Teoría de Galois en extensiones algebraicas de grado infinito

En este trabajo se presenta una teoría de Galois para extensiones algebraicas de grado infinito, en particular, la generalización de la versión clásica del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Iniciamos dotando al grupo de Galois, Gal (L/K), con la topología de Krull. Como primera consecuencia, se obtiene que los subgrupos cerrados son los que se corresponden con los subcuerpos intermedios de la extensión. Adicionalmente, el grupo de Galois adquiere la propiedad de Hausdorff, totalmente disconexo y compacto. Finalmente, utilizamos la teoría de grupos profinitos para caracterizar al grupo de Galois y calcularlo para ciertas extensiones de Q, IP,, y C(t)

Sobre o problema inverso de Galois para grupos abelianos finitos

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2022O Problema Inverso de Galois, no seu enunciado clásico, trata de determinar para que grupos finitos G existe unha extensión de Galois sobre Q que teña grupo de Galois isomorfo a G. Neste traballo tratarase o caso particular no cal o grupo finito sexa ademais abeliano. A exposición do traballo divídese en dúas partes. Na primeira parte probarase que, no caso de grupos abelianos, sempre existe unha extensión que resolve o Problema Inverso de Galois. Na segunda parte demóstrase o Teorema de Kronecker-Weber, o cal establece que toda extensión de Galois de Q con grupo de Galois abeliano é unha extensión ciclotómica. Para os corpos ciclotómicos analizaremos a estrutura dos seus grupos de Galois sobre Q. Ademais, introduciremos a teoría de corpos de números necesaria para a proba do Teorema de Kronecker-Weber, en concreto, presentarase o anel de enteiros dun corpo de números alxébricos, a factorización de ideais primos nunha extensión de corpos de números, así coma, os grupos de descomposición e inercia.The Inverse Galois Problem, in its classic formulation, asks whether given a finite group G there exists a Galois extension over Q whose Galois group is isomorphic to G. This work will address the special case in which the finite group is also abelian. The content of this paper is divided into two parts. In the first part we will prove that, if G is any finite abelian groups, then we can find a Galois extension of Q that solves the Inverse Galois Problem for G. In the second part we will prove the Kronecker-Weber Theorem, which states that if the Galois group of a Galois extension of Q is abelian then the extension is cyclotomic. For cyclotomic fields we study the structure of their Galois groups over Q. Moreover, we will present some concepts of the theory of algebraic number fields that are necessary to prove the Kronecker-Weber Theorem. Specifically, we will introduce the ring of integers of an algebraic number field, the prime decomposition in extensions of number rings and the decomposition and inertia groups

Cálculo explícito de Elementos de Frobenius en Grupos de Galois

In the XIX century David Hilbert proposed a problem in Galois Theory that remains unanswered today, “Every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers” A related question that arose as result of it is if, given a finite group G, we can nd families of parametric polynomials with coefficients in ℚ whose finite Galois extension K/∕ℚ has its Galois group isomorphic to G for almost every value of the parameters. The goal of this dissertation is, given a known family of parametric polynomials fa(x) with Galois group G and K its splitting field over ℚ for some value of a, take a prime p ∈ ℚ that doesn’t ramify in the Galois extension K/∕ℚ and find the associated Frobenius element Frobenius element Frobp which meets Frobp (x) ≡ xp mod p for all integral x in K and p prime ideal in the ring of integers of K such that p ∩ ℤ matches the ideal generated by p. To reach this objective we have to elaborate the results on Dedekind domains and ideal ramification leading to the definition of the Frobenius element. Once the groundwork is laid we proceed to expound the method of the Dokchitser brothers for the identification of the element for almost every prime ideal p. We will see that it suffices to check if Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p Then we would have Frobp ∈ C, where C is a conjugacy class of G and Γc a polynomial that we will define in section 2.2. We will also make some examples applying the previous procedure as well as add in theorems such as Chevotarev’s Density theorem that will widen our conlclusions.En el siglo XIX David Hilbert propuso un problema en teoría de Galois que sigue sin tener respuesta a día de hoy, “Todo grupo finito es el grupo de Galois de alguna extensión de los numeros racionales” Una pregunta relacionada que surgió a raíz de ello es si, dado un grupo finito G, podemos encontrar familias de polinomios paramétricos con coeficientes en ℚ cuya extensión finita de Galois K∕ℚ tenga su grupo de Galois isomorfo a G para casi todos los valores de los parámetros. El objetivo de este trabajo es, dada una familia conocida de polinomios paramétricos fa(x) con grupo de Galois G y K su cuerpo de descomposición sobre ℚ para algún valor de a, tomar un primo p ∈ ℚ que no ramifique en la extensión de Galois K/ℚ y encontrar el elemento de Frobenius Frobp asociado que cumple Frobp (x) ≡ xp mod p para todo x íntegro en K y p ideal primo del anillo de enteros de K tal que p ∩ ℤ coincide con el ideal generado por p. Para lograr este objetivo tenemos que desarrollar resultados sobre dominios de Dedekind y ramificación de ideales que nos llevarán a la definición del elemento de Frobenius. Una vez sentadas estas bases procederemos a explicar el método de los hermanos Dokchitser para la identificación del elemento para casi todo ideal primo p. Veremos que nos basta comprobar si Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p, entonces tendríamos que Frobp ∈ C. Siendo C una clase de conjugación de G y Γc un polinomio para cada clase que definiremos en la sección 2.2. Realizaremos también algún ejemplo para aplicar el procedimiento anterior además de añadir algún teorema como el teorema de Densidad de Chevotarev que ampliarán las conclusiones que podremos obtener.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Cohomología de Galois y el Problema de Inmersión

This text is the required master thesis that the author needs to present in order to obtain his Master’s degree in mathematics. It introduces the Galois embedding problem, focusing in Brauer type embedding problems, which can be studied through the second cohomology group and the relative Brauer group. With that purpose, the cohomology groups H (superscript i)for i = 0, 1, 2 are introduced as well as the required tools of central simple algebras required to define and understand the Brauer group and deal with the obstructions of the problems.Universidad de Sevilla. Máster Universitario en Matemática

Álgebra conmutativa. Geometría algebraica

El presente manual está concebido como texto de referencia para los estudiantes del Grado de Matemáticas de la UEX, en las asignaturas de Álgebra: Álgebra Conmutativa, Álgebra I, Álgebra II Teoría de Números. Incluye diversos temas de Álgebra y Geometría Algebraica para alumnos de máster y doctorado, y sirve también como manual de apoyo a los profesores del área de Álgebra.This manual is designed as a reference text for the students of the degree of Mathematics of the UEX, in the subjects of Algebra: Commutative Algebra, Algebra I, Algebra II Theory of Numbers. Includes various topics of Algebra and Algebraic Geometry for students of master and doctorate, and also serves as a manual of support for teachers in the area of algebra

Resolubilidad por radicales de algunos polinomios de grado cinco.

En el trabajo se estudia la resolubilidad por radicales de distintos polinomios. Se buscan, en todos los casos posibles, fórmulas concretas para las raíces de polinomios de grado dos, tres, cuatro y cinco.<br /

Estudio asintótico de torres y subtorres de cuerpos de funciones

En esta tesis estudiamos a una nueva torre de cuerpos de funciones de tipo Artin-Schreier type sobre un cuerpo finito de característica dos. En particular demostramos que esta torre es óptima sobre un cuerpo finito con cuatro elementos. El estudio del comportamiento asintótico de esta torre fue propuesto como problema abierto por Beleen, Garcia and Stichtenoth en el año 2006. También dimos un método para construir subsucesiones y supersucesiones de cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos y generalizamos algunos resultados relacionados con la composición y el espacio de descomposición de torres de cuerpos de funciones.In this thesis we study a new tower of function fields of Artin-Schreier type over a finite field with characteristic two. In particular we prove that this tower is optimal over a finite field with four elements. The study of the asymptotic behavior of this tower was left as an open problem by Beelen, Garcia and Stichtenoth in 2006. We also give a method in order to construct subsequences and supersequences of functions fields over finite fields and we show a generalization of some results related to the composita and splitting locus of towers of function fields.Fil: Navarro Oyola, Horacio. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Santa Fe. Instituto de Matemática Aplicada del Litoral. Universidad Nacional del Litoral. Instituto de Matemática Aplicada del Litoral; Argentin

Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales

En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial.Tesi

Teoría de números. Grado en Matemáticas

El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II). El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).The present text is conceived by the author as the manual of the quarterly subject Theory of Numbers, the fourth course of the degree of Mathematics of the UEX. This course is an introduction to the theory of numbers and we make a special emphasis on the relationship of this theory with the theory of algebraic curves. We assume that the students have completed before a course of Galois theory (Algebra I) and a course of algebraic varieties (Algebra II). The manual is divided into four themes. In each issue we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a mathematician relevant (in English)