Linear Sobolev Type Equations with Relatively -Sectorial Operators in Space of "Noises"

The concept of "white noise," initially established in finite-dimensional spaces, is transferred to infinite-dimensional case. The goal of this transition is to develop the theory of stochastic Sobolev type equations and to elaborate applications of practical interest. To reach this goal the Nelson-Gliklikh derivative is introduced and the spaces of "noises" are developed. The Sobolev type equations with relatively sectorial operators are considered in the spaces of differentiable "noises." The existence and uniqueness of classical solutions are proved. The stochastic Dzektser equation in a bounded domain with homogeneous boundary condition and the weakened Showalter-Sidorov initial condition is considered as an application

Патогенетичні аспекти експериментальної інфекції кролів, зумовленої вірусом лейкозу великої рогатої худоби

Bovine leukemia virus (BLV) is an infectious disease of cattle, causing high economic losses worldwide, especially in the field of dairy farming. There is no common vision on the problem of interspecies transmission of BLV. Therefore, a detailed study of the etiologic relationship between leukemia in cattle and other animal species is relevant. Various laboratory animal models provide insight into the pathogenesis of viral infections. The article presents the research results of two series rabbits’ intravenous infection with bovine leukemia virus (BLV) using the culture antigen FLK-BLV and the blood of rabbits with clinical, hematological and immunological signs of viral tumor growth. Blood from all animals was taken from the ear vein after 14, 21, 30 days, and then monthly for six months: to study the morphological parameters of blood and to determine the titer of antibodies to BLV. Blood serum for the presence of antibodies to BLV was examined using a diagnostic kit for the indication of animals infected with the leukemia virus in an immunodiffusion reaction produced by LLC “SRE Veterinary Medicine”, Kharkiv. It was found that the stage of the BLV provirus in the blood leukogram of infected animals was characterized by pronounced lymphocytosis on the 21st day of the experiment. The highest concentration of antibodies to BLV in the blood serum was found on the 90th day after the administration of the virus-containing material, which disappeared from the blood on the 150–180th day after infection. In experimental rabbits, after five months for thirty days, in the absence of antibodies to leukemia in the blood serum, multiple tumors of a dense consistency began to develop throughout the body. Such clinical signs and changes in the of rabbits’ blood of the experimental group are characteristic of serologically positive cows on the hematological development stage of leukemic process and correlate with the results of domestic and foreign authors. The presence of a large number of lymphoblasts, as well as leukolysis cells, in the histological preparation of lymph nodes, lungs, heart and the accumulation of lymphocytes’ immature forms around the interlobular vessels of the liver, which were found in pathohistological studies of the experimental rabbits’ organs, may indicate the development of the leukemia process on early stage in them. The results obtained indicate the ability of BLV to overcome successfully the interspecies barrier upon parenteral ingestion of heterologous individuals from infected lymphocytes and in the form of a culture antigen.Лейкоз великої рогатої худоби (BLV) – інфекційна хвороба великої рогатої худоби, яка спричиняє високі економічні збитки в усьому світі, особливо у галузі молочного скотарства. Не існує єдиного погляду на проблему міжвидової передачі BLV, тому актуальним є детальне вивчення етіологічного зв’язку між лейкозом великої рогатої худоби та інших видів тварин. Моделі різних лабораторних тварин дозволяють зрозуміти патогенез вірусних інфекцій. У статті наведено результати досліджень двох серій внутрішньовенного зараження кролів вірусом лейкозу великої рогатої худоби (BLV) з використанням культурального антигену FLK-BLV та крові кролів з клінічними, гематологічними та імунологічними ознаками вірусного пухлинного росту. Кров від усіх тварин відбирали з вушної вени через 14, 21, 30 діб, а потім щомісяця протягом пів року: для дослідження морфологічних показників крові та для визначення титру антитіл до BLV. Сироватку на наявність антитіл крові до BLV досліджували з використанням діагностичного набору для індикації інфікованих вірусом лейкозу тварин у реакції імунодифузії виробництва ТОВ “НДП “Ветеринарна медицина” (м. Харків). Встановлено, що стадія провірусу BLV в лейкограмі крові заражених тварин характеризувалась вираженим лімфоцитозом на 21 добу експерименту. Найвища концентрація антитіл до BLV у сироватці крові  виявлялась на 90-у добу після введення вірусовмісного матеріалу, які зникали з крові на 150–180 добу після зараження. У експериментальних кролів через п’ять місяців протягом тридцяти днів при відсутності антитіл до лейкозу в сироватці крові, на всьому тілі почали розвиватися множинні пухлини щільної консистенції. Такі клінічні ознаки та зміни в крові кролів дослідної групи характерні для серологічно позитивних корів на гематологічній стадії розвитку лейкозного процесу та корелюють із результатами вітчизняних та закордонних авторів. Наявність великої кількості лімфобластів, а також клітин лейколізу в гістопрепаратах лімфатичних вузлів, легень, серця і скупчення незрілих форм лімфоцитів навколо міжчасточкових судин печінки, виявлені у патогістологічних дослідженнях органів експериментальних кролів, можуть свідчити про розвиток у них ранньої стадії лейкозного процесу. Отримані результати свідчать про здатність BLV успішно долати міжвидовий бар’єр при парентеральному потраплянні в організм гетерологічних особин з інфікованих лімфоцитами та у вигляді культурального антигену

Well-posedness for degenerate third order equations with delay and applications to inverse problems

[EN] In this paper, we study well-posedness for the following third-order in time equation with delay <disp-formula idoperators defined on a Banach space X with domains D(A) and D(B) such that t)is the state function taking values in X and u(t): (-, 0] X defined as u(t)() = u(t+) for < 0 belongs to an appropriate phase space where F and G are bounded linear operators. Using operator-valued Fourier multiplier techniques we provide optimal conditions for well-posedness of equation (0.1) in periodic Lebesgue-Bochner spaces Lp(T,X), periodic Besov spaces Bp,qs(T,X) and periodic Triebel-Lizorkin spaces Fp,qs(T,X). A novel application to an inverse problem is given.The first, second and third authors have been supported by MEC, grant MTM2016-75963-P. The second author has been supported by AICO/2016/30. The fourth author has been supported by MEC, grant MTM2015-65825-P.Conejero, JA.; Lizama, C.; Murillo-Arcila, M.; Seoane Sepúlveda, JB. (2019). Well-posedness for degenerate third order equations with delay and applications to inverse problems. Israel Journal of Mathematics. 229(1):219-254. https://doi.org/10.1007/s11856-018-1796-8S2192542291K. Abbaoui and Y. Cherruault, New ideas for solving identification and optimal control problems related to biomedical systems, International Journal of Biomedical Computing 36 (1994), 181–186.M. Al Horani and A. Favini, Perturbation method for first- and complete second-order differential equations, Journal of Optimization Theory and Applications 166 (2015), 949–967.H. Amann, Operator-valued Fourier multipliers, vector-valued Besov spaces, and applications, Mathematische Nachrichten 186 (1997), 5–56.U. A. Anufrieva, A degenerate Cauchy problem for a second-order equation. A wellposedness criterion, Differentsial’nye Uravneniya 34 (1998), 1131–1133; English translation: Differential Equations 34 (1999), 1135–1137.W. Arendt and S. Bu, The operator-valued Marcinkiewicz multiplier theorem and maximal regularity, Mathematische Zeitschrift 240 (2002), 311–343.W. Arendt and S. Bu, Operator-valued Fourier multipliers on periodic Besov spaces and applications, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 47 (2004), 15–33.W. Arendt, C. Batty and S. Bu, Fourier multipliers for Holder continuous functions and maximal regularity, Studia Mathematica 160 (2004), 23–51.V. Barbu and A. Favini, Periodic problems for degenerate differential equations, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste 28 (1996), 29–57.A. Bátkai and S. Piazzera, Semigroups for Delay Equations, Research Notes in Mathematics, Vol. 10, A K Peters, Wellesley, MA, 2005.S. Bu, Well-posedness of second order degenerate differential equations in vector-valued function spaces, Studia Mathematica 214 (2013), 1–16.S. Bu and G. Cai, Periodic solutions of third-order degenerate differential equations in vector-valued functional spaces, Israel Journal of Mathematics 212 (2016), 163–188.S. Bu and G. Cai, Well-posedness of second-order degenerate differential equations with finite delay in vector-valued function spaces, Pacific Journal of Mathematics 288 (2017), 27–46.S. Bu and Y. Fang, Periodic solutions of delay equations in Besov spaces and Triebel–Lizorkin spaces, Taiwanese Journal of Mathematics 13 (2009), 1063–1076.S. Bu and J. Kim, Operator-valued Fourier multipliers on periodic Triebel spaces, Acta Mathematica Sinica 21 (2005), 1049–1056.G. Cai and S. Bu, Well-posedness of second order degenerate integro-differential equations with infinite delay in vector-valued function spaces, Mathematische Nachrichten 289 (2016), 436–451.R. Chill and S. Srivastava, Lp-maximal regularity for second order Cauchy problems, Mathematische Zeitschrift 251 (2005), 751–781.R. Denk, M. Hieber and J. Prüss, R-boundedness, Fourier multipliers and problems of elliptic and parabolic type, Memoirs of the American Mathematical Society 166 (2003).O. Diekmann, S. A. van Giles, S. M. Verduyn Lunel and H.-O. Walther, Delay Equations, Applied Mathematical Sciences, Vol. 110, Springer, New York, 1995.K. J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 194, Springer, New York, 2000.M. Fabrizio, A. Favini and G. Marinoschi, An optimal control problem for a singular system of solid liquid phase-transition, Numerical Functional Analysis and Optimization 31 (2010), 989–1022.A. Favini and G. Marinoschi, Periodic behavior for a degenerate fast diffusion equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications 351 (2009), 509–521.A. Favini and G. Marinoschi, Identification of the time derivative coefficients in a fast diffusion degenerate equation, Journal of Optimization Theory and Applications 145 (2010), 249–269.A. Favini and A. Yagi, Degenerate differential equations in Banach spaces, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 215, Marcel Dekker, New York, 1999.X. L. Fu and M. Li, Maximal regularity of second-order evolution equations with infinite delay in Banach spaces, Studia Mathematica 224 (2014), 199–219.G. C. Gorain, Boundary stabilization of nonlinear vibrations of a flexible structure in a bounded domain in Rn, Journal of Mathematical Analysis and Applications 319 (2006), 635–650.P. Grisvard, Équations différentielles abstraites, Annales Scientifiques de l’école Normale Superieure 2 (1969), 311–395.J. K. Hale and W. Huang, Global geometry of the stable regions for two delay differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications 178 (1993), 344–362.Y. Hino, S. Murakami and T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1473, Springer, Berlin, 1991.B. Kaltenbacher, I. Lasiecka and M. Pospieszalska, Well-posedness and exponential decay of the energy in the nonlinear Moore-Gibson-Thomson equation arising in high intensity ultrasound, Mathematical Models & Methods in Applied Sciences 22 (2012), 1250035.V. Keyantuo and C. Lizama, Fourier multipliers and integro-differential equations in Banach spaces, Journal of the London Mathematical Society 69 (2004), 737–750.V. Keyantuo and C. Lizama, Maximal regularity for a class of integro-differential equations with infinite delay in Banach spaces, Studia Mathematica 168 (2005), 25–50.V. Keyantuo, C. Lizama and V. Poblete, Periodic solutions of integro-differential euations in vector-valued function spaces, Journal of Differential Equations 246 (2009), 1007–1037.C. Lizama, Fourier multipliers and periodic solutions of delay equations in Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 324 (2006), 921–933.C. Lizama and V. Poblete, Maximal regularity of delay equations in Banach spaces, Studia Mathematica 175 (2006), 91–102.C. Lizama and R. Ponce, Periodic solutions of degenerate differential equations in vector valued function spaces, Studia Mathematica 202 (2011), 49–63.C. Lizama and R. Ponce, Maximal regularity for degenerate differential equations with infinite delay in periodic vector-valued function spaces, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 56 (2013), 853–871.R. Marchand, T. Mcdevitt and R. Triggiani, An abstract semigroup approach to the third-order Moore–Gibson–Thompson partial differential equation arising in highintensity ultrasound: structural decomposition, spectral analysis, exponential stability, Mathematical Methods in the Applied Sciences 35 (2012), 1896–1929.V. Poblete, Solutions of second-order integro-differential equations on periodic Besov spaces, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 50 (2007), 477–492.V. Poblete and J. C. Pozo, Periodic solutions of an abstract third-order differential equation, Studia Mathematica 215 (2013), 195–219.J. Prüss, Evolutionary Integral Equations and Applications, Monographs in Mathematics, Vol. 87, Birkhäuser, Heidelberg, 1993.G. A. Sviridyuk and V. E. Fedorov, Linear Sobolev type Equations and Degenerate Semigroups of Operators, Inverse and Ill-posed Problems Series, VSP, Utrecht, 2003.L. Weis, Operator-valued Fourier multiplier theorems and maximal Lp-regularity, Mathematische Annalen 319 (2001), 735–758

Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals

Предложен новый подход к измерению сигнала, искаженного не только инерционностью измерительного устройства, но и его резонансами

Multipoint Initial-Final Problem for One Class of Sobolev Type Models of Higher Order with Additive "White Noise"

Sobolev type equations theory has been an object of interest in recent years, with much attention being devoted to deterministic equations and systems. Still, there are also mathematical models containing random perturbation, such as white noise. A new concept of "white noise", originally constructed for finite dimensional spaces, is extended here to the case of infinite dimensional spaces. The main purpose is to develop stochastic higher-order Sobolev type equations theory and provide some practical applications. The main idea is to construct 'noise' spaces using the Nelson-Gliklikh derivative. Abstract results concerning initial-final problems for higher order Sobolev type equations are applied to the Boussinesq-Love model with additive 'white noise'. We also use well-known methods in the investigation of Sobolev type equations, such as the phase space method, which reduces a singular equation to a regular one, as defined on some subspace of the initial space.Теория уравнений Соболева была предметом интереса многих исследователей последние годы, при этом много внимания уделялось детерминированным уравнениям и системам. Тем не менее, существуют также математические модели, содержащие случайные возмущения, такие как белый шум. Новая концепция "белого шума", первоначально построенная для конечномерных пространств, в данной работе распространяется на случай бесконечномерных пространств. Основная цель заключается в разработке стохастической теории уравнений cоболевского типа высокого порядка и предоставлении некоторых практических приложений. Основная идея состоит в том, чтобы построить пространства 'шумов', используя производную Нельсона - Гликлиха. Абстрактные результаты, касающиеся начально-конечных задач для уравнений cоболевского типа высокого порядка, применяются к математической модели Буссинеска - Лява с аддитивным 'белым шумом'. Использован такой известный метод теории уравнений cоболевского типа, как метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства, понимаемом как фазовое пространство

Exponential Dichotomies in Barenblatt-Zheltov-Kochina Model in Spaces of Differential Forms with 'Noise'

We investigate stability of solutions in linear stochastic Sobolev type models with the relatively bounded operator in spaces of smooth differential forms defined on smooth compact oriented Riemannian manifolds without boundary. To this end, in the space of differential forms, we use the pseudo-differential Laplace–Beltrami operator instead of the usual Laplace operator. The Cauchy condition and the Showalter–Sidorov condition are used as the initial conditions. Since “white noise” of the model is non-differentiable in the usual sense, we use the derivative of stochastic process in the sense of Nelson–Gliklikh. In order to investigate stability of solutions, we establish existence of exponential dichotomies dividing the space of solutions into stable and unstable invariant subspaces. As an example, we use a stochastic version of the Barenblatt–Zheltov–Kochina equation in the space of differential forms defined on a smooth compact oriented Riemannian manifold without boundary.Исследована устойчивость решений в линейных стохастических моделях соболевского типа с относительно ограниченным оператором в пространствах гладких дифференциальных форм, определенных на гладких компактных ориентированных римановых многообразиях без края. Для этого в пространстве дифференциальных форм используем вместо обычного оператора Лапласа псевдодифференциальный оператор Лапласа - Бельтрами. В качестве начальных использованы условие Коши и условие Шоуолтера - Сидорова. В связи с недифферинцируемостью, в обычном понимании, имеющегося в модели 'белого шума' используем производную стохастического процесса в смысле Нельсона - Гликлиха. Для исследования устойчивости решений устанавливаем наличие экспоненциальных дихотомий разделяющих пространство решений на устойчивое и неустойчивое инвариантные подпространства. В качестве примера используется стохастический вариант уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в пространстве дифференциальных форм, определенных на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края

Some Mathematical Models with a Relatively Bounded Operator and Additive 'White Noise'

The article is devoted to the research of the class of stochastic models in mathematical physics on the basis of an abstract Sobolev type equation in Banach spaces of sequences, which are the analogues of Sobolev spaces. As operators we take polynomials with real coecients from the analogue of the Laplace operator, and carry over the theory of linear stochastic equations of Sobolev type on the Banach spaces of sequences. The spaces of sequences of dierentiable "noises" are denoted, and the existence and the uniqueness of the classical solution of Showalter Sidorov problem for the stochastic equation of Sobolev type with a relatively bounded operator are proved. The constructed abstract scheme can be applied to the study of a wide class of stochastic models in mathematical physics, such as, for example, the Barenblatt Zheltov Kochina model and the Ho model.Статья посвящена исследованию класса стохастических моделей математической физики на основе абстрактного уравнения соболевского типа в банаховых пространствах последовательностей, являющихся аналогами пространств Соболева. В качестве последовательностей, являющихся аналогами пространств Соболева. В качестве операторов берутся многочлены от аналога оператора Лапласа с действительными коэффициентами, и производится перенос теории линейных стохастических уравнений соболевского типа на банаховы пространства последовательностей. Вводятся пространства последовательностей дифференцируемых ' шумов' и доказываются существование и единственность классического решения задачи Шоуолтера - Сидорова для стохастического уравнения соболевского типа с относительно ограниченным оператором. Построенная абстрактная схема может быть применена к исследованию широкого класса стохастических моделей математической физики, таких, например, как модель Баренблатта - Желтова - Кочиной и модель Хоффа