The concept of finite limit of a function at one point as explained by students of non-compulsory secondary education

We review various educational studies of the mathematical concept of limit of a function at a point that indicate how colloquial uses of the terms “to approach,” “to tend toward,” “to reach,” “to exceed” and “limit” influence students’ conceptions of these terms. We then present the results of an exploratory study of this question performed with Spanish students in non-compulsory secondary education and analyze the responses they provide to justify the truth or falsity of statements related to the different characteristics of the concept of finite limit of a function at a point when they use these terms. Finally, we organize their answers according to the kinds of arguments made. Using the response profiles detected, we discuss the influence of everyday usage on the students’ arguments

Taller: límite en el estudio del movimiento

En este taller vamos a explorar los modos en que el movimiento puede interpretarse según cuáles sean los diversos conjuntos numéricos que modelen las magnitudes físicas espacio y tiempo. Tomamos en consideración tres tipos esenciales de modelos: El discreto (Números decimales con un número acotado de cifras decimales significativas, incluyendo los números naturales), el denso (números racionales, del cual destaca el subconjunto denso de los números decimales exactos) y el continuo (Números reales). Cada uno de estos modelos provee al movimiento resultante de unas propiedades deducidas de manera lógica y que pueden, o no, contradecir la observación empírica del fenómeno real

Meanings of the concept of finite limit of a function at a point: Background and Results

Eight Congress of European Research in Mathematics Education (CERME 8). Manavgat-Side, Antalya - Turkey, 6-10 February 2013.In this paper we present a description of previous work carried out by the authors on the general issue of designing and implementing a didactical planning for Spanish students from non-compulsory secondary education, 16-17 years old. The current research has as its aim to describe the meanings that students associate to specific terms from the language, such as, “to approach,” “to tend,”“to reach,”“to exceed,” and “to converge.” Prior to the study, we reviewed the mathematical use of these terms and we contrast this with the colloquial use of the terms. From the semi- structured interviews used to gather information, we provide an analysis of the written data. It is important to highlight that students have contributed with a variety of meanings, in addition to those from the previous review.This study was performed with aid and financing from Fellowship FPU AP2010- 0906 (MEC-FEDER), project EDU2012-33030 of the National Plan for R&D&R (MICIN), Subprogram EDUC, and group FQM-193 of the 3rd Andalusia Research Plan (PAIDI)

Formal verification of a generic framework to synthesize SAT-provers

We present in this paper an application of the ACL2 system to generate and reason about propositional satis ability provers. For that purpose, we develop a framework where we de ne a generic SAT-prover based on transformation rules, and we formalize this generic framework in the ACL2 logic, carrying out a formal proof of its termination, soundness and completeness. This generic framework can be instantiated to obtain a number of veri ed and executable SAT-provers in ACL2, and this can be done in an automated way. Three instantiations of the generic framework are considered: semantic tableaux, sequent and Davis-Putnam-Logeman-Loveland methods.Ministerio de Ciencia y Tecnología TIC2000-1368-C03-0

Concepto de límite finito de una función en un punto: aspectos estructurales y definiciones personales

El objeto de este trabajo consiste en describir e interpretar las definiciones personales acerca del concepto de límite finito de una función en un punto en términos de aspectos estructurales, compilados de investigaciones previas. Estos aspectos estructurales son: la interpretación como objeto o como proceso de la noción de límite, algoritmos y destrezas prácticas para su cálculo, su alcanzabilidad y su rebasabilidad. A partir de esos aspectos estructurales, analizamos las definiciones personales aportadas por un grupo de estudiantes de bachillerato sobre el concepto de límite finito de una función en un punto. Entre los resultados destacamos la riqueza de estas definiciones por razón del carácter no alcanzable y no rebasable del límite, y por su consideración dual como objeto o proceso

Definiciones personales y aspectos estructurales del concepto de límite finito de una función en un punto

Describimos e interpretamos las definiciones aportadas por un grupo de estudiantes de bachillerato sobre el concepto de límite finito de una función en un punto en términos de aspectos estructurales, compilados y sintetizados de investigaciones previas. Los aspectos estructurales son la interpretación como objeto o como proceso de la noción de límite, los algoritmos y las destrezas prácticas para su cálculo, su alcanzabilidad y su rebasabilidad. A partir de ellos, analizamos las definiciones recogidas. Entre los resultados, destacamos la riqueza de significado de estas definiciones por razón del carácter no alcanzable y no rebasable atribuido al límite y por su consideración dual como objeto o proceso

Relación entre representaciones gráficas y simbólicas del concepto de límite finito de una función en un punto

Esta comunicación presenta un estudio exploratorio y descriptivo sobre los modos en los que un grupo de estudiantes de bachillerato describen gráficas de funciones mediante enunciados simbólicos. Se analizan las respuestas de los estudiantes a una tarea consistente en relacionar cuatro gráficas de funciones con pares de enunciados simbólicos propuestos. Los resultados muestran cómo esos estudiantes son capaces de asociar enunciados de propiedades de una función a partir de información gráfica sobre la misma. Mostramos un análisis más detallado de los pares de propiedades asociados a una gráfica particular describiendo las concepciones erróneas subyacentes. Por otro lado, se detecta un uso singular de pares de propiedades que son contradictorias en general y un uso ambiguo de la desigualdad entre el límite de la función en un punto y su imagen en ese mismo punto

Formal Correctness of a Quadratic Unification Algorithm

We present a case study using ACL2 [5] to verify a non-trivial algorithm that uses efficient data structures. The algorithm receives as input two first-order terms and it returns a most general unifier of these terms if they are unifiable, failure otherwise. The verified implementation stores terms as directed acyclic graphs by means of a pointer structure. Its time complexity is O(n2) and its space complexity is O(n), and it can be executed in ACL2 at a speed comparable to a similar C implementation. We report the main issues encountered to achieve this formally verified implementation

Constructing Formally Verified Reasoners for the ALC Description Logic

Description Logics are a family of logics used to represent and reason about conceptual and terminological knowledge. Recently, its importance has been increased since they are used as a basis for the Ontology Web Language (OWL) used for the Semantic Web. In previous work, we have developed in PVS a generic framework for reasoning in the ALC description logic, proving its termination, soundness and completeness. In this paper we present the construction, from the generic framework, of a formally verified generic tableau– based algorithm for checking satisfiability of ALC –concepts. We do it using a methodology of refinements to transfer the properties from the framework to the algorithm. We also obtain some verified reasoners from the algorithm by a process of instantiation.Ministerio de Educación y Ciencia TIN2004–0388

Verification in ACL2 of a Generic Framework to Synthesize SAT–Provers

We present in this paper an application of the ACL2 system to reason about propositional satisfiability provers. For that purpose, we present a framework where we define a generic transformation based SAT–prover, and we show how this generic framework can be formalized in the ACL2 logic, making a formal proof of its termination, soundness and completeness. This generic framework can be instantiated to obtain a number of verified and executable SAT–provers in ACL2, and this can be done in an automatized way. Three case studies are considered: semantic tableaux, sequent and Davis–Putnam methods.Ministerio de Ciencia y Tecnología TIC2000-1368-C03-0