Construcciones y mecanismos mentales para implementar y desarrollar el concepto de los vectores en 3D, mediante el apoyo de la herramienta CABRI para el cálculo de volúmenes

La propuesta presenta un informe de los aspectos Histórico-Epistemológico sobre la construcción del conocimiento del producto vectorial, –el cual puede ser interpretado como elemento organizador de los sistemas simbólico cartesiano– y del concepto geométrico de volumen –las diferentes figuras geométricas que se encuentran al interior del paralelepípedo–, los cuales sustentan la investigación sobre las construcciones y mecanismos mentales, para implementar y desarrollar en estudiosos del álgebra lineal el concepto de los vectores en tres dimensiones (3D), mediante el apoyo de la herramienta CABRI para el cálculo de volúmenes. Exploraremos en el concepto, componentes de origen geométrico, funcional y matricial, entendiendo cada uno de estos componentes como diferentes interpretaciones de una misma definición. El objeto matemático de la investigación es el triple producto escalar o producto mixto y su representación geometría de vectores en el espacio de tres dimensiones, mediados con software Cabri, apoyándose inicialmente en los conceptos que se encuentra en textos de Álgebra Linea

Mecanismo mental de síntesis en el aprendizaje del triángulo de Sierpinski como totalidad

La geometría fractal constituye un ámbito de estudio que integra varios conceptos de la matemática escolar, entre ellos, el perímetro, el área, la autosemejanza, la iteración, la sucesión, las funciones y el infinito. Así, se elige el fractal triángulo de Sierpinski con el objetivo de proponer un modelo cognitivo para su aprendizaje. Siguiendo la teoría APOE (acción, proceso, objeto y esquema), se describen estructuras y mecanismos mentales que pueden ser construidos por estudiantes de secundaria que desarrollan una secuencia de actividades escritas. Los resultados empíricos reportan que el fractal en estudio se construye como una totalidad a partir de un mecanismo mental que se ha denominado síntesis, mecanismo que podría abrir nuevas oportunidades de desarrollo para la teoría APOE.Fractal geometry constitutes a field of study that integrates several concepts of school mathematics, among them, perimeter, area, self-similarity, iteration, succession, functions and infinity. Thus, the fractal Sierpinski triangle is chosen with the aim of proposing a cognitive model for its learning. Based on the APOS theory (action, process, object and scheme), mental structures and mechanisms that can be constructed by high school students who develop a sequence of written activities are described. The empirical results report that the fractal under study is built as a totality from a mental mechanism that has been called synthesis, a mechanism that could open new development opportunities for the APOS theory

LA GENERALIZACIÓN COMO ESTRATEGIA COGNITIVA PARA CONSTRUIR LA CONJETURA EN UNA ACTIVIDAD DE CONTEO

Al alero de la Didáctica de la Matemática, el presente artículo con base en la Teoría APOE (acrónimo de Acción, Proceso, Objeto, Esquema) y, a través del mecanismo de la generalización, se propuso interpretar las estrategias cognitivas incluidas en la construcción de una conjetura, en una actividad de conteo. Desde el punto de vista metodológico, se trata de un estudio de caso único, con datos proporcionados por un profesor de matemática cuando aborda distintas situaciones de la actividad contar es el comienzo. Se concluye, por un lado, que las construcciones figurales utilizadas son fundamentales para alcanzar la construcción de la conjetura y, por otro, que algunas conjeturas erróneas son producto de la elección de situaciones que no permiten la generalización. Palabras clave: conteo, generalización, Teoría APOE

Construcción y uso del concepto combinación lineal de vectores

La investigación se sitúa en el estudio del concepto combinación lineal de vectores, que concierne al álgebra lineal, bajo dos enfoques: uno, la Teoría APOE para indagar en su construcción, y otro, la Célula Generadora, para evidenciar su uso. Se diseñó una descomposición genética teórica del concepto combinación lineal y una célula generadora, que involucra conceptos que subyacen a su alrededor. En la parte empírica de la investigación se diseñó y aplicó un cuestionario y entrevistas, para testear la viabilidad de los diseños, en 12 estudiantes del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (Chile), quienes dieron información respecto a las construcciones y usos que realizaron.

Lypsyrobottitilojen lomituskäytännöt

Robottilypsy tuo uudenlaisia näkökohtia lypsyrobottitilojen lomituskäytäntöihin. Fyysisesti raskaan lypsytyön jäädessä pois voidaan keskittyä seuraamaan eläinten terveyttä ja hyvinvointia, jolloin eläinten hoitajan ammattitaitoa tarvitaan. Pohjoissavolaisilta paikallisyksiköiltä puuttuu yhtenäiset toimintaohjeet robottitilojen hälytyksien vastaanotosta ja niiden kuittaamisesta. Työssä tehtiin lomituskäytäntöjä selvittävä kysely, joka lähetettiin robottitilojen lomituksia järjestäville paikallisyksiköille, lypsyrobottitiloille sekä lypsyrobottitiloilla työskenteleville lomittajille. Vastaukset kerättiin verkkosalkkuun luodun kyselyn avulla. Kysely lähetettiin yhdeksälle paikallisyksikölle, 48 robottitilalle ja 84 lomittajalle. Kyselyn vastausprosentiksi saatiin paikallisyksiköiden osalta 100, robottitilojen 37,5 ja lomittajien osalta 34,5. Robottitilojen lomitusten kuumin puheenaihe tällä hetkellä on se, kuka hoitaa päivystykset ja hälytysten vastaanottamisen. Yleinen käytäntö hälytysten vastaanotossa on, kahden lomaan oikeutetun tilalla molempien ollessa lomalla tilan ulkopuolella, että lomittaja/lomittajat hoitaa automaattisesti päivystyksen. Sama asia toistuu yhden lomaan oikeutetun yrittäjän tilalla. Tutkimuksessa oli myös sellaisia tiloja jotka eivät tarvinneet päivystystä lainkaan. Keskimäärin näitä tiloja on 4,4 tilaa / paikallisyksikkö. Lypsytyön jäädessä pois se ei tarkoita automaattisesti työmenekin vähenemistä. Kyselyyn vastanneista tiloista 17 % työmenekki koettiin lypsyrobotin asentamisen jälkeen lisääntyneeksi jonkin verran. Tähän syynä oli karjamäärän lisääntyminen. Vastanneista tiloista 56 % oli asentanut robotin uuteen pihattoon. Tutkimuksen mukaan keskimääräinen lomittajan työaika robottitiloilla on 8,11 tuntia. Keskimäärin lypsylehmiä tiloilla on 66,39 kappaletta, hiehoja 43,33 kappaletta ja vasikoita 25,56. Kyselyyn vastanneista lomittajista 86 % mielestä robottitiloilla lomittaminen on mennyt parempaan suuntaan. Tämä johtuu töiden fyysisestä keventymisestä. Työn muuttumista huonompaan suuntaan arvioi 10% lomittajista. Lomittajat kertoivat syyksi työajan pidentymisen ja henkisen paineen kasvamisen. Jatkotutkimusta tälle työlle voisi olla, yhtenäisten oimintaohjeiden laatiminen lypsyrobottitilojen lomituksille.Robot milking systems bring new aspects for farm relief ractices at dairy farms. When hard physical work is no more needed, an animal care taker can focus more on observing nimals’ health and welfare, so more professional skills are also needed. The local unit in Northern Savo does not have a coherent operational model for receiving and signing for alarms from robot milking farms. In this Thesis we made an inquiry to find out the relief practices at robot milking dairy farms. We sent the inquiry to the local unit organizing farm relief services in Northern Savo, to robot milking farms and farm relief workers working at the farms. The results were collected in Verkkosalkku. We sent questionnaires to nine local units, 48 robot milking farms and 84 farm relief workers. The response per cent we got from local unit was 100 %, the farms 37,5 % and from farm relief workers 34,5 % At the moment the biggest problem is who will take care of duties and receiving the alarms from the robot milking farms. The common practice is that when both persons entitled for holiday are absent from the farm at the same time, the farm relief worker will automatically take care of the duty. This applies also for a single farm entrepreneur. In our research there were also farms which had no need for duty at all. On average there were this kind of farms about 4,4 farm per a local unit area. When milking work goes out it does not mean that working time decreases. The farms who answered to the inquiry, 50% of them say that working hours stay same and 17% farmers say that working hours increased to some extent. The reason for this is that the number of animals increased. 56% of the farmers who answered to the inquiry had installed the robot in a new loose stall stable. In ours research relief worker’s working time is average 8,11 hours. The average amount of dairy cattle at a farm are 66,39, heifers are 43,33 and calves 25,56. About the farm relief workers who answered the inquiry 86% say that work is going better at the robot milking farms. This is because there is less physical work. 10% of the farm relief workers said that working got worse. The reason for this is longer working hours and more mental pressure. As a follow-up research for this Thesis a common operational model for farm relief work practices at robot milking farms could be made

Las cónicas en métricas no euclidianas: una mirada desde la teoría de los modos de pensamiento/ The conics in non-Euclidian metrics: a look from the theory of the thought modes

Objective: This article describes the findings and conclusions of a research in mathematics didactics. In Chile, high school students (16 and 17) have difficulties in understanding the conics, given the weak articulation of representations of the types of theoretical and practical thoughts; they do not conceive the isolated conics of the usual metric. Given the cognitive nature of the problem, the theory of the Thinking Modes of Anna Sierpinska is used and it is proposed as a research objective to design a sequence of didactic activities that allows to move forward through different ways of thinking the conics, relating not usual metrics, so that graphic representations of them are not conceived as definitions. Methods: A qualitative approach was used within the interpretive-comprehensive paradigm. Questionnaires of open answers were applied to two groups made up of 17 students from third and 15 from fourth grade. Results: The sequence of didactic activities designed, articulates the practical and theoretical thoughts through the synthetic-geometric (practical thinking), analytical-arithmetic and analytic-structural (theoretical thinking) ways of thinking the conics, using two metrics, both non-Euclidean. The findings show that the students manage to relate the theoretical and practical thoughts, moving forward through different ways of thinking the conics, and generating understanding of the mathematical object. Conclusion: The evidences show that the types of thought coexist in the treatment of the conics with unusual metrics, as well as to demonstrate diverse transits between the ways of thinking, therefore, a deep (integral) understanding is achieved of the conics.Objetivo: Este artículo presenta los resultados y conclusiones de una investigación en didáctica de la matemática. En chile, los estudiantes de secundaria (16 y 17) tienen dificultades en la comprensión de las cónicas, dada la débil articulación de representaciones propias de los tipos de pensamientos teórico y práctico; ellos no conciben a las cónicas aisladas de la métrica usual. Dada la naturaleza cognitiva del problema se utiliza la teoría de los Modos de Pensamiento de Anna Sierpinska y se propone como objetivo de investigación diseñar una secuencia de actividades didácticas que permita el tránsito entre los distintos modos de pensar las cónicas, estos últimos articulados por métricas no usuales, para que las representaciones gráficas de ellas no sean concebidas como definiciones. Métodos: Se empleó un enfoque cualitativo dentro del paradigma interpretativo–comprensivo. Se aplicaron cuestionarios de respuestas abiertas a dos grupos conformados por 17 estudiantes de tercero y 15 de cuarto medio. Resultados: La secuencia de actividades didácticas diseñada, articula los pensamientos práctico y teórico a través de los modos sintético-geométrico (pensamiento práctico), analítico-aritmético y analítico-estructural (pensamiento teórico) de pensar las cónicas, utilizando dos métricas, ambas no euclidianas. Los resultados obtenidos muestran que los y las estudiantes logran articular los pensamientos teórico y práctico, transitando entre los distintos modos de pensar las cónicas, generando comprensión del objeto matemático. Conclusión: Las evidencias presentadas muestran que los tipos de pensamiento coexisten en el tratamiento de las cónicas con métricas no usuales   y, evidencian diversos tránsitos entre los modos de pensar (SG, AA y AE), por lo tanto, se logra una comprensión profunda (integral) de las cónicas

Las cónicas en métricas no euclidianas: una mirada desde la teoría de los modos de pensamiento/ The conics in non-Euclidian metrics: a look from the theory of the thought modes

Objective: This article describes the findings and conclusions of a research in mathematics didactics. In Chile, high school students (16 and 17) have difficulties in understanding the conics, given the weak articulation of representations of the types of theoretical and practical thoughts; they do not conceive the isolated conics of the usual metric. Given the cognitive nature of the problem, the theory of the Thinking Modes of Anna Sierpinska is used and it is proposed as a research objective to design a sequence of didactic activities that allows to move forward through different ways of thinking the conics, relating not usual metrics, so that graphic representations of them are not conceived as definitions. Methods: A qualitative approach was used within the interpretive-comprehensive paradigm. Questionnaires of open answers were applied to two groups made up of 17 students from third and 15 from fourth grade. Results: The sequence of didactic activities designed, articulates the practical and theoretical thoughts through the synthetic-geometric (practical thinking), analytical-arithmetic and analytic-structural (theoretical thinking) ways of thinking the conics, using two metrics, both non-Euclidean. The findings show that the students manage to relate the theoretical and practical thoughts, moving forward through different ways of thinking the conics, and generating understanding of the mathematical object. Conclusion: The evidences show that the types of thought coexist in the treatment of the conics with unusual metrics, as well as to demonstrate diverse transits between the ways of thinking, therefore, a deep (integral) understanding is achieved of the conics.Objetivo: Este artículo presenta los resultados y conclusiones de una investigación en didáctica de la matemática. En chile, los estudiantes de secundaria (16 y 17) tienen dificultades en la comprensión de las cónicas, dada la débil articulación de representaciones propias de los tipos de pensamientos teórico y práctico; ellos no conciben a las cónicas aisladas de la métrica usual. Dada la naturaleza cognitiva del problema se utiliza la teoría de los Modos de Pensamiento de Anna Sierpinska y se propone como objetivo de investigación diseñar una secuencia de actividades didácticas que permita el tránsito entre los distintos modos de pensar las cónicas, estos últimos articulados por métricas no usuales, para que las representaciones gráficas de ellas no sean concebidas como definiciones. Métodos: Se empleó un enfoque cualitativo dentro del paradigma interpretativo–comprensivo. Se aplicaron cuestionarios de respuestas abiertas a dos grupos conformados por 17 estudiantes de tercero y 15 de cuarto medio. Resultados: La secuencia de actividades didácticas diseñada, articula los pensamientos práctico y teórico a través de los modos sintético-geométrico (pensamiento práctico), analítico-aritmético y analítico-estructural (pensamiento teórico) de pensar las cónicas, utilizando dos métricas, ambas no euclidianas. Los resultados obtenidos muestran que los y las estudiantes logran articular los pensamientos teórico y práctico, transitando entre los distintos modos de pensar las cónicas, generando comprensión del objeto matemático. Conclusión: Las evidencias presentadas muestran que los tipos de pensamiento coexisten en el tratamiento de las cónicas con métricas no usuales   y, evidencian diversos tránsitos entre los modos de pensar (SG, AA y AE), por lo tanto, se logra una comprensión profunda (integral) de las cónicas

DESARROLLO DE UN ESQUEMA DEL CONCEPTO ESPACIO VECTORIAL

Aplicamos la Teoría APOE y la Tríada Intra, Inter y Trans para explicar el desarrollo de un esquema de espacio vectorial. Caracterizamos los niveles de desarrollo de dicho esquema, a partir de una descomposición genética, como resultado de nuestro análisis teórico, que señala un camino por el cual los estudiantes pueden construir el concepto espacio vectorial. Con base en dicho análisis teórico diseñamos una entrevista semiestructurada para averiguar la viabilidad de las construcciones mentales que habíamos considerado en la descomposición genética preliminar, eligiendo las preguntas de tal manera que permitirían obtener información profunda respecto al desarrollo del esquema espacio vectorial. Este instrumento fue aplicado a los estudiantes matriculados en un programa de Licenciatura en Matemáticas. El análisis de los resultados obtenidos con estos datos empíricos permite refinar el análisis teórico y presentar una caracterización mejorada de los niveles de esquema del concepto espacio vectorial. Este análisis teórico, además de ser un modelo de aprendizaje, representa una herramienta didáctica que señala estrategias de enseñanza del concepto espacio vectorial.Palabras Clave: Teoría APOE, Esquema, Nivel Intra-Espacio Vectorial, Nivel Inter-Espacio Vectorial, Nivel Trans-Espacio Vectorial. DEVELOPMENT OF A VECTOR SPACE SCHEMAABSTRACTWe apply APOS theory and the Intra-Inter-Trans triad with the aim of explaining the development of a vector space schema. We characterize the levels of the development of this schema, starting from a genetic decomposition, which is the result of a theoretical analysis that indicates a possible way with which students can construct the vector space concept. Based on this theoretical analysis we designed a semi-structured interview with the purpose of verifying the viability of the mental constructions predicted by the preliminary genetic decomposition. Interview questions were designed in such a way as to obtain relevant information about the development of a vector space schema. This interview was applied to a group of students majoring in mathematics. Analysis of the results obtained from the empirical data allows a refinement of the initial theoretical analysis and a better characterization of the levels of a vector space schema. This theoretical analysis, in addition to being a learning model, serves as a didactic tool pointing to teaching strategies for the vector space concept.Key words: APOS theory, Schema, Intra-Vector Space Level, Inter-Vector Space Level, Trans-Vector Space Level