Grupos de Lie

Este es un trabajo de fin de grado sobre la teoría de Grupos de Lie y Álgebras de Lie. Se centra en dos objetivos: Por un lado, proporciona al lector los conceptos básicos en relación a Grupos de Lie, Algebras de Lie, la conexión entre ellos, y algunas herramientas para entender su estructura; por otro lado, explora el teorema de Lie-Kolchin, no solo las motivaciones detrás de éste, sino también algunos resultados relacionados.<br /

Grupos de lIE

Orientador: Professor Hudson do Nascimento LimaTrabalho de Conclusão de Curso (graduação) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Curso de Graduação em MatemáticaInclui referênciasResumo : O trabalho reúne definições e resultados básicos da teoria de Grupos de Lie, entre eles o Teorema do Subgrupo Fechado e os 3 Teoremas de Lie. Mostra-se que é possível definir um funtor entre a categoria dos Grupos de Lie e a das Álgebras de Lie de dimensão finita, que, quando restrito a subcategoria de grupos simplesmente conexos, é fiel. Também se classificam os Grupos de Lie abelianos e conexos, e são estudadas algumas propriedades de Grupos e Álgebras compactas. Por fim, reúnem-se exemplos dos principais grupos de LieAbstract: The paper compiles basic results and definitions from the thoery of Lie Groups, among them the Closed Subgroup Theorem and the Lie’s 3 Theorems. It is shown that its possible to define the a functor between the category of Lie Groups e the category of Lie Algebras of finite dimension and, when this functor is restricted to simply connected Groups, this is a faithful functor. The abelian connected subgroups are classified and some properities of compact Lie Groups and Algebras are also exibihite

Ecuación de Riccati mediante grupos de Lie

La cuestión aquí, prácticamente, es la de qué tanto permite avanzar en el estudio de la ecuación la introducción de los grupos de Lie; además, la de si la consideración de los métodos de solución mediante grupos de Lie permite esclarecer la estructura de las ecuaciones de Riccati que admiten grupos de Lie, o la del conjunto de soluciones. Si se logra determinar para una ecuación, o una familia de ecuaciones, de Riccati un grupo de Lie mediante el cual la ecuación sea invariante, es posible que puedan enunciarse propiedades geométricas de la ecuación, o de la familia de ecuaciones

Ecuaciones de Riccati mediante grupos de Lie

Traducción de una comunicación de Daniel Bernoulli. Funciones elementales de Liouville. Ecuaciones de Bessel reducibles a una ecuación de Riccati

Álgebras de Lie cuyos grupos de Lie tienen curvatura seccional negativa

The aim of this work is to completely describe two families of Lie algebras whose Lie groups have negative sectional curvature. The first family consists of Lie algebras satisfying the following property: given any two vectors in the Lie algebra, the linear subspace spanned by them is a Lie subalgebra. On the other hand, the second family consists of reduced Lie algebras of Iwasawa type.El propósito de este trabajo es describir completamente dos familias de álgebras de Lie cuyos grupos de Lie asociados tienen curvatura seccional negativa. La primera familia consiste de álgebras de Lie que satisfacen la siguiente propiedad: dados cualesquiera dos vectores en el álgebra de Lie, el subespacio vectorial que generan es una subálgebra de Lie. Por otro lado, la segunda familia consiste de álgebras de Lie de tipo Iwasawa reducidas

Simetrías de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schrödinger no lineales con no linealidad inhomogénea

Usando teoría de grupos de Lie y transformaciones canónicas, construimos soluciones explícitas de ecuaciones de Schrödinger no lineales con no linealidad modulada en el espacio. Presentamos la teor´ıa general y apoyandonos en esta, estudiamos diferentes ejemplos, presentando soluciones explícitas

G2-estructuras ERP en grupos de Lie

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020.Una G2-estructura en una variedad diferenciable de dimensión 7 es una 3-forma diferenciable que cumple cierta condición de positividad, y por lo tanto induce una métrica riemanniana y una forma de volumen en la variedad. Cuando la G2-estructura es cerrada, la única componente de torsión que sobrevive es la 2-forma T y se dice que la G2-estructura es Extremally Ricci Pinched (ERP), si la derivada de T satisface cierta condición en función de la G2-estructura y su torsión T. En esta tesis estudiamos grupos de Lie con una G2-estructura ERP invariante a izquierda. Obtuvimos una clasificación completa de G2-estructuras ERP invariantes a izquierda en grupos de Lie, salvo equivalencia y multiplicación por escalar. La clasificación consiste de exactamente cinco estructuras, todas definidas en respectivos cinco grupos de Lie completamente solubles no isomorfos dos a dos. Por otro lado, fijamos una G2-estructura invariante a izquierda (no necesariamente cerrada) en un grupo de Lie con corchete de Lie determinado por una matriz real 2x2 y tres matrices reales 4x4. Probamos varias fórmulas que pueden ser útiles para la G2-estructura, como por ejemplo el laplaciano de Hogde y sus formas de torsión. Más aún, aplicamos estas fórmulas para obtener una nueva familia de ejemplos de solitones de Laplace de contracción.A G2-structure on a 7-dimensional differentiable manifold is a differentiable 3-form such that it satisfies certain positivity condition and therefore induces a Riemannian metric and a volume form on the manifold. When the G2-structure is closed, the only surviving torsion form is the 2-form T and we say that the G2-structure is Extremally Ricci Pinched (ERP) if the differential of T satisfies certain condition in terms of T and the G2-structure. In this thesis we study Lie groups endowed with a left-invariant ERP G2-structure. We obtain a complete classification, up to equivalence and scaling, of left-invariant ERP G2-structures on Lie groups. The classification consists of exactly five structures, all of them defined on respectively completely solvable Lie groups non pairwise isomorphic. On the other hand, we fix a left-invariant G2-structure (not necessarily closed) on a Lie group with Lie bracket determined by a 2x2 real matrix and three 4x4 real matrices. We proved several formulas that can be useful for such G2-structure, such as the Hodge Laplacian operator and the torsion forms among others. Moreover, we apply these formulas in order to obtain a new family of examples of shrinking Laplacian solitons.Fil: Nicolini, Marina. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina

Entropia topológica de endomorfismos de Grupos de Lie

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2019.Fazemos uma breve introdução à Teoria Ergódica e definimos três medidas de entropia. Apresentamos então uma versão do Princípio Variacional da entropia que compara estas três medidas de entropia em um contexto não compacto. A seguir, demonstramos que a entropia em fibrados é menor ou igual à entropia no quociente mais a entropia na fibra no caso em que a fibra é compacta. Dada esta limitação, introduzimos o conceito de Pares de Li-Yorke, que nos ajudará a controlar a entropia em casos mais gerais. No capítulo seguinte, apresentamos os resultados de Teoria de Lie necessários ao nosso resultado principal. No último capítulo, começamos com o cálculo da entropia de Dinaburg-Bowen de endomorfismos em grupos de Lie (Fórmula de Bowen) e concluímos, no nosso resultado principal, determinando a entropia topológica de qualquer endomorfismo em grupos de Lie.In this work we make a brief introduction to Ergodic Theory and define three types of entropy. We then present one version of the Variational Principle that compares these three types of entropy in a noncompact context. We follow by demonstrating that the entropy in the fibers is less than or equal to the entropy of the quotient plus the entropy of the fiber, in the case the fiber is compact. Given this limitation, we introduce the concept of Li-Yorke Pairs, that will help us to control the entropy in more general cases. In the next chapter, we resume the results from Lie Theory necessary to our main result. In the last chapter, we start with the Bowen Formula, that is the method to calculate the Dinaburg-Bowen entropy of the endomorphisms of Lie groups and conclude, in our main result, by determining the topologic entropy of any endomorphisms of Lie groups

Estructuras casi-Kähler estáticas en grupos de Lie

Tesis (Lic. en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2021.Una ecuación especialmente sofisticada para evolucionar variedades casi-Kähler es el flujo de curvatura simpléctico, introducido por Streets-Tian. Los puntos fijos de este flujo, que reciben el nombre de estructuras estáticas, son objetos de gran interés y han presentado dificultades en su estudio. En dimensión 4, Streets-Tian y Kelleher probaron que estas estructuras presentan ciertas condiciones de rigidez. En este trabajo se muestra que a partir de dimensión 6 esas propiedades de rigidez ya no son válidas, y se dan los primeros ejemplos de estructuras estáticas que no son ni Kähler ni EinsteinA specially sophisticated equation that evolves almost-Kähler manifolds is the symplectic curvature flow, introduced by Streets-Tian. The fixed points of this flow, which are called static structures, are objects of interest whose study has presented difficulties. In dimension 4, Streets-Tian and Kelleher have proved certain conditions of rigidity that hold for these structures. We show that in dimension 6 and above, these rigidity properties are no longer valid, and we give the first examples of static structures that are not Kähler nor Einstein.Fil: Molina, Camilla. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina