Сonclusions. A new method is proposed for modelling the spatial transition curves of railway tracks, which are laid on the terrain with a complex relief. Practical implementation of many variants of spatial transition curves placed between the rectilinear and circular sections of the railway track has proved the operability of the method of their geometric modelling.Актуальность. Задачу геометрического моделирования переходных кривых, которые размещаются между прямолинейными и круговыми участками железнодорожных путей, можно считать решенной в достаточной степени. Однако существует ряд факторов, способствующих разработке новых методов моделирования этих важных участков железнодорожных путей. Основными из них являются повышение скорости движения поездов, увеличение их массы, ограниченность размеров территории, на которой строится железная дорога и др. Важность этого вопроса существенно возрастает при прокладке рельсов в горной местности, когда поездам приходится преодолевать подъемы и спуски, огибать природные и искусственные преграды. В этих условиях переходные кривые приобретают пространственный характер. Цель. Дальнейшее развитие метода геометрического моделирования пространственных переходных кривых, которые размещаются между прямолинейными и круговыми участками железнодорожных путей, расположенных в двух параллельных плоскостях. Метод. Переходные участки железнодорожного пути моделируются с применением параметрических кривых, в которых за параметр берется длина дуги кривой. Для замыкания математической модели переходных кривых принимается, что кривизна кривой подчиняется полиномиальной зависимости четвертой степени, а кручение – второй степени. Неизвестные коэффициенты этих полиномиальных зависимостей, необходимые для расчета координат моделируемых переходных кривых, определяются численным методом, в частности, минимизацией функционала, за который принимается отклонение промежуточно полученной конечной точки переходной кривой от заданной. Результаты. На основании предложенных теоретических положений разработана программа расчета и визуализации пространственных переходных кривых, обеспечивающих плавный переход от прямолинейных участков железнодорожного пути к круговым при условии, что оба эти участка находятся в параллельных плоскостях. Выводы. Предложен новый метод моделирования пространственных переходных кривых железнодорожных путей, которые прокладываются на местности со сложным рельефом. Практической реализацией многих вариантов пространственных переходных кривых, размещаемых между прямолинейным и круговым участками железнодорожного пути, доказана работоспособность метода их геометрического моделирования

Моделювання профілів лопаток осьових турбомашин еліпсами Ламе

Борисенко, В. Д. Моделювання профілів лопаток осьових турбомашин еліпсами Ламе = Of an axial flow turbomachine blades by Lame's ellipses / В. Д. Борисенко, І. В. Устенко, А. С. Устенко // Вчені записки ТНУ ім. В. І. Вернадського. Сер. Технічні науки. – Київ, 2019. – № 5, т. 30 (69), ч. 1. – С. 56–62.Стаття присвячена розробці методу геометричного моделювання спинки та коритця профілю лопатки осьової турбомашини із застосуванням еліпсів Ламе. Вхідні та вихідні кромки описуються дугами кіл. Еліпси будуються в косокутних системах координат, осі яких проходять через точки торкання спинки чи коритця профілю з колами вхідної та вихідної кромок. Одна з осей косокутної системи координат проводиться паралельно дотичній в кінцевій точки спинки або коритця, а друга – паралельно дотичній в початковій точці обводу профілю. Сумісним розв’язанням рівнянь, якими подаються осьові лінії, знаходяться центри косокутних систем координат. В цих системах координат будуються еліпси Ламе окремо для спинки та коритця профілю. Встановлено зв’язок між косокутними та ортогональними координатами точок обводів профілів. У рівняннях еліпсів Ламе застосовуються показники степенів, відмінні від двох. Значення цих показників степенів визначаються в ітераційному процесі моделювання бажаної кривої, яка має задовольняти потрібним величинам геометричних кутів входу та виходу потоку. Пошук показників степенів еліпсів Ламе пов’язаний із забезпеченням проходження спинки модельованого профілю через горло каналу, а коритця – дотично до кола максимального радіусу, вписаного в профіль. Усього при моделюванні профілю лопатки осьової турбомашини задіяні 13 лінійних і кутових параметрів. На підставі запропонованого методу розроблено комп’ютерний код, який, окрім числових даних по координатах точок модельованого профілю, надає користувачу можливість візуалізовувати отримані результати у графічному вигляді на екрані монітора комп’ютера. Наведені результати моделювання тестового прикладу профілю лопатки, які підтвердили працездатність запропонованого методу геометричного моделювання профілів лопаток осьових турбомашин.The article is devoted to the development of a method for geometric modeling of the airfoil profiles of axial flow turbomachine blades using Lame ellipses. The leading and trailing edges are described by circles. Ellipses are constructed in oblique coordinate systems whose axes pass through the touch points of the suction or pressure side of the modeled airfoil profile with the circles of the leading and trailing edges. One of the axes of the oblique coordinate systems is parallel to the tangent at the end point of the suction or pressure side, and the second is parallel to the tangent at the starting point of the side of the modeled airfoil profile. Compatible solving equations that describe axial line define centers oblique coordinate systems. In these coordinate systems, Lame ellipses are constructed separately for the suction and pressure sides of the profile. The connection between the oblique and orthogonal coordinates of the profile points is established. The exponents of power other than two are used in Lame ellipse equations. The values of these exponents of power are determined in the iterative process of modeling the given curve, which should satisfy the required values of the geometric angles of the input and output of the flow. The search for the exponents of power of the Lame ellipses is associated with ensuring the passage of the airfoil profile suction side through the throat of the channel, and the pressure side tangent to the circle of maximum radius inscribed in the airfoil profile. In total, 13 linear and angular parameters are involved in modeling the airfoil profile of the blade of an axial flow turbomachine. Based on the proposed method, a computer code was developed that, in addition to the numerical data on the coordinates of the points of the modeled profile, gives the user the ability to visualize the results obtained graphically on a computer monitor screen. The results of modeling of a test example of the blade profile, which confirmed the workability of the proposed method of geometric modeling of blades profiles of axial turbomachines, are presented

Devising an Approach to the Geometric Modeling of Railroad Tracks Along Curvilinear Sections

This paper proposes an approach to arranging curvilinear sections of the railroad track, which involves the replacement of two transitional ones and a circular curve with one curvilinear section. Modeling this section implies the construction of a curve in the plan and profile, the joint consideration of which forms the spatial appearance of the curve, which ensures a smooth transition between the rectilinear rails. The need for such transitions is due to the terrain, the need to bypass settlements, and the presence of geological, geographical, and other obstacles that occur when laying railroads. A curvilinear section is modeled in the plan using a curve that is represented in natural parameterization under the law of curvature distribution in the form of a fifth-power polynomial. At the same time, at the start and end points of the section, the curvature and its derivative accept zero values. The outer rail elevation retraction (modeling in the profile) is performed using the curve built, whose sections are also represented in natural parameterization with the dependences of the curvature distribution on the arc length in the form of fourth-power polynomials. At the docking point of the sections, the third order of smoothness is ensured, which implies the equality of values of the functions, their derivatives, the curvature, and a derivative of the curvature from the length of its natural arc. Measures have been proposed to ensure the predefined track gauge retraction. The application of the proposed approach to model a railroad track along the curvilinear section with a variable-radius curve could make it possible to achieve a favorable curvature distribution, a smooth elevation retraction of the outer rail and the track gauge. That would consequently improve the safety of rolling stock running along the curvilinear section of the track, reduce the lateral and vertical efforts that predetermine the wear of rails and wheelsets

Constructing a Method for the Geometrical Modeling of the Lame Superellipses in the Oblique Coordinate Systems

The elliptic curves possess a certain disadvantage related to that at the point of intersection with the coordinate axes the ellipses have tangents perpendicular to these axes. However, such a situation is undesirable for some practical applications of ellipses. It can be prevented by modeling the specified curves in oblique coordinates, which, in turn, are related to a certain original Cartesian coordinate system. The Lamé superellipses are understood to be the curves whose equations include the exponents that differ from those inherent in regular ellipses. Variating these exponents can produce a wide range of different curves. This paper has proposed a method for the geometric modeling of superellipses in the oblique coordinate systems. The source data for modeling are the coordinates of the two points with the known angles of the tangent slope. The accepted axes of the oblique coordinate system are the straight lines drawn as follows. Through the first point, a line parallel to the tangent at the second point is built, and at the second point, a line parallel to the tangent at the first point is constructed. It has been shown that these operations could yield the desired values of tangent angles at intersection points of the superellipse with axial lines. It has been proven that the superellipse arc could be drawn through a third given point with the required angle of the tangent; that, however, would require determining the exponents in the superellipse equation by a numerical method. Such a situation occurs, for example, when designing the projected profiles of axial turbine blades. Based on the proposed method of modeling the superellipse curves, a computer code has been developed that could be used in describing the contours of components applied in the technologically complex industrie