El icosaedro y la irreducibilidad de la quíntica

According to Galois theory, every irreducible quintic whose Galois group is isomorphic to A5 can not be solved by radicals, due to this group is not solvable. Since the symmetry group of the icosahedron is also isomorphic to A5, it is natural to think that there is any connection between the solutions of the irreducible quintic and the icosahedron. In this dissertation we will show up this connection. One of the first things we will do is to build a polyhedral equation associated to the icosahedral Möbius group (the icosahedral equation) and we will study a method based on hypergeometric functions to solve it. After that, we will reduce the general quintic to a simplest form, the so called canonical form. Using the symmetries of the icosahedron, we will be able to build a suitable quintic resolvent whose roots coincide with those of the canonical quintic and can be expressed as a function of the solution of the icosahedral equation.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales

En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial.Tesi

Teoría de Galois en extensiones algebraicas de grado infinito

En este trabajo se presenta una teoría de Galois para extensiones algebraicas de grado infinito, en particular, la generalización de la versión clásica del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Iniciamos dotando al grupo de Galois, Gal (L/K), con la topología de Krull. Como primera consecuencia, se obtiene que los subgrupos cerrados son los que se corresponden con los subcuerpos intermedios de la extensión. Adicionalmente, el grupo de Galois adquiere la propiedad de Hausdorff, totalmente disconexo y compacto. Finalmente, utilizamos la teoría de grupos profinitos para caracterizar al grupo de Galois y calcularlo para ciertas extensiones de Q, IP,, y C(t)

Teoría de Galois en cuerpos de característica positiva

El objetivo de este trabajo de fin de grado es extender la correspondencia de Galois, inicialmente concebida para extensiones de Galois (finitas, separables y normales), a un teorema sobre extensiones normales finitas. Este trabajo consta de 4 secciones. Se definen primero las nociones de característica y de cuerpo de descomposición, dando resultados ya conocidos sobre cuerpos finitos. En la sección 2 estudiaremos el concepto de separabilidad y luego lo aplicaremos a extensiones finitas normales. En la sección 3 demostraremos el teorema y luego se ilustrará su uso con varios ejemplos. Al final de esta sección lo compararemos con otro enfoque del mismo teorema descrito en la refencia [5]. Como adición, en la sección 4 se aplica el teorema a otros resultados que previamente habían sido demostrados únicamente para extensiones separables finitas.The purpose of this paper is to extend the scope of the Galois Correspondence Theorem, initially proved for Galois extentions, to finite normal field extensions. To that end, this work is divided in 4 sections. Firstly, we define the notion of characteristic of a field and other widely known concepts of field theory. Then we procced to section 2, where separability is described and applied to finite normal extensions. In section 3 we will prove the theorem, followed by some examples of its use. Then, it is compared to another version of the theorem, underlined in the reference [5]. In addition, in section 4 we will apply the theorem to some results which had previuosly been proven solely for separable finite extensions.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

De las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas y contemporáneas: el caso de la teoría de Galois como una adjunción

En este trabajo de grado se presentan algunos elementos a considerar en el estudio de la transición de las Matemáticas clásicas a las Matemáticas modernas y contemporáneas, a través de un estudio histórico–epistemológico y matemático de la obra de Galois. Así, nos concentraremos en la indagación de la teoría de Galois como una adjunción, lo cual será analizado desde dos perspectivas: una matemática que nos muestra el presente teórico de la teoría de Galois y las adjunciones, lo que nos permite comentar como la teoría de Galois es un caso particular de una adjunción; y otra histórica que muestra la evolución de la teoría de Galois desde 1830 hasta la actualidad. Todo esto, porque consideramos la teoría de Galois como un ejemplo paradigmático en la transición de las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas y contemporáneas. Al final presentaremos una reflexión didáctica y epistemológica vinculada directamente a la formación inicial de profesores en el cuerpo de las matemáticas

Números constructibles

The main goal in this work is the comparison between the classical methods of drawing a figure using straight edge and compass and a new approach that uses folding a paper. These new numbers are called origami numbers, which allow us trisect an angle and duplicate the cube. We compare too the conditions for a regular polygon to be constructed, based on theorems from Galois Theory.El objetivo del trabajo es la comparativa entre las construcciones clásicas mediante regla y compás y las que se obtienen con la adicion de un tipo de plegado que da lugar a los números origami. Mediante estos últimos es posible la construcción de la trisección del angulo y de la duplicación del cubo, así como ampliar el conjunto de polígonos regulares que se pueden obtener con estas nuevas operaciones. Las demostraciones implican el uso de conceptos procedentes de la teoría de Galois.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Grupo de Brauer de un cuerpo

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2022With the aim of providing a classification of finite dimensional central division algebras over a field K, in this work we deal with the notion of finite dimensional central simple algebras over K and we define an equivalence relation in the set of these algebras, which allow us to construct the Brauer group of the field K, Br(K). The memoir ends defining the relative Brauer group, Br(E/K), that will also be useful for the study of Br(K), since it simplifies questions about the Brauer group of K to questions on Br(E/K) for a certain field E, allow us to give an alternative definition of the Brauer group of the field K by considering finite Galois extensions of KCon la finalidad de dar una clasificación de las álgebras de división centrales de dimensión finita sobre un cuerpo K, en este trabajo se estudia la noción de álgebra central simple de dimen sión finita sobre K y se define una relación de equivalencia en el conjunto de estas álgebras, lo que permite construir el grupo de Brauer del cuerpo K, Br(K). Se finaliza la memoria definiendo el grupo de Brauer relativo, Br(E/K), que además de ser útil para el estudio de Br(K), ya que simplifica cuestiones a cerca del grupo de Brauer de K a cuestiones en Br(E/K) para un cierto cuerpo E, permite dar una definición alternativa del grupo de Brauer del cuerpo K considerando extensiones de Galois finitas de K

Cohomología de Galois y el Problema de Inmersión

This text is the required master thesis that the author needs to present in order to obtain his Master’s degree in mathematics. It introduces the Galois embedding problem, focusing in Brauer type embedding problems, which can be studied through the second cohomology group and the relative Brauer group. With that purpose, the cohomology groups H (superscript i)for i = 0, 1, 2 are introduced as well as the required tools of central simple algebras required to define and understand the Brauer group and deal with the obstructions of the problems.Universidad de Sevilla. Máster Universitario en Matemática

Math-Origami. Aspectos algebraicos de las construcciones con origami

Plantemaos el estudio de los números construibles por origami siguiendo la formalización clásica dada por los axiomas Huzita-Justin. El resultado fundamental será el siguiente: un número alfa pertenece al conjunto de los número origami-construibles si, y sólo si, existe una torre de cuerpos que empieza en Q y termina en un subcuerpo del cuerpo de los complejos que contiene alfa, tal que el grado de cada extensión sea 2 ó 3. Veremos cómo caracterizar los polígonos regulares construibles por origami o cómo resolver ecuaciones polinomiales doblando una hoja de papel. Realizado esto, propondremos diferentes extensiones de los axiomas de partida, creando nuevas concepciones del origami que analizar; estudiaremos en cada caso las consecuencias y limitaciones de estas nuevas herramientas de construcción mediante doblado, dando caracterizaciones precisas siempre que nos sea posible. La teoría de Galois será la materia crucial que nos permitirá entender con precisión, y clarificar estas construcciones.Grado en Matemática