Spectral study of operator semigroups and functional calculus. Applications Estudio espectral de semigrupos de operadores y calculo funcional. Aplicaciones

Los operadores integrales han sido objetos matemáticos de gran interés e importancia en el análisis funcional y la teoría de operadores desde el mismo comienzo de ambos campos, y han sido estudiados desde diferentes puntos de vista a lo largo de los años. En esta memoria, estamos interesados en las relaciones de los operadores integrales con grupos y semigrupos de operadores. Veamos a continuación un ejemplo ilustrativo de dicha relación. Sea $H$ un núcleo de Hardy en $(0,\infty)\times (0,\infty)$. En particular, $$(\forall y>0)\quad H(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1} H(x,y), \quad x,y>0.$$ Entonces, el operador integral $T_H$ asociado a $H$ está determinado por $$(T_H f)(y) := \int_0^\infty H(x,y)f(x)\,dx, \, y > 0,$$siempre que f:(0,\infty)\to \CC sea una función adecuada. El operador $T_H$ se puede expresar como una integral vectorial si aplicamos dos sencillos cambios de variable: para $y>0$,\begin{align*} (T_H f)(y):=\int_0^\infty H(x,y) f(x) dx&= \int_0^\infty y^{-1}H(y^{-1}x,1) f(x) dx\\ & =\int_0^\infty H(u,1) f(uy) du=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) f(e^{-t}y) dt;\end{align*}es decir, el operador integral $T_H$ se puede escribir como\begin{equation}\label{THesp} T_H f=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) E(t)f\, dt,\end{equation}donde (E(t))_{t\in \RR} es el \textit{grupo} de operadores dado por $E(t)f := f(e^{-t}(\cdot))$, t \in \RR.El ejemplo anterior se puede interpretar como un caso particular de subordinación de operadores, esto es, operadores $\mathcal T$ en un espacio de Banach $X$ determinados por una integral vectorial (Bochner convergente) del tipo\begin{equation}\label{subordinationEsp} {\mathcal T}f=\int_\Omega \varphi(t) T(t)f\ dt, \quad f\in X,\end{equation}donde \varphi:\Omega\to\CC es una función apropiada, $\Omega = (0,\infty)$ o \Omega = \RR, y $(T(t))_{t\in \Omega}$ es un $C_0$-semigrupo (si $\Omega = (0,\infty)$) o un $C_0$-grupo (si \Omega = \RR) de operadores en $X$. En este contexto, una idea que ha resultado fructífera a lo largo de los años es la transferencia de información de propiedades desde el (semi)grupo $(T(t))$ hacia el operador $\mathcal T$. Para ello, resulta esencial la representación del operador $\mathcal T$ en términos del generador infinitesimal $\Delta$ del (semi)grupo $(T(t))$, lo cual nos permite interpretar \eqref{subordinationEsp} en términos de un cálculo funcional de funciones holomorfas. Nosotros adoptamos este punto de vista en la memoria, de modo que los grupos y semigrupos de operadores se encuentran en el núcleo del trabajo desarrollado aquí. De hecho, gran parte de los resultados e ideas expuestos en este documento están inspirados por las acciones de semigrupos en espacios de Banach.Sea $(T(t))$ un $C_0$-semigrupo en un espacio de Banach $X$, y sea $\mathcal T$ un operador acotado en $X$ obtenido por una subordinación con respecto a $(T(t))$ como en \eqref{subordinationEsp}. El subespacio imagen \ran \mathcal T := \mathcal T(X) es un ejemplo de rango de operador. Los rangos de operadores han sido estudiados en numerosos artículos, como por ejemplo \cite{arias2009lifting, arias2013additivity,fillmore1971operator, foiacs1972invariant,kitson2011operator,nordgren1976operator,nordgren1979invariant}, y su estudio se remonta al tratado seminal de Dixmier \cite{dixmier1949etude}. Sin embargo, las posibles conexiones entre representaciones de grupos en espacios de Banach y los rangos de operadores no han sido exploradas con profundidad en la literatura. En esta dirección, parece natural la siguiente pregunta. Sea (T(t))_{t\in \RR} un grupo que es un subgrupo de un grupo estrictamente más grande $G$, tal que el rango de operador \ran \mathcal T es $G$-invariante. ¿Bajo que condiciones (T(t))_{t\in \RR} (ó $G$) inducen un $C_0$-grupo en el espacio rango \ran \mathcal T? Esta pregunta está parcialmente originada con la finalidad de aplicar la teoría desarrollada en \cite{beltictua2014linear} a los espacios de derivación fraccionaria introducidos en \cite{gale2021rkh}, y no resulta sencilla de responder. Dicha pregunta está estrechamente relacionada con la caracterización intrincada, en términos de descomposiciones espectrales, del subálgebra de operadores acotados que dejan un operador rango invariante, véase \cite{nordgren1979invariant}. Con el objetivo de entender mejor este problema, se ha dado un primer paso en esta dirección en \cite{oliva2021lie}, en un marco abstracto de representaciones de grupos de Banach-Lie. Sin embargo, no proseguiremos con esta línea de investigación en la memoria. En vez de ello, centramos nuestro trabajo en las propiedades espectrales propias del operador $\mathcal T$. Para ello, notamos que en general no es posible describir el espectro de $\mathcal T$ directamente a partir del espectro del (semi)grupo $(T(t))$ dado en \eqref{subordinationEsp}, ya que las igualdades no se dan en los teoremas de aplicación espectral en este contexto. Sin embargo, dadas las hipótesis adecuadas, es posible obtener información del espectro de $\mathcal T$ a partir del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ de $(T(t))$ a través de una representación del tipo $\mathcal T = \int_\Omega \varphi(t)e^{t \Delta}\, dt$. Por tanto, es claro que un análisis detallado del espectro de los generadores infinitesimales de $C_0$-(semi)grupos es conveniente para nuestros fines. En particular, nos centramos en esta memoria en dos casos importantes de (semi)grupos de composición pesados que actúan en el disco unidad complejo \DD.(E(t))_{t\in \RR} es un ejemplo interesante de un ($C_0$-)grupo de operadores de composición sobre espacios de funciones en $(0,\infty)$, el cual está relacionado de una forma natural con los operadores de tipo Hardy, ver \eqref{THesp}. Este grupo tiene aplicaciones en el análisis de la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Además, (E(t))_{t\in \RR} ha sido empleado para la representación de operadores de Cesàro-Hardy por medio de resolventes \cite{aleman2010resolvent, arvanitidis2013cesaro, lizama2014boundedness}, véase también \cite{gale2021rkh}. A través de una transformada de M\"obius pesada, el grupo (E(t))_{t\in \RR} es isomorfo al grupo de operadores de composición (C_{\varphi_t})_{t\in \RR} inducido por el flujo hiperbólico (\varphi_t)_{t\in \RR}, dado por \varphi_t (z) := \frac{(e^t+1)z+e^t-1}{(e^t-1)z+e^t+1}, \quad z \in \DD, \, t \in \RR;es decir, C_{\varphi_t}f := f \circ \varphi_t, \, f \in \mathcal O(\DD), donde \mathcal O(\DD) := \{f : \DD \to \CC \, : \, f \mbox{ holomorfa}\}.Uno de los objetivos de esta memoria es el estudio de $C_0$-grupos de composición pesados (v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}, donde (\psi_t)_{t\in \RR} es un flujo de automorfismos hiperbólicos del disco \DD y (v_t)_{t\in \RR} es un cociclo para el flujo (\psi_t)_{t\in\RR}. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo (u_t C_{\varphi_{t}})_{t\in \RR}, donde (u_t)_{t\in \RR} es un cociclo adecuado para el flujo (\varphi_t)_{t\in \RR}. Como consecuencia de este estudio, obtenemos una descripción precisa del espectro de operadores integrales promedio $\mathcal T$ en \DD, obtenidos a partir de una subordinación como en \eqref{subordinationEsp} por grupos del tipo (v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}. Los operadores así obtenidos son generalizaciones de otros dos operadores que están conectados con los operadores de tipo Cesàro. Uno de ellos es un operador integral introducido en \cite{siskakis1986weighted} por A. Siskakis, y el otro es el operador de la matriz reducida de Hilbert. Nuestro estudio espectral para el generador infinitesimal $\Delta$ es llevado a cabo cuando el grupo (u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR} actúa en una familia de espacios de Banach entre los que se encuentran los espacios de Hardy, los espacios de Bergmann pesados, los espacios de Dirichlet pesados, los espacios little Bloch, los espacios little Korenblum y el álgebra del disco. Para ello, seguimos un enfoque unificado que nos permite obtener la descripción espectral de $\Delta$ siempre que el espacio de funciones holomorfas satisfaga ciertos axiomas. Por otro lado, los cociclos (u_t)_{t\in \RR} han de cumplir ciertas condiciones (poco restrictivas) que implican que (u_t)_{t\in \RR} se puede representar como $u_t = (\omega \circ \varphi_t)/\omega$, t\in \RR, para cierta función holomorfa (también llamada peso) \omega:\DD \to \CC que no presenta ceros en \DD, véase \cite{konig1990semicocycles}. Uno de los resultados relevantes de esta tesis es que tal peso $\omega$ presenta ceros o singularidades de tipo polinomiales en los puntos Denjoy-Wolf de (\varphi_t)_{t\in \RR}, esto es en $-1$ y en $1$.Además, el estudio presentado aquí para los grupos (u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR}, o para los grupos más generales (v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}, tienen aplicaciones en ciertas conjeturas sobre el espectro de operadores de composición de tipo hiperbólico con pesos invertibles $v C_\psi$; es decir, donde $\psi$ es un automorfismo hiperbólico del disco \DD y donde $v$ es un multiplicador invertible, véase \cite{hyvarinen2013spectra, eklund2016spectral}. En efecto, respondemos de forma afirmativa a dichas conjeturas en el caso de que el operador $vC_{\psi}$ pueda verse como un elemento de un grupo de operadores (v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}.Por otro lado, surge de forma natural el estudio de otros semigrupos de composición pesados usando técnicas inspiradas por las explicadas anteriormente para los automorfismos hiperbólicos. Más precisamente, consideramos semigrupos asociados a semiflujos cuyo punto de Denjoy-Wolf se encuentra en el disco \DD, y que tienen un número finito de puntos repulsivos en la frontera \partial \DD, esto es, en el círculo \torus. Dichos semiflujos vienen inspirados como una versión abstracta del semiflujo analítico\phi_{t,n}(z):={e^{-t}z\over((e^{-nt}-1)z^n+1)^{1/n}},\quad z\in\DD, t\ge0, n\in\NN.Además, estos semiflujos aparecen, de una forma natural, relacionados con el estudio de operadores inducidos por matrices de Hausdorff en espacios de funciones holomorfas en \DD. En este documento, hacemos uso del estudio espectral del generador de dichos semigrupos para obtener propiedades de acotación y propiedades espectrales de operadores generalizados de Hausdorff en el contexto de espacios de Hardy, espacios de Bergmann pesados, y espacios little Korenblum. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado y riguroso de funciones multivaluadas asociadas a ciertos semicociclos, las cuales también aparecen de forma natural al considerar pesos multivaluados asociados a los integrales promedio. Hemos de notar que, si bien el espectro de familias de operadores de composición pesados no invertibles se ha estudiado en \cite{galindo2020spectra} en condiciones más generales que las dadas en este documento, el espectro de su generador infinitesimal (en el caso de que sean elementos de un semigrupo) no era conocido hasta la fecha.Con el objetivo de transferir mediante la fórmula de subordinación \eqref{subordinationEsp} información espectral del generador infinitesimal $\Delta$ a los operadores integrales $\mathcal T$ en los que estamos interesados, debemos aplicar un cálculo funcional apropiado (asociado a $\Delta$), así como unos teoremas de aplicación espectral; es decir, igualdades del tipo$$\widetilde \sigma(\mathcal T) = f(\widetilde \sigma(\Delta)),$$donde $f$ es una función en el dominio del cálculo funcional de $\Delta$ tal que $\mathcal T = f(\Delta)$, y donde $\widetilde \sigma$ representa el espectro extendido. Dicho teorema de aplicación espectral fue dado en \cite{haase2005spectral} en el marco de operadores sectoriales y para funciones meromorfas $f$ tales que: 1) \sigma(\Delta) \setminus \{0\} \subset \dom(f); 2) $f$ tiene `límites casi-logarítmicos' en $\widetilde \sigma(\Delta)\cap\{0,\infty\}$. En particular, dicho teorema de aplicación espectral es válido para operadores adecuados $\mathcal T$ que están subordinados a $C_0$-semigrupos. Para cubrir el caso en el que $\mathcal T$ está subordinado a un $C_0$-grupo, hemos de adaptar cuidadosamente los resultados de \cite{haase2005spectral} al marco de operadores de tipo bisectorial. Es más, extendemos el teorema de aplicación espectral de modo que también sea aplicable a diversos subconjuntos espectrales $\widetilde\sigma_i$, todos ellos denominados como `espectro esencial' en la bibliografía por diferentes autores (en particular, el usual espectro esencial $\widetilde\sigma_{ess}$ definido en términos de operadores de tipo Fredholm). Dicha extensión es un avance considerable con respecto a los teoremas de aplicación espectral para espectros esenciales dados en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}, ya que la clase de funciones considerada aquí es significativamente más amplia y grande que la considerada en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}. Además, respondemos afirmativamente (incluso para todos los espectros esenciales considerados aquí) a una pregunta sugerida por Haase en \cite{haase2005spectral}. Dicha pregunta plantea si el teorema de aplicación espectral se sigue cumpliendo si, en vez de `límites casi-logarítmicos', la función $f$ en cuestión tiene límites `casi-regulares'.En otra dirección, el operador de Cesàro, el cual puede ser representado con una subordinación en términos del grupo (E(t))_{t\in \RR} como en \eqref{subordinationEsp}, está estrechamente relacionado con la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Es por ello que el estudio de las versiones fraccionarias de la ecuación de Black-Scholes inducidas por los operadores fraccionarios de Cesàro (los cuales también se pueden subordinar a (E(t))_{t\in\RR}) surge de una forma natural. Dado $\alpha>0$, estas ecuaciones fraccionarias vienen dadas por\begin{equation}\label{GBSEIntroEsp} \begin{aligned} %\textcolor{red}{(-1)^{n+1}} \frac{\partial f}{\partial t} & = \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f)) - \frac{2}{\Gamma(\alpha+1)} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f) + f, \\ %\textcolor{red}{(-1)^{n+1}} \frac{\partial f}{\partial t} &= \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} x^\alpha W^\alpha (x^\alpha W^\alpha f), \\ \frac{\partial f}{\partial t} & = - \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^{2\alpha} W^\alpha f)+\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}x^\alpha W^\alpha f, \end{aligned}\end{equation}donde \riemannDerivative^\alpha denota la derivada de orden fraccionario de Riemann-Liouville, y $W^\alpha$ denota la derivada de orden fraccionario de Weyl.El estudio del buen planteamiento de los problemas (abstractos) de Cauchy asociados a las ecuaciones anteriores no resulta trivial en absoluto. En efecto, la aparición conjunta de derivadas de orden fraccionario, junto con la multiplicación por potencias de orden fraccionario, hace que dichas ecuaciones sean difíciles (quizá imposibles) de resolver usando métodos clásicos. Por otro lado, las ecuaciones \eqref{GBSEIntroEsp} se pueden representar a través del cálculo funcional regularizado del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo (E(t))_{t\in \RR}. Es más, las funciones (pertenecientes al dominio de dicho cálculo funcional) que aparecen en dicha representación poseen singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Por ello, resulta pertinente la propiedad de escalamiento, la cual nos garantiza que el operador fraccionario $\Delta^\alpha$ induce un problema de Cauchy bien planteado para valores de $\alpha$ adecuados. En este sentido, demostramos (en un marco abstracto de operadores de tipo bisectorial y operadores sectoriales) una extensión de la propiedad de escalamiento que, en particular, implica que $f(\Delta)$ induce un problema de Cauchy bien planteado si $f$ tiene singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Esta extensión de la propiedad de escalamiento, junto con una serie de resultados auxiliares, nos permite demostrar el buen planteamiento de las ecuaciones fraccionarias de tipo Black-Scholes \eqref{GBSEIntroEsp}, y además de ello, obtener fórmulas explícitas de sus soluciones. \medskipLa memoria está organizada como se expone a continuación.Tras esta introducción (y su versión en inglés), se encuentra un primer capítulo preliminar donde ciertas definiciones y resultados son recordados. La primera parte del Capítulo \ref{chapterSpectra} está dedicada a la adaptación (de una forma estándar) del `cálculo funcional regularizado' desde el marco de operadores sectoriales (véase \cite{haase2005general, haase2006functional}) a operadores de tipo bisectorial, lo cual será necesario para el enfoque unificado que llevaremos a cabo. La segunda parte de este capítulo está dedicada a la demostración de los teoremas de aplicación espectral para los distintos espectros esenciales. Después, en el Capítulo \ref{chapterScaling}, presentamos extensiones de la propiedad de escalamiento sobre potencias fraccionarias de operadores, y aplicamos dichas extensiones, junto con el cálculo funcional regularizado, para resolver ecuaciones generalizadas de Black-Scholes en espacios de interpolación. El contenido de los Capítulos \ref{chapterSpectra} y \ref{chapterScaling} se puede encontrar en \cite{oliva2022spectral, oliva2023introducing}.El Capítulo \ref{chapterMultivalued} contiene un análisis sobre funciones multivaluadas necesario para la representación de los semicociclos que aparecen en el Capítulo \ref{chapterHausdorff}, donde presentamos nuestros resultados sobre operadores generalizados de Hausdorff y semigrupos de composición pesados inducidos por semiflujos con punto de Denjoy-Wolf en \DD y con un número finito de puntos repulsivos en \torus. El contenido de estos capítulos es el objeto de estudio de un trabajo en desarrollo en colaboración con L. Abadías \cite{abadias2023spectra}.El Capítulo \ref{chapterHyperbolic} está dedicado al estudio detallado del espectro del generador infinitesimal de grupos de composición pesados inducidos por flujos hiperbólicos, así como a las consecuencias de estos resultados en los operadores integrales subordinados mencionados anteriormente. Estos resultados se encuentran en \cite{abadias2022weighted}.Finalmente, en la Adenda \ref{chapterHardy}, señalamos diferentes resultados para los operadores de Hardy, resultados en direcciones similares a las mencionadas anteriormente. El material correspondiente a esta adenda se puede encontrar en \cite{miana2020spectra, miana2021integral, oliva2021connection,oliva2022hardy}.<br /

Teoría de distribuciones y aplicaciones

En el estudio de ecuaciones diferenciales y análisis matemático en general, así como en Física, aparecen de forma natural objetos matemáticos que no son funciones, pero que requieren de cálculos y operaciones como si lo fueran. Genéricamente, reciben el nombre de funciones generalizadas y en este contexto destaca por su alcance la Teoría de Distribuciones. No obstante, en la práctica, y en varios campos, esta teoría se aplica de modo algo superficial, sólo reparando en reglas formales de uso. En esta memoria se procede a mostrar, en su primera mitad, una parte significativa de la configuración intrínseca de las distribuciones para, en su segunda fase, aplicar la maquinaria resultante de tal configuración a diversos ejemplos notables tomados de la teoría de ecuaciones y de la Física.En el presente trabajo, se lleva a cabo la descripción estructural de las distribuciones sobre la base de la teoría de espacios localmente convexos y del concepto de límite inductivo, junto con la noción de dualidad como elemento clave que permite trasladar operaciones sobre funciones a distribuciones (diferenciación, multiplicación, convolución (parcialmente) y transformadas de Fourier y Laplace). En segundo lugar, se exponen aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales de la FísicaMatemática, en Mecánica Cuántica y en Teoría Cuántica de Campos. A causa de la limitación de espacio, la teoría se centra especialmente en los resultados que luego serán explícitamente utilizados en las aplicaciones mencionadas.<br /

On asymptotic behaviour of one-parameter families of bounded operators on Banach spaces

El estudio del comportamiento asintótico de familias uniparamétricas (en particular, C0-semigrupos) de operadores en un espacio de Banach ha recibido mucha atención en los últimos años. La convergencia a cero de las órbitas de una familia dada es un objeto de estudio central en teoría de operadores y ecuaciones diferenciales. Bajo condiciones de muy diversa naturaleza, y motivados por sus aplicaciones en las ecuaciones diferenciales, se ha obtenido un importante número de resultados sobre estabilidad de C0-semigrupos y otras familias. Una panorámica completa de las técnicas utilizadas y los resultados obtenidos en este tema puede encontrarse en [B, CT, EN, N]. 1. RESUMEN DEL CONTEXTO: El propósito de esta sección es presentar el conjunto de resultados que han motivado y permiten situar y comprender adecuadamente los obtenidos en la memoria de tesis doctoral. 1.1. ESTABILIDAD DE SEMIGRUPOS: Sea X un espacio de Banach complejo y A un operador cerrado en X con dominio D(A) y rango R(A). Sea también u: [0,1) → X una función continua (con valores vectoriales), diferenciable en (0,1) y tal que u(t) ∈ D(A) para todo t > 0. El problema abstracto de Cauchy (PAC) para A consiste en encontrar una función u en las condiciones anteriores y que verique la ecuación u’(t) = Au(t); t > 0; u(0) = x; x ∈ X; donde x ∈ X es un valor inicial dado. Se dice que el problema está bien planteado si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo fuertemente continuo T(t) de operadores lineales y acotados en X. En ese caso, la solución u viene dada por u(t) = T(t)x, t >0. Una cuestión importante sobre el comportamiento de una tal solución u es si es o no estable, lo que equivale a decir, por definición, que u(t)→ 0 cuando t→∞. Así, para un x ∈ X dado, se dice que la órbita {T(t)x : t >0} es estable cuando limT(t)x = 0 (t→∞), y que el semigrupo T(t) es estable si todas sus órbitas son estables. A continuación, recordamos algunos resultados fundamentales sobre estabilidad. EL TEOREMA DE LIAPUNOV: Comenzamos con el caso más sencillo. Denotemos por B(X) al álgebra de Banach de los operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X. Suponer que A es el generador de un semigrupo e^{tA)_{t≥0} dado por la serie (convergente en B(X)) e^{tA}=∑_{k=0}^{∞} (t^k A^k)/k! En particular, podemos considerar el álgebra Mn(C) formada por las matrices nxn en el cuerpo complejo C. El clásico teorema de estabilidad de Liapunov se remonta a 1892 (ver [Li] y [EN, Theorem I.2.10]). Este resultado caracteriza la estabilidad del semigrupo a partir de la localización de los autovalores de A para A ∈ Mn(C): Teorema 1. Sea e^{tA} el semigrupo generado por una matriz A ∈ Mn(C). Son equivalentes: (a) El semigrupo es estable. (b) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa. Naturalmente, los matemáticos han tratado de extender este teorema (finito-dimensional) al caso en que los espacios X y B(X) sean de dimensión infinita. Una línea de investigación en este sentido es la que introducimos a continuación. Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo en un espacio de Banach arbitrario X. Se define la cota espectral s(A) de A como s(A):= sup{Rez : 0 de manera que ‖T(t)(I-A)^(-k) ‖ ≤ Ck/(M_log^(-1) (t/Ck))^k para todo t≥Tk donde M(x)≔ sup_{1≤|τ|≤x} ‖(iτ-A)^(-1) ‖, x≥1, M_log (x)≔M(x)log((1+M(x))(1+x)), x≥1. Nota. En [BD], se conjetura que el factor de corrección logarítmico en M_log es necesario si X es un espacio de Banach general pero puede ser eliminado en el caso en que X sea un espacio de Hilbert. En [BT], A. Borichev y Y. Tomilov han confirmado esta conjetura para crecimientos polinomiales M. La demostración del Teorema 6 se basa en un método clásico de integración sobre contornos introducido por Newman y Korevaar en [Ne] y [K]. Usando esta técnica, C. J. K. Batty y T. Duyckaerts han estimado también la tasa de decrecimiento de las medias de Cesaro de funciones acotadas (con valores vectoriales) cuya transformada de Laplace puede extenderse analíticamente a una cierta región que contiene al eje imaginario ([BD, Theorem 4.1]). 1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE CON VALORES VECTORIALES Y ANÁLISIS ASINTÓTICO: Como se desprende del apartado anterior, el estudio del comportamiento asintótico de órbitas de familias uniparamétricas está ligado al estudio de la transformada de Laplace de funciones con valores vectoriales. En esta sección, seguimos profundizando en esta relación. Si T(t) es un C0-semigrupo uniformemente acotado en un espacio de Banach X generado por un operador cerrado A entonces el conjunto resolvente ρ(A) de A contiene al semiplano complejo de la derecha y la resolvente de A viene dada por la transformada de Laplace del semigrupo. Por tanto, la transformada de Laplace es el nexo entre los problemas de Cauchy y las propiedades espectrales de los operadores asociados, es decir, entre las soluciones a dichos problemas y las resolventes de tales operadores. Este trabajo no está orientado hacia la obtención de teoremas de representación para la transformada de Laplace (correspondientes a la existencia y unicidad de solución del problema abstracto de Cauchy); una amplia colección de resultados en este sentido puede verse en [ABHN, Section 3.1]. Por el contrario, hemos centrado nuestro estudio en la obtención de resultados de naturaleza tauberiana para la transformada de Laplace que permiten deducir aplicaciones de interés en la teoría asintótica de órbitas de semigrupos -es decir, de las soluciones de (PAC)- y de otras familias uniparamétricas relacionadas con dicho problema. FÓRMULA DE INVERSIÓN DE POST-WIDDER: Es bien conocido que cualquier función f : R+ →X localmente integrable y que sea transformable Laplace está unívocamente determinada por su transformada de Laplace, como muestra el siguiente resultado (ver [ABHN, Theorem 1.7.7]). Teorema 7. Sea f: R+ →X localmente integrable y transformable Laplace. Entonces, para todo punto t > 0 de Lebesgue de f, f(t)= lim_{n→∞} (-1)^n (1/n!) (n/t)^(n+1) (Lf)^(n) (n/t). Este resultado extiende a funciones con valores vectoriales el clásico teorema de Post-Widder de inversión de la transformada de Laplace; ver [P, W]. En los últimos años, la fórmula de Post-Widder se ha aplicado con gran eficacia en muchos problemas numéricos; ver por ejemplo [MCPS, SB]. Sea ahora T(t) un C0-semigrupo en B(X) y sea x ∈ X. Si tomamos f(t) = T(t)x en el teorema 7 y aplicamos la ecuación resolvente obtenemos la conocida como fórmula de Euler para semigrupos; ver [ABHN, Corollary 3.3.6]. Esta fórmula sugiere que las órbitas de un semigrupo pueden obtenerse a su vez como un límite de órbitas del operador resolvente de su generador infinitesimal. En el capítulo 3 de este trabajo, se obtiene una versión integrada de las fórmulas de inversión anteriores. 1.3. PROBLEMAS DE CAUCHY MAL PLANTEADOS Y COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DE SOLUCIONES: Existen operadores cerrados de interés A para los cuales el problema abstracto de Cauchy está mal planteado en el sentido de que A no es el generador infinitesimal de ningún C0-semigrupo. Sin embargo, en algunos casos importantes en los que se produce esta situación, es posible resolver el problema utilizando familias de operadores más generales que los semigrupos, como los llamados semigrupos integrados. En problemas de Cauchy de otros órdenes, intervienen otras familias uniparamétricas de interés como las funciones coseno, las coseno integradas y las familias de Mittag-Leffler. En esta memoria, centramos nuestro estudio en los semigrupos integrados, principalmente. Suponer que A es el generador de un semigrupo integrado n veces Tn(t) exponencialmente acotado. Entonces, la función u(t)≔d^n/(dt^n ) Tn(t)x, t>0 es la única solución de la ecuación (PAC). Por tanto, el límite de tipo ergódico lim_{t→∞} t^{-n}Tn(t)x=0 refleja el comportamiento asintótico de la solución u en el infinito. En [ElM], un semigrupo integrado una vez T1(t) generado por un operador A se llama estable cuando existe lim T1(t)x en X para todo x en D(A). Esta condición parece razonable pero entraña una importante restricción sobre el generador A. De hecho, si T1(t) es estable en el sentido anterior, entonces A debe ser inversible; ver [ElM, Proposition 5.1 and Remark 5.3]. En este contexto, el teorema de estabilidad de Arendt-Batty-Lyubich-Vu (Teorema 3) admite la siguiente versión integrada (ver [ElM, Theorem 5.6]): Teorema 8. Sea A el generador infinitesimal de un semigrupo integrado una vez T1(t) uniformemente acotado y tal que (i) σ(A)∩ iR es contable, y (ii) Pσ(A*) ∩ iR = ∅; entonces T1(t) es estable. Más aún, lim_{t→∞}T1(t)x = -A^{-1}x para todo x ∈ X. En el capítulo 4 del presente trabajo, obtenemos una extensión de este resultado para semigrupos integrados n veces con generador inversible y con un crecimiento de tipo no cuasianalítico. En esta dirección, el siguiente objetivo es encontrar resultados como el teorema 8 anterior para semigrupos integrados n veces cuyos generadores no sean necesariamente inversibles. En el capítulo 6 de la memoria, establecemos un resultado de esta naturaleza para semigrupos integrados n veces de crecimiento atemperado t^n. La conclusión de un tal resultado no es la estabilidad del semigrupo integrado en el sentido mencionado anteriormente sino la propiedad de tipo ergódico mencionada antes. Observar, no obstante, que este comportamiento supone una generalización natural de la noción de estabilidad de C0-semigrupos acotados a semigrupos integrados bajo la condición de crecimiento anterior. 2. PRINCIPALES RESULTADOS OBTENIDOS: En esta sección enunciamos los teoremas más relevantes obtenidos en la memoria. En primer lugar, presentamos los resultados que involucran a la transformada de Laplace de funciones con valores en un espacio de Banach arbitrario y sus aplicaciones en el estudio del comportamiento asintótico de familias de operadores. TASA DE DECRECIMIENTO DE ÓRBITAS ESTABLES Como se ha mencionado ya, uno de los métodos utilizados en el presente trabajo consiste en obtener conclusiones sobre el comportamiento en el infinito de C0-semigrupos de operadores a partir del estudio del comportamiento asintótico de ciertas funciones generales con valores vectoriales. En este contexto, resulta de interés encontrar nuevos resultados sobre la transformada de Laplace de tales funciones. Los resultados que se presentan en este apartado están motivados por las técnicas usadas por C. J. K. Batty and T. Duckaerts en [BD]. Sea e1(t) := exp(-t) para t ∈ R+. Denotamos por * al producto de convolución usual en R y por ∘⃘ al producto de convolución adjunto al usual. TEOREMA 2.1.1 Sea X un espacio de Banach y sea f ∈ L^{∞}(R+;X). Suponer que existe una función continua μ: (0, ∞) → (0, ∞) tal que: (i) La tranformada de Laplace de f tiene una extensión analítica a la región ∆≔{z∈C:Rez>-μ(|Imz|^(-1))} y está acotada por μ(|Imz|) en los z de ∆ con parte real negativa. (ii) μ es decreciente en (0, 1] y creciente en [1, ∞). Entonces, existen constantes positivas C y τ tales que para todo t > τ, ‖(e1-e1*e1)∘ f(t)‖ ≤ C(m_log^(-1) (t/4) + 1/(M_log^(-1) (t/4)) + 1/t ) donde M_log (x)≔μ(x)log((1+μ(x))(1+x)), x≥1, m_log (x)≔μ(x)log((1+μ(x))/x), 0 0 de tales que para todo t > Tk, ‖T(t)A^k (I-A)^(-2k) ‖ ≤ Ck (m_log^(-1) (t/4k)+1/(M_log^(-1) (t/4k) )+1/t )^{k} Este teorema admite una generalización para semigrupos cuyo generador infinitesimal tiene espectro frontera finito, sin contener al origen necesariamente. Ver capítulo 2 de la memoria para más detalle. VERSIÓN INTEGRADA DE LA FÓRMULA DE POST-WIDDER. FÓRMULA DE TIPO EULER PARA SEMIGRUPOS INTEGRADOS α VECES La relación entre transformadas de Laplace de funciones medibles con valores vectoriales y órbitas de semigrupos resulta de gran utilidad también al estudiar familias integradas de operadores. En este apartado, que se corresponde con el capítulo 3 de la memoria, damos una fórmula de inversión de tipo Post-Widder para transformadas de Laplace con valores vectoriales multiplicadas por el factor z^α (α > 0). Este resultado extiende el teorema 7 mencionado anteriormente. Como consecuencia del mismo, obtenemos nuevas fórmulas de inversión para la resolvente de semigrupos y familias coseno integradas α -veces. Sea X un espacio de Banach y f: R+ →X una función localmente integrable acotada en norma por t^{-γ} e^{ωt} tal que para algún γ>-1 y algún ω≥0. Claramente, la transformada de Laplace Lf de f existe al menos en el semiplano complejo Rez > ω. Para una tal función, se verifica lo siguiente: TEOREMA 3.1.1. Para todo α∈(0,γ+1) y todo punto de Lebesgue t > 0 de f, f(t)=lim_{n→∞} ∫_{0}^{t} (t-s)^{α-1} (-1)^n (1/n!) (n/s)^(n+1) (z^{α} Lf)^(n) (n/s) ds. Para transformadas de Laplace-Stieltjes, se prueba también un resultado análogo para enteros positivos. El interés de la fórmula anterior radica en que permite invertir funciones φ que no son necesariamente transformadas de Laplace, pero tales que z^(-α) φ si lo es para algún α > 0. En esta situación están clases de funciones importantes como las familias integradas de operadores. De hecho, la fórmula del teorema anterior proporciona teoremas de inversión para las resolventes de los generadores de semigrupos integrados y familias coseno integradas. Estas fórmulas extienden otros resultados previamente conocidos en esta materia (ver [C, VV]). ESTABILIDAD DE SEMIGRUPOS INTEGRADOS n VECES En este apartado presentamos los resultados obtenidos en relación a la estabilidad de semigrupos n veces integrados para n ≥ 1. En primer lugar, en la línea iniciada por O. El Mennaoui para generalizar el teorema de Arendt-Batty-Lyubisch-Vu, extendemos [ElM, Theorem 5.6] del siguiente modo. TEOREMA 4.0.1. Sea A el generador de un semigrupo integrado n veces Tn(t) tal que (i) σ(A)∩ iR es contable, (ii) Pσ(A*) ∩ iR = ∅, (ii) 0 ∈ρ(A). Suponer que Tn(t) está dominado por un peso ω(t) no casianalítico cuyo peso reducido asociado ω ̃(t)=O(t^k) cuando t→∞ para algún k ≥ 0. Se cumple lo siguiente: (i) Si ω(t)=o(t^(n-1) ) cuando t→∞ entonces ω(t)^(-1) Tn(t)x → 0 cuando t→∞ para todo x en la clausura de D(A^{n}). (ii) Si ω(t)~ (t^(-n+1) ) cuando t→∞ entonces t^(-n+1) Tn(t)x → -(1/(n-1)!)A^{-1}x cuando t→∞ para todo x en la clausura de D(A^{n}). La demostración del teorema anterior se basa en una adaptación de los argumentos en [ElM] y [V1]. En este trabajo, se extienden de paso otros resultados auxiliares de los autores citados. NOTA: Una cuestión que se plantea a raíz del teorema 4.0.1 es cómo eliminar la condición relativa a la existencia de inverso del generador A. Las técnicas usadas en las demostraciones originales del teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Vu no parecen funcionar en el contexto de los semigrupos integrados. Sin embargo, existe una demostración alternativa de este resultado en [ESZ] (que involucra a la versión continua del teorema de Katznelson-Tzafriri y propiedades de análisis armónico de ciertos homomorfismos de álgebras de Banach) que si permite obtener algunos resultados, parciales pero interesantes, en la dirección deseada. En este sentido, lo primero que hacemos es extender el teorema de Katznelson-Tzafriri al contexto de semigrupos integrados (ver capítulo 5 de la memoria). EXTENSIÓN DEL TEOREMA DE ESTERLE-STROUSSE-ZOUAKIA-VU: TEOREMA DE KATZNELSON-TZAFRIRI PARA SEMIGRUPOS INTEGRADOS Sean D(R) y D(R+) los espacios formados por las funciones continuas e indefinidamente derivables con soporte compacto en R y R+, respectivamente. Denotamos T^{α}(|t|^{α}) y T_{+}^{α}(t^{α}) a los espacios de Banach obtenidos como la complección de D(R) y D(R+) en la norma ‖f‖_{α} := ∫_{Ω} |W^{α}f(t)| |t|^{n} dt para f en D(Ω) donde Ω denota a R o R+ y W^{α}f la derivada de Weyl de f de orden α en R o R+, según corresponda. Estos espacios han sido introducidos en [GM] y son de hecho álgebras de Banach para el producto usual de convolución

Transformadas de Fourier holomorfas

Este TFG reúne cuatro teoremas clásicos de Paley-Wiener para funciones de cuadrado integrable y distribuciones de soporte compacto, que conectan el análisis de Fourier con la variable compleja

Teorema de Titchmarsh.

Este trabajo consiste esencialmente en mostrar varias demostraciones del teorema de Titchmarsh sobre la convolución, explorando distintas áreas del análisis matemático para ello. Así, el lector verá que el uso de técnicas más elementales, como puedan ser las de análisis real, provocan un aumento de dificultad en el desarrollo de la demostración del teorema de Titchmarsh, mientras que profundizando en resultados centrales de variable compleja la demostración del teorema resulta más breve y sencilla de entender.<br /

On range Sobolev spaces defined by Cesàro-Hardy operators

(Para la correcta visualización de fórmulas y lenguaje matemático, es preferible compilar el siguiente texto en un entorno adecuado de edición de TeX o LaTeX)En 1915, G. H. Hardy intentaba encontrar una demostración elemental de la desigualdad de Hilbert. La desigualdad discreta que obtuvo pudo extenderse a la siguiente desigualdad continua:$$\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{p}dx \leq C_{p} \int_{0}^{\infty} f^{p}(x)dx, \qquad f\geq 0,$$que fue enunciada en 1920 \cite{H1} y demostrada en 1925 \cite{H2}. Gran parte del desarrollo inicial de la desigualdad de Hardy puede encontrarse en el libro (clásico) \cite{HLP}, y detalles sobre su historia en ambas formas, discreta y continua, en \cite{KuMP}, por ejemplo.Las generalizaciones y aplicaciones de esta fórmula son destacables. Muchos de los aspectos de su desarrollo pueden encontrarse en \cite{KMP}, \cite{KuMP}, \cite{KuP} y \cite{OK}.La desigualdad\left(\int_0^\infty \left|\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p}\leq \frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}f^{p}(t)dt\right)^\frac{1}{p}, \leqno{(1)}que se tiene para $1$\mathcal{C} f(t)=\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds, \quad t> 0, \leqno{(2)}$es un operador acotado en$\LpRma$con$\|\mathcal{C}\| \leq \frac{p}{p-1}$para$10$,$\left(\int_0^\infty \left|\frac{\nu}{t^\nu} \int_0^t (t-s)^{\nu-1} f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \frac{\Gamma(\nu+1)\Gamma(1-\frac{1}{p})}{\Gamma(\nu+1-\frac{1}{p})}\|f\|_p, \qquad f\in\LpRma, \leqno{(3)}$para$1\left(\int_{0}^{\infty} \left\vert\nu\int_{s}^{\infty} \frac{(t-s)^{\nu-1}}{t^\nu} f(t)dt\right\vert^{p}ds\right)^\frac{1}{p} \leq\frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)}\|f\|_p. \leqno{(4)}La constante \frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)} tambi\'{e}n es \'{o}ptima para esta desigualdad.De manera natural, las desigualdades (3) y (4) sugieren definir operadores acotados de \LpRma en \LpRma, que denotaremos, para f\in\LpRma, por\calC_\nu(f):=\frac{\nu}{t^\nu}\int_0^t (t-s)^{\nu-1}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1y\calC_\nu^*(f):=\nu\int_t^\infty \frac{(s-t)^{\nu-1}}{s^\nu}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1\le pPara $\nu=1$, los operadores \calC_1=\calC o \calC_1^*=\calC^{*}, o sus análogos discretos, han recibido diferentes nombres. Como ejemplo, son llamados operadores de Hardy en \cite{KuMP}, \cite{DS}, operadores de Cesàro en \cite{BHS}, \cite{Bo}, \cite{Mo1}, \cite{Mo2}, operadores de Copson en \cite{Mo1}, \cite {Mo2}, entre otros art\'{i}culos. Hay tambi\'{e}n versiones de los anteriores operadores en el plano complejo, incluso en el caso generalizado; v\'{e}ase \cite{AS}, \cite{LMPS}. El estudio de tales operadores se centra habitualmente en problemas sobre su acotaci\'{o}n en diversos espacios, espectro, interpolaci\'{o}n, dominio \'{o}ptimo, estudio de las isometr\'{i}as asociadas\dots (v\'{e}ase por ejemplo \cite{AP}, \cite{DS}, \cite{BS1}, \cite{BS2}). Aqu\'{i} llamaremos a \calC_\nu, \calC_\nu^* operadores de Ces\`aro-Hardy. Estamos interesados en espacios rango de esos operadores integrales, dotados con la norma imagen de los espacios $L_p$, y centr\'{a}ndonos de forma m\'{a}s precisa en el caso Hilbert. La motivaci\'{o}n para este enfoque es doble: por un lado surge de las conexiones que estos operadores tienen con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria, y por otro lado de su relaci\'{o}n con el movimiento Browniano fraccionario o con el ruido blanco.En el estudio de las ecuaciones abstractas de Cauchy ``mal planteadas'', es decir, cuando la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no viene regida por un $C_0$-semigrupo, son relevantes familias como los $C$-semigrupos o los semigrupos integrados, y homomorfismos como semigrupos de distribuciones. En \cite{AK} se consideran semigrupos de distribuciones temperadas que tienen como dominios \'{a}lgebras de convoluci\'{o}n \TT_1^{(n)}(t^n) -en una notaci\'{o}n diferente a la que aparece en \cite{AK}- definidas, para n\in\NN, como la completaci\'{o}n del espacio de funciones test C_c^\infty(\Rma) en la norma$$\Vert f\Vert_{1,(n)}:=\int_0^\infty\vert f^{(n)}(t)\vert t^n\ dt$$(Álgebras similares en toda la recta real $\mathbb{R}$ han sido introducidas en \cite{BE}). El \'{a}lgebra de Banach \TT_1^{(n)}(t^n) admite una extensi\'{o}n a orden de derivaci\'{o}n fraccionario $\nu>0$ considerando cierta derivada fraccionaria (denotada por $W^\nu f$) en lugar de la derivada habitual $f^{(n)}$; v\'{e}anse \cite{Mi1} y \cite{GM}. Esta extensi\'{o}n, denotada por \TT_1^{(\nu)}(t^\nu), es tambi\'{e}n un \'{a}lgebra de Banach de convoluci\'{o}n con numerosas aplicaciones relacionadas con c\'{a}lculos funcionales, semigrupos integrados y teor\'{i}a de cuasi multiplicadores regulares, v\'{e}ase \cite{GM}. Propiedades espec\'{i}ficas o aplicaciones de \TT_1^{(\nu)}(t^\nu) como \'{a}lgebra de Banach han aparecido en numerosos art\'{i}culos, entre ellos \cite{GMR1}, \cite{GMR2}, \cite{GMS}, \cite{GS}. Si reemplazamos la norma $L_1$ de $t^{n}f^{(n)}$ por la norma $L_{p}$, con $1Por otra parte, estas ideas se aplican en problemas abstractos de Cauchy locales, a saber, problemas del tipo$\begin{cases} \displaystyle{ u^\prime(t)} = A u(t)+x,\, 0\le t u(0)=0\\ \end{cases} \leqno{(6)}$donde$A$es un operador lineal cerrado en un espacio de Banach$X$y$\tau>0. Es conocido (véase \cite[Theorem 2.1]{AEK} o \cite[Theorem 3.1]{V}) que si para todo x\in X$el problema tiene solución única$u\in C^1([0,\, \tau), X)\cap C([0,\, \tau), D(A))$(donde$D(A)$se dota con la norma del grafo), entonces$A$es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Esto significa que las soluciones, inicialmente obtenidas en$[0,\tau),$admiten extensiones a$[0,\infty)$sin pérdida de regularidad y, más aún, son (uniformemente) exponencialmente acotadas.Resulta que el espacio$\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$puede ser obtenido, de forma alternativa, como espacio rango o imagen del operador$\calC_\nu^*$con dominio en$L_p(\Rma)$, con lo que$\calC_\nu^* puede ser entendido bajo el punto de vista que dan la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria. Además, integrales y derivadas fraccionarias tienen aplicación en la teor\'{i}a del movimiento Browniano fractal (fBm por sus siglas en inglés) y sistemas autosimilares (v. g., \cite{FP}, \cite{Hu}, \cite{M}, \cite{SL}), con lo que los operadores de Ces\`aro-Hardy y los espacios de Hilbert que definen, es decir \TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$,$\nu>0$, se insertan de esta manera en esa teoría. La acci\'{o}n de la transformada de Laplace sobre$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$da lugar a un espacio de Hilbert de funciones holomorfas en el semiplano$\Cma:=\{z\in\CC:\Re z>0\}$que admite una descripci\'{o}n sencilla y podr\'{i}a ser un modelo adecuado para tratar con el fBm de tipo Riemann-Liouville. La estructura de la memoria de tesis es como sigue. En el Capítulo 1 presentamos los operadores de Cesàro-Hardy$\calC_{\nu}$,$\calC_{\nu}^*$($\nu>0$) y los usamos para definir los espacios$\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$. Nos centramos en la relaci\'{o}n de estos operadores con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria y otras interesantes propiedades que tienen que ver con la transformada de Laplace$\LL$. Una herramienta \'{u}til en este contexto es la expresi\'{o}n de los operadores como una caso particular de subordinaci\'{o}n a un cierto grupo de isometr\'{i}as,$(T_{p}(t))_{t\in\RR}$.Tras haber definido los espacios, es natural preguntarse por la acotaci\'{o}n, representaci\'{o}n como operadores resolvente y propiedades espectrales de los operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados$\calC_\nu$y$\calC_\nu^*$actuando en los subespacios de Sobolev$\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$. Respondemos a algunas preguntas sobre esos temas en el Cap\'{i}tulo 2, tambi\'{e}n para los espacios$\TT^{(\nu)}_{p}(|t|^\nu)$en toda la recta$\RR$, definidos a partir de$\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$.Despu\'{e}s, en el Cap\'{i}tulo 3, nos centramos en el caso$p=1$y estudiamos el comportamiento del álgebra$\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$, donde$\w$es una funci\'{o}n peso, analizando semejanzas y diferencias con el caso$L_{1}(\omega)$: damos el espectro, la transformada de Gelfand y el espacio de caracteres de$\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$en el caso semisimple y estudiamos un \'{a}lgebra de Banach de tipo radical definida como \'{a}lgebra cociente. Describimos esta \'{u}ltima \'{a}lgebra como un \'{a}lgebra de funciones y analizamos sus ideales cerrados y derivaciones.En el Cap\'{i}tulo 4 estudiamos el caso Hilbert,$p=2$. Resulta que$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$es un espacio de Hilbert de n\'{u}cleo reproductivo (RKHS, abreviadamente). Determinamos su n\'{u}cleo y revisamos algunos aspectos de la teor\'{i}a general de RKHS para$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, destacando una aparente relaci\'{o}n entre este espacio y los espacios que surgen asociados al movimiento Browniano fractal en teor\'{i}a de la probabilidad. Esta relaci\'{o}n se describe parcialmente en la Secci\'{o}n 4.2, en conexi\'{o}n con el c\'{a}lculo fraccionario de Riemann-Liouville.Para$1\leq p 1/2$sino para todo$\nu>0$, y su n\'{u}cleo reproductivo$K_\nu$puede expresarse en forma integral. El resultado tipo Paley-Wiener y la f\'{o}rmula para el n\'{u}cleo se dan en el Teorema 4.3.2. En la Secci\'{o}n 4.4 se demuestra que la funci\'{o}n$K_{\nu,z}:=K_\nu(\cdot, z)$satisface la equivalencia$\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}\sim \vert z\vert^{-1/2}$,$z\in\Cma$, salvo constantes de acotaci\'{o}n. Esta equivalencia (o acotaci\'{o}n) es en cierta forma sorprendente, porque las acotaciones habituales de las normas de los n\'{u}cleos$\kappa(x,y)$en los ejemplos cl\'{a}sicos de funciones holomorfas en dominios$\Omega$suelen involucrar la distancia a la frontera del dominio$\Omega$del punto$y\in\Omega$, con$\kappa_y:=\kappa(\cdot,y)$, mientras que$\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}$depende de la distancia {\it radial} de$z$, es decir, de$z$al origen, en$\Cma$. Hemos considerado el operador$\calC_\nu^*$restringido a$\LiiRma$y su rango (o imagen)$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, como el medio para mostrar las relaciones de los operadores de Ces\`aro-Hardy con el c\'{a}lculo fraccionario y el movimiento Browniano. Esta elecci\'{o}n ha estado motivada por la fruct\'{i}fera relaci\'{o}n de los espacios$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$con las ecuaciones abstractas de Cauchy y sus familias asociadas de operadores. Como alternativa, podr\'{i}amos haber elegido tomar el operador$\calC_\nu$y su rango$\calC_\nu(\LiiRma)$e intentar un tratamiento similar. El cap\'{i}tulo termina con la Secci\'{o}n 4.5, donde se muestra que$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)=\calC_\nu(\LiiRma)$, lo cual, en vista de las buenas y simples propiedades de los espacios$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$y$H_2^{(\nu)}(\Cma)$vistas en las secciones previas, sugiere la pregunta de si las operaciones de promedio fraccionario, como$\calC_\nu$hace, podr\'{i}an ser de utilidad en la teor\'{i}a Browniana.Para finalizar la memoria de la tesis, en el Cap\'{i}tulo 5 abordamos varias cuestiones sobre c\'{o}mo generalizar los operadores y los espacios rango considerados previamente. Primero estudiamos la acotaci\'{o}n de operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados$\calC_{\k}$, que escribimos utilizando producto de convoluci\'{o}n$\ast$,$\calC_{\k}(f)=\frac{1}{\chi_{(0,\infty)}\ast \k} f \ast \k$y nos preguntamos sobre qu\'{e} condiciones deben cumplir esas funciones$\k$para dar lugar a operadores acotados (se recupera el operador generalizado cl\'{a}sico para la funci\'{o}n$\k(t)=\fr_{\nu}(t):=t^{\nu-1}/\G(\nu)$). Como consecuencia, se definen espacios rango correspondientes a esos operadores$\calC_{\k}^\ast$, resultando ser m\'{o}dulos de Banach con respecto a las correspondientes \'{a}lgebras de Banach, generalizando resultados previamente enunciados.En la segunda parte del \'{u}ltimo cap\'{i}tulo nos centramos en los rangos de los operadores$\calC_{\k}^\ast$para establecer un marco de trabajo con aplicaciones a los problemas abstractos de Cauchy. Definimos homomorfismos de \'{a}lgebras desde una nueva clase de funciones test y aplicamos nuestros resultados a operadores concretos. Se introduce la noción de semigrupos de$\k$-distribuci\'{o}n para extender conceptos previos de semigrupos de distribuciones y para generalizar una f\'{o}rmula de tipo Duhamel. Con estas herramientas, se obtiene un teorema sobre extensión de soluciones locales$\k-convolucionadas (véase Teorema 5.2.17).\begin{thebibliography}{99}\bibitem[AEK]{AEK} W. Arendt, O. El-Mennaoui and V. Keyantuo: `Local integrated semigroups: Evolution with jumps of regularity', \textit{J. Math. Anal. Appl.} \textbf{186} (1994), 572--595. \bibitem[AK]{AK} W. Arendt and H. Kellerman: `Integration solutions of Volterra integro-differential equations and applications' in: \textit{Volterra Integrodifferential equations in Banach spaces and applications (Trento, 1987)}, Pitman Res. Notes Math. Ser., 190 (eds. G. Da Prato and M. Iannelli) Longman Sci. 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A. van Casteren: \textit{Generators of strongly continuous semigroups}, Research Notes in Mathematics, 115, Pitman Advanced Publishing Program, Boston-London-Melbourne, 1985.\end{thebibliography}<br /

El espacio de funciones holomorfas sobre un dominio complejo

El propósito de este trabajo es estudiar las propiedades de compacidad y dualidad en el espacio de funciones holomorfas sobre un dominio abierto complejo. Para ello, en un primer lugar definiremos la topología de la convergencia uniforme sobre compactos, ya que es la noción natural de convergencia para sucesiones de funciones holomorfas. A través de esta topología, estudiaremos la compacidad y convergencia de los espacios de funciones continuas y holomorfas. Este estudio se realiza a través de los teoremas de ARZÈLA-ASCOLI, WEIERSTRASS, HURWITZ y MONTEL. Finalmente, se estudia la dualidad del espacio de funciones holomorfas en un abierto del plano complejo. Comenzamos estudiando un caso muy particular, la dualidad del espacio de las funciones holomorfas en el disco unidad. Podremos utilizar germenes, sucesiones y series de potencias, herramientas especificas de este caso. Por último estudiaremos la dualidad del espacio de funciones holomorfas para un abierto cualquiera del plano complejo.<br /

Núcleos reproductivos de espacios fraccionarios y su geometría

Un espacio de núcleo reproductivo (escalar) es un espacio de Hilbert H compuesto de funciones complejas tal que, la evaluación puntual en cualquiera de los puntos del dominio, define un funcional acotado en H. El teorema de representación de Riesz implica la existencia de una función bivariable K, denominada núcleo reproductivo de H, que es una herramienta muy útil para obtener información sobre el espacio H. Los espacios de núcleo reproductivo tienen numerosas aplicaciones en distintas áreas como estadística y aprendizaje automático, y tienen un papel fundamental en análisis complejo, probabilidad, teoría de representación de grupos y teoría de operadores integrales, entre otros.En este trabajo, nos centramos en los aspectos geométrico-diferenciales de los espacios de núcleo reproductivos. En este contexto, es natural considerar espacios de núcleo reproductivo sobre fibrados vectoriales, esto es, espacios de Hilbert H de secciones sobre un fibrado vectorial P: D -> Z para los que la evaluación sobre el espacio base Z define un operador acotado entre H y la fibra del punto asociado. Dichos espacios de núcleo reproductivo tienen aplicaciones en la cuantización de sistemas mecánicos. Por ejemplo, un núcleo reproductivo en un fibrado vectorial adecuado se puede interpretar como la amplitud de la probabilidad de transición entre dos puntos del espacio de fase de un sistema mecánico.Siguiendo estas ideas, Beltita y Galé demostraron recientemente que un núcleo reproductivo diferenciable sobre un fibrado vectorial hermítico (infinito dimensional) da lugar de forma natural a conexiones lineales en el propio fibrado, y por ende a derivadas covariantes. El objetivo de este trabajo se divide en dos. En primer lugar, se explicará dicha relación entre fibrados vectoriales, núcleos reproductivos y conexiones lineales de una forma auto-contenida y accesible para estudiantes graduados. Esto es una tarea no trivial ya que la presentación de dichos resultados requiere, por parte del lector, conocimientos básicos de geometría diferencial infinito-dimensional, representaciones de grupos de Banach-Lie y teoría de espacios de núcleo reproductivo. En segundo lugar, daremos extensiones de los resultados de Beltita y Galé desde los núcleos infinitamente diferenciables a los de clase C^N. Dicha extensión está motivada parcialmente por ciertos núcleos reproductivo de tipo fraccionario que han sido estudiados en la bibliografía por su conexión con el movimiento Browniano promediado de orden fraccionario. Además, también extenderemos la fórmula dada para la derivada covariante para que sea aplicable a una familia más extensa de secciones del fibrado.<br /

Álgebras de Banach y transformadas integrales

El objetivo de este trabajo es de carácter introductorio en el campo de las álgebras de Banach, y tiene como finalidad la aproximación a una serie de transformadas integrales muy conocidas desde el contexto de estos espacios. En el primer capítulo se desarrolla la teoría de representación de Gelfand (cuyo propósito es construir la transformada de Gelfand), la cual hemos ampliado al incorporar al caso original de la teoría (las álgebras de Banach complejas conmutativas) el caso de las álgebras de Banach reales y el caso no conmutativo. El segundo capítulo se centra en la obtención de la transformada de Gelfand sobre un espacio de Banach que equipamos con un producto de convolución (con el que es álgebra de Banach); con éste producto hemos conseguido unificar varios productos de convolución muy conocidos (hablamos de la convolución de Volterra, Fourier, Laplace, Zeta y Dirichlet). Gracias a este punto de vista global que nos otorga el producto generalizado, hemos podido entender mejor algunas relaciones que se apreciaban entre las transformadas de Gelfand (cuya expresión es integral) que dan los productos individuales en grupos y semigrupos, obteniéndose también algunos resultados conocidos por una vía novedosa. También estudiaremos otros productos de convolución con los que veremos otra forma de obtener las transformadas correspondientes; entre éstas se encuentra la transformada coseno. Para las últimas páginas hemos escogido algunas aplicaciones de estas transformadas integrales en la resolución de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Con ello se pretende mostrar como las propiedades algebraicas de estas transformadas sobre espacios funcionales, pueden utilizarse para transformar un problema difícil en un espacio de partida, en otro sencillo en un espacio de llegada; lo que permite, bajo ciertas condiciones, obtener la solución del problema inicial