Some remarks on the Lp regularity of second derivatives of solutions to non-divergence elliptic equations and the Dini condition

In this note we prove an end-point regularity result on the Lp integrability of the second derivatives of solutions to non-divergence form uniformly elliptic equations whose second derivatives are a priori only known to be integrable. The main assumption on the elliptic operator is the Dini continuity of the coefficients. We provide a counterexample showing that the Dini condition is somehow optimal. We also give a counterexample related to the BMO regularity of second derivatives of solutions to elliptic equations

DD-modules, Bernstein-Sato polynomials and FF-invariants of direct summands

We study the structure of $D$-modules over a ring $R$ which is a direct summand of a polynomial or a power series ring $S$ with coefficients over a field. We relate properties of $D$-modules over $R$ to $D$-modules over $S$. We show that the localization $R_f$ and the local cohomology module $H^i_I(R)$ have finite length as $D$-modules over $R$. Furthermore, we show the existence of the Bernstein-Sato polynomial for elements in $R$. In positive characteristic, we use this relation between $D$-modules over $R$ and $S$ to show that the set of $F$-jumping numbers of an ideal $I\subseteq R$ is contained in the set of $F$-jumping numbers of its extension in $S$. As a consequence, the $F$-jumping numbers of $I$ in $R$ form a discrete set of rational numbers. We also relate the Bernstein-Sato polynomial in $R$ with the $F$-thresholds and the $F$-jumping numbers in $R$.Comment: 24 pages. Comments welcome

La ley en el Antiguo Israel

Sin resume

Two extensions of consumer surplus

We study consumer surplus in a single market when (a) there is a lower bound in the consumption of the outside good and (b) the weights in the social welfare function given to consumers and firms are different. We assume quasilinear utility. When the lower bound constraint on the consumption of the outside good is binding, income effects arise in demand. In some cases, Cournot equilibrium output is below equilibrium output without this constraint because the constraint makes demand less elastic.When the weights given to consumers and firms are not identical, social welfare is not necessarily concave and profits might be negative at the unrestricted optimum. We characterize social welfare optimum with a bound on maximum losses in a class of utility functions. We offer a formula to find the percentage of welfare losses due to oligopoly in this case

Tradiciones de Henoc en la literatura rabínica

The biblical writer (Gn 5:21-24) called attention to the enigmatic figure of Enoch in several ways: he holds the seventh position of the patriarchal genealogy and his full earthly life span is far and away the lowest. Many other traditions not present in the Bible are fully elaborated in the apochryphal cycle of Enoch (Ethiopic, Slavonic, and Hebrew books of Enoch). Within the Qumran community the figure of Enoch became particularly relevant. Moreover, since he was mysteriously removed by God, he was well qualified to be a revealer of heavenly secrets. Although all this makes of him a special patriarch, bound to be hold in the highest esteem by the rabbis, none of the legends linked to him left any trace in the authoritative rabbinic sources, even though they are well known to the ancient writers. Surprisingly enough, in the Mishnah and in both Talmudim (from Jerusalem and Babylon) no mention is made of Enoch: as time passed, he may have become not so much an unusual character in the Hebrew Bible as a symbol for the apocalyptic thought. The only Tannaitic mention of Enoch is found in a section of Midrash ha-Gadol, and very few references to the patriarch appear in the Midrashic corpus (the one in Genesis Rabbah stands out). These sources show a great variety of views (possitive or negative) regarding the patriarch, a fact also found in the targumim and in Philo, Ben Sira, or the Wisdom of Solomon. If Enoch died like any other human being or, on the contrary, he was translated alive into heaven (so LXX, Ben Sira, Josephus, Pseudo-Jonathan, Hebrews) is the main dispute.El redactor bíblico (Gn 5,21-24) resaltó la enigmática figura de Henoc respecto a los demás patriarcas (séptima posición en la genealogía, número de años de vida en la tierra mucho menor). Muchas otras tradiciones ausentes de la Biblia aparecen plenamente elaborados en el ciclo de Henoc apócrifo (Henoc etiópico, eslavo, hebreo). La figura de Henoc resultó particularmente importante en el seno de la comunidad de Qumrán. Además, dado que fue misteriosamente arrebatado por Dios, estaba totalmente cualificado para ser revelador de secretos celestiales. Aunque todo ello le convierte en un patriarca especial, que debería ocupar uno de los lugares más altos en la estima de los rabinos, ninguna de las leyendas asociadas a él dejó huella en las fuentes rabínicas autoritativas, aunque son bien conocidas por autores antiguos. Resulta sorprendente que su nombre no aparezca en la Misná ni en el Talmud (ni el de Jerusalén ni el de Babilonia), sin duda porque con el paso del tiempo Henoc pasó a ser no tanto una figura especial de la Biblia hebrea cuanto un símbolo del pensamiento apocalíptico. La única mención tanaítica de Henoc se encuentra en una sección del Midrás ha-Gadol, y en el corpus midrásico aparecen muy pocas referencias al patriarca, destacando la del Génesis Rabba. Estas fuentes nos indican que había serias diferencias de valoración (positiva o negativa) del patriarca, hecho que se constata también en los targumim y en Filón, Ben Sira o la Sabiduría de Salomón. La principal discrepancia radica en si Henoc murió como cualquier ser humano o si fue trasladado vivo al cielo (así LXX, Ben Sira, Josefo, Pseudo-Jonatán, carta a los Hebreos)

La Leyenda griega sobre el martirio de Isaías

The work known as Greek Legend, from the second half of the 10th century and transmitted by a lectionary of the 11th century from the National Library of París, presents, among the legends of saints collected in it, a story about Isaiah the Prophet containing some expressions and sentences similar to those found in a Greek recension of the apocryphal text called The Ascension of Isaiah. This text includes three different writings, one of them of Jewish origin called The Martyrdom of Isaiah. The present article offers the first version in Spanish, with a short introduction, of the fragments of the Greek Legend that correspond with The Martyrdom of Isaiah.La obra conocida como Leyenda Griega, de la segunda mitad del siglo X y transmitida por un leccionario del siglo XI de la Biblioteca Nacional de París, presenta entre sus leyendas de santos un relato sobre el profeta Isaías, que reproduce expresiones y frases enteras correspondientes a una recensión griega del apócrifo denominado Ascensión de Isaías. Este apócrifo está compuesto de tres escritos dife­rentes, uno de ellos de origen judío, el Martirio de Isaías. En el presente artículo se ofrece, precedida de una breve introducción, la primera versión en lengua española de los fragmentos de la Leyenda Griega que se corresponden con el Martirio de Isaías

Henoc Traditions in Rabbinic Literature

El presente trabajo se integra dentro del proyecto de investigación BFF2002-00797, financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología.Supone para mí un gran honor y satisfacción colaborar en este volumen de homenaje al Prof. Miguel Pérez Fernández, figura indiscutible en el terreno de los estudios rabínicos, con un trabajo que quiere rendir tributo a sus cualidades académicas y humanas, en recuerdo especialmente de los años en que fuimos compañeros en el Departamento de Hebreo y Arameo de Madrid y compartimos no sólo fecundas discusiones académicas, sino también momentos muy agradables dentro y fuera de la universidad.The biblical writer (Gn 5:21-24) called attention to the enigmatic figure of Enoch in several ways: he holds the seventh position of the patriarchal genealogy and his full earthly life span is far and away the lowest. Many other traditions not present in the Bible are fully elaborated in the apochryphal cycle of Enoch (Ethiopic, Slavonic, and Hebrew books of Enoch). Within the Qumran community the figure of Enoch became particularly relevant. Moreover, since he was mysteriously removed by God, he was well qualified to be a revealer of heavenly secrets. Although all this makes of him a special patriarch, bound to be hold in the highest esteem by the rabbis, none of the legends linked to him left any trace in the authoritative rabbinic sources, even though they are well known to the ancient writers. Surprisingly enough, in the Mishnah and in both Talmudim (from Jerusalem and Babylon) no mention is made of Enoch: as time passed, he may have become not so much an unusual character in the Hebrew Bible as a symbol for the apocalyptic thought. The only Tannaitic mention of Enoch is found in a section of Midrash ha-Gadol, and very few references to the patriarch appear in the Midrashic corpus (the one in Genesis Rabbah stands out). These sources show a great variety of views (possitive or negative) regarding the patriarch, a fact also found in the targumim and in Philo, Ben Sira, or the Wisdom of Solomon. If Enoch died like any other human being or, on the contrary, he was translated alive into heaven (so LXX, Ben Sira, Josephus, Pseudo-Jonathan, Hebrews) is the main dispute.El redactor bíblico (Gn 5,21-24) resaltó la enigmática figura de Henoc respecto a los demás patriarcas (séptima posición en la genealogía, número de años de vida en la tierra mucho menor). Muchas otras tradiciones ausentes de la Biblia aparecen plenamente elaborados en el ciclo de Henoc apócrifo (Henoc etiópico, eslavo, hebreo). La figura de Henoc resultó particularmente importante en el seno de la comunidad de Qumrán. Además, dado que fue misteriosamente arrebatado por Dios, estaba totalmente cualificado para ser revelador de secretos celestiales. Aunque todo ello le convierte en un patriarca especial, que debería ocupar uno de los lugares más altos en la estima de los rabinos, ninguna de las leyendas asociadas a él dejó huella en las fuentes rabínicas autoritativas, aunque son bien conocidas por autores antiguos. Resulta sorprendente que su nombre no aparezca en la Misná ni en el Talmud (ni el de Jerusalén ni el de Babilonia), sin duda porque con el paso del tiempo Henoc pasó a ser no tanto una figura especial de la Biblia hebrea cuanto un símbolo del pensamiento apocalíptico. La única mención tanaítica de Henoc se encuentra en una sección del Midrás ha-Gadol, y en el corpus midrásico aparecen muy pocas referencias al patriarca, destacando la del Génesis Rabba. Estas fuentes nos indican que había serias diferencias de valoración (positiva o negativa) del patriarca, hecho que se constata también en los targumim y en Filón, Ben Sira o la Sabiduría de Salomón. La principal discrepancia radica en si Henoc murió como cualquier ser humano o si fue trasladado vivo al cielo (así LXX, Ben Sira, Josefo, Pseudo-Jonatán, carta a los Hebreos).Ministerio de Ciencia y Tecnología BFF2002-0079