A note on the Geronimus transformation and Sobolev orthogonal polynomials

In this note we recast the Geronimus transformation in the framework of polynomials orthogonal with respect to symmetric bilinear forms. We also show that the double Geronimus transformations lead to non-diagonal Sobolev type inner products.The research of MD is supported by the European Research Council under the European Union Seventh Framework Programme (FP7/2007-2013)/ERC grant agreement no. 259173. The research of FM has been supported by Dirección General de Investigación, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain, grant MTM2012-36732-C03-01.European Community's Seventh Framework Progra

Asymptotics of orthogonal polynomials generated by a Geronimus perturbation of the Laguerre measure

This paper deals with monic orthogonal polynomials generated by a Geronimus canonical spectral transformation of the Laguerre classical measure for x in [0,?), ? > ?1, a free parameter N and a shift c<0. We analyze the asymptotic behavior (both strong and relative to classical Laguerre polynomials) of these orthogonal polynomials as n tends to infinity

Multiple Geronimus transformations

We consider multiple Geronimus transformations and show that they lead to discrete (non-diagonal) Sobolev type inner products. Moreover, it is shown that every discrete Sobolev inner product can be obtained as a multiple Geronimus transformation. A connection with Geronimus spectral transformations for matrix orthogonal polynomials is also considered.The work of Francisco Marcellán has been supported by Dirección General de Investigación, Desarrollo e Innovación, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain, grant MTM2012-36732-C03-01

Multipoint Schur algorithm and orthogonal rational functions: convergence properties, I

Classical Schur analysis is intimately connected to the theory of orthogonal polynomials on the circle [Simon, 2005]. We investigate here the connection between multipoint Schur analysis and orthogonal rational functions. Specifically, we study the convergence of the Wall rational functions via the development of a rational analogue to the Szeg\H o theory, in the case where the interpolation points may accumulate on the unit circle. This leads us to generalize results from [Khrushchev,2001], [Bultheel et al., 1999], and yields asymptotics of a novel type.Comment: a preliminary version, 39 pages; some changes in the Introduction, Section 5 (Szeg\H o type asymptotics) is extende

Classical perturbations for matrices of linear functionals

Mención Internacional en el título de doctorEl objetivo de esta Tesis es estudiar trasformaciones espectrales para matrices que tiene como entradas funcionales lineales. En particular estudiamos las transformaciones de Christoffel, Geronimus y Geronimus-Uvarov. Con el fin de que esta Tesis sea lo más autocontenida posible, la hemos dividido en siete capítulos. • En el Capítulo 1, introducimos algunos conceptos y fijamos la notación que será usada a lo largo de esta Tesis a la vez que exponemos algunas propiedades básicas acerca de matrices semi-infinitas, módulos y polinomios matriciales junto con su teoría espectral. Hecho esto, pasamos a introducir la definición de matriz de funcionales lineales (y su forma sesquilineal asociada) también como el concepto de bi-ortogonalidad. • En el Capítulo 2 resumimos algunos resultados relativos a formas bilineales para las cuales el operador multiplicación por un polinomio es simétrico y su conexión con las relaciones de recurrencia de orden superior. Con esto en mente, pasamos a explicar cuidadosamente el resultado principal de concerniente a la relación existente entre una sucesión de polinomios satisfaciendo una relación de recurrencia de orden superior y una sucesión de polinomios matriciales que son ortogonales respecto a una medida matricial. Para concluir, mostramos algunos ejemplos de gran interés en la literatura. • El Capítulo 3 está dividido en dos partes. La primera parte se basada en los trabajos de A. J. Durán, A. J. Durán y W. Van Assche, y M. Derevyagin and F. Marcellán siendo este último el referente para esta primera parte del capítulo. Aquí, damos algunos resultados relacionados con la transformación espectral de Geronimus en el contexto de funcionales lineales y con esto en mente, motivamos la definición de este tipo de transformaciones para las formas bilineales simétricas B( . ; . ) definidas en términos de una medida de probabilidad con la propiedad de que el operador multiplicación por un cierto polinomio h(x) es simétrico para la forma bilineal, esto es B(h f ;g) = B( f ;gh) para todo f ;g 2 R[x]. Acto seguido, introducimos la noción de transformación de Geronimus múltiple y generalizamos los resultados dados en, encontrando, por ejemplo, que los productos internos tipo Sobolev discretos obtenidos al aplicarle un transformación de Geronimus múltiple a una forma bilineal nos lleva a una transformación de Geronimus matricial. Estos resultados han sido publicados en. Motivados por el resultado anterior, en la segunda parte de este capítulo, estudiamos la transformación de Geronimus (hermitica) pero ahora, sobre una matriz de medidas definida positiva, es decir, estamos interesados en el análisis de formas sesquilineales ( . ; . )W defindas mediante {P(x)W(x);Q(x)W(x)}W = ∫ P(x)dMQ†(x); donde M es una matriz de medidas definida positiva y W(x) es un polinomio matricial de grado fijo pero arbitrario. Aquí, encontramos condiciones para la existencia de la sucesión de polinomios ortogonales respecto a ( . ; . )W así como la fórmula de conexión entre los polinomios ortogonales originales y perturbados. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 4 se dedica a la extensión de la fórmula de Christoffel para polinomios biortogonales matriciales. Más precisamente, dada una matriz de funcionales lineales u y W(x) un polinomio matricial con coeficiente principal no-singular, nosotros estudiamos la siguiente transformación matricial û =W(x)u y la relación entre sus familias de polinomios bi-ortogonales. El resultado principal de este capítulo es precisamente el Teorema 4.11, que presenta las fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales originales y perturbados. Para este propósito usamos toda la riqueza de la teoría espectral disponible para polinomios matriciales, en particular las cadenas de Jordan y los "roots polynomials" a izquierda y derecha que serán extremadamente útiles. Finalmente, veremos que estas transformaciones de Christoffel se pueden extender a la teoría de sistemas integrables. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 5 estudia la extensión de la transformación de Geronimus para matrices de funcionales lineales soportados en la recta real, es decir, multiplicaremos una matriz de funcionales lineales por un polinomio matricial WG(x) y le adicionaremos una suma de masas adecuadas (que dependen de los "roots polynomials" a izquierda y derecha). Aquí, desarrollamos dos diferentes métodos, el espectral y no espectral con el fin de obtener fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales asociados al funcional original y el perturbado. • En el Capítulo 6 se desarrolla la extensión de las transformación de Geronimus-Uvarov para matrices de funcionales lineales soportados sobre la recta real. Este tipo de transformaciones pueden considerarse como una composición de una transformación de Geronimus y, acto seguido, de una transformación de Christoffel. En términos de matrices de funcionales esto se escribe como u→uˇ→û, donde uˇWG(x) = u y û = WC(x)uˇ; con WC(x) y WG(x) polinomios matriciales. Como en el capítulo 5, usando el método espectral y no-espectral, obtenemos fórmulas de conexión entre los polinomios bi-ortogonales matriciales originales y los perturbados. En el método espectral encontramos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados en términos de la sucesiones de polinomios bi-ortogonales originales y las funciones de segunda especie (ver (1.9)). Aquí asumimos que los coeficientes principals de los polinomiosWC(x) yWG(x) son matrices no-singulares. En el método no-espectral damos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados sin asumir ninguna hipótesis sobre el coeficiente principal del polinomio WG(x). Finalmente, como una aplicación, estudiamos la transformación de Uvarov matricial, que consiste en adicionarle al funcional original una suma de masas. Los resultados del capítulo 5 y 6 han sido publicados en. • Finalmente, en el Capítulo 7 damos un resumen de los principales resultados de esta tesis, así como una lista de problemas abiertos.Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería MatemáticaPresidente: Antonio José Durán Guardeño.- Secretario: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moren

Zeros of Orthogonal Polynomials Generated by the Geronimus Perturbation of Measures

Proceedings of: 14th International Conference Computational Science and Its Applications (ICCSA 2014). Guimarães, Portugal, June 30 – July 3, 2014This paper deals with monic orthogonal polynomial sequences (MOPS in short) generated by a Geronimus canonical spectral transformation of a positive Borel measure μ, i.e., (x−c) −1dμ(x)+Nδ(x−c), for some free parameter N ∈ IR+ and shift c. We analyze the behavior of the corresponding MOPS. In particular, we obtain such a behavior when the mass N tends to infinity as well as we characterize the precise values of N such the smallest (respectively, the largest) zero of these MOPS is located outside the support of the original measure μ. When μ is semi-classical, we obtain the ladder operators and the second order linear differential equation satisfied by the Geronimus perturbed MOPS, and we also give an electrostatic interpretation of the zero distribution in terms of a logarithmic potential interaction under the action of an external field. We analyze such an equilibrium problem when the mass point of the perturbation c is located outside the support of μ

Zeros of para-orthogonal polynomials and linear spectral transformations on the unit circle

We study the interlacing properties of zeros of para-orthogonal polynomials associated with a nontrivial probability measure supported on the unit circle d mu and para-orthogonal polynomials associated with a modification of d mu by the addition of a pure mass point, also called Uvarov transformation. Moreover, as a direct consequence of our approach, we present some results related with the Christoffel transformation.The authors thank the referees for their comments and suggestions. This work is partially supported by the CMUC, funded by the European Regional Development Fund through the program COMPETE and by the Portuguese Government through the Fundacao para a Ciência e a Tecnologia (FCT) under the project PEst-C/MAT/UI0324/2013. The research of the first author is supported by the Portuguese Government through the FCT under the grant SFRH/BPD/101139/2014. This author also acknowledges the financial support by the Brazilian Government through the CNPq under the project 470019/2013-1. The research of the first and second author is supported by the Dirección General de Investigación Científica y Técnica, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain under the project MTM2012–36732–C03–01. The second author also acknowledges the financial support by the Brazilian Government through the CAPES under the project 107/2012