Basic solutions of systems with two max-linear inequalities

We give an explicit description of the basic solutions of max-linear systems with two inequalities.Comment: 16 page

Budget et systèmes mixtes de demande

Dans le cadre de l’étude des systèmes mixtes introduits par Samuelson (1960), on est amené à établir une relation de conjugaison entre chaque variable primale et une variable duale. On se demande alors si, par exemple dans le cas des systèmes de demande, il existe un système mixte où les k premières variables primales et les n-k dernières variables duales du système peuvent être exprimées en fonction des variables complémentaires. Cependant, pour la contrainte de budget, considérée comme variable duale, la seule variable primale candidate au rôle de variable primale conjuguée est le numéraire.Nous étudions ici cette conjugaison à partir des préférences et de la fonction inverse de demande intrinsèque au consommateur (i.e. sans aucune référence à un contexte institutionnel) définie par les utilités marginales normalisées (et la fonction budget que l’on peut leur associer) et examinons le problème d’existence des systèmes mixtes relevant de cette conjugaison. En particulier, notre proposition 3 établit que si les préférences sont définies et deux fois continument différentiables sur l’orthant Rn+, il existe un sous-ensemble ouvert non borné de Rn+ sur lequel le numéraire peut être substitué au budget comme variable (exogène) d’un système mixte de demande. Plusieurs contre-exemples montrent que cette propriété n’est en général pas vraie sur tout l’ensemble de définition des préférences (ni même sur un sous-ensemble ouvert dense). Cependant, nos contre-exemples faisant appel à des préférences qui, soit exhibent des saturations, soit ne sont pas définies sur Rn+ tout entier, la question de substituer « ouvert dense » (donc un ensemble dont le complémentaire est de mesure nulle) à « ouvert non borné » dans la proposition 3 reste ouverte.P.A. Samuelson (1960) has pointed out that, in equilibrium systems, n (primal) variables (x1, ..., xn) and n (dual) variables (y1, ..., yn) are pairwise conjugate. If, with each pair of conjugate variables, we select one and only one of the elements of the pair, we get 2n equivalent equilibrium systems. This approach to "mixed equilibrium systems" does not extend mutatis mutandis to consumer theory, where mixed demand is derived through maximization of a mixed utility function (cf. Samuelson, 1965, or Chavas, 1984) or by partially inverting the local demand system (cf. Salvas, Bronsard et Leblanc, 1977). In this paper, we study the existence problem of such mixed demand systems, defined intrinsically, with particular focus on the, yet unexplored, potential conjugacy relation between numeraire and budget constraint. In particular our proposition 3 states that, if preferences are defined and twice continuously differentiable over the strictly positive orthant Rn+, then there exists an open unbounded subset of Rn+, on which the numeraire can be substituted to the budget as exogenous variable of a mixed demand system. We also provide counterexamples, which show this is generally not true over the whole set on which preferences are defined (or even on an open dense subset of it). However, since our counterexamples deal with preferences which either exhibit satiation or are not defined over the whole of Rn+, the question to replace "open unbounded" in proposition 3 by "open dense" (so that the complementary set would be a null set) remains open

Le journalisme au microscope. Digressions bibliographiques

Le développement important de la petite presse à la fin de la monarchie de Juillet et sous le Second Empire s’offre comme un corpus riche de représentations autoscopiques du journalisme. Empruntant aux genres physiologique, biographique, didactique, cette textualité fonctionne à la fois comme connivence avec le lectorat, construction de sa légitimation dans le champ littéraire et mémoire. Est ici proposée une excursion bibliographique parmi ces interventions. Tour à tour satiriques, parodiques ou apologétiques, ces textes travaillés par une forte ironisation sont le symptôme d’une fascination du social pour la presse en même temps qu’ils soulignent les procédures d’appropriation et de détournement de formes littéraires.The vibrant development of the small press at the end of the July Monarchy and during the Second Empire produced a rich corpus of historic journalism’s self-representation awaiting dissection. Drawing upon physiologies, biography, didactic genres, this diverse textuality achieved a certain literary and informational legitimacy by successfully generating a complicit readership. The bibliographic excursion proposed here through these highly ironic texts shows society’s fascination with a press largely characterized by satire, parody and apology, while vying for approval and hijacking literary forms

The Whitney embedding theorem for tropical torsion modules Classification of tropical modules

AbstractWe prove here a tropical version of the well-known Whitney embedding theorem [32] stating that a smooth connected m-dimensional compact differential manifold can be embedded into R2m+1.The tropical version of this theorem states that a tropical torsion module with m generators can always be embedded into the free tropical module R̲p, where p (equals to 2 for m=2, and 3⩽p⩽m(m-1) otherwise) is the number of rows supporting the torsion, when the generators are given by the (independent) columns of a matrix of size n×m.As a corollary, we get that tropical m-dimensional torsion modules are classified by a (m-1)m(m-1)-1-parameter family

Budget et systèmes mixtes de demande

P.A. Samuelson (1960) has pointed out that, in equilibrium systems, n (primal) variables (x1, ..., xn) and n (dual) variables (y1, ..., yn) are pairwise conjugate. If, with each pair of conjugate variables, we select one and only one of the elements of the pair, we get 2n equivalent equilibrium systems. This approach to "mixed equilibrium systems" does not extend mutatis mutandis to consumer theory, where mixed demand is derived through maximization of a mixed utility function (cf. Samuelson, 1965, or Chavas, 1984) or by partially inverting the local demand system (cf. Salvas, Bronsard et Leblanc, 1977). In this paper, we study the existence problem of such mixed demand systems, defined intrinsically, with particular focus on the, yet unexplored, potential conjugacy relation between numeraire and budget constraint. In particular our proposition 3 states that, if preferences are defined and twice continuously differentiable over the strictly positive orthant Rn+, then there exists an open unbounded subset of Rn+, on which the numeraire can be substituted to the budget as exogenous variable of a mixed demand system. We also provide counterexamples, which show this is generally not true over the whole set on which preferences are defined (or even on an open dense subset of it). However, since our counterexamples deal with preferences which either exhibit satiation or are not defined over the whole of Rn+, the question to replace "open unbounded" in proposition 3 by "open dense" (so that the complementary set would be a null set) remains open. Dans le cadre de l’étude des systèmes mixtes introduits par Samuelson (1960), on est amené à établir une relation de conjugaison entre chaque variable primale et une variable duale. On se demande alors si, par exemple dans le cas des systèmes de demande, il existe un système mixte où les k premières variables primales et les n-k dernières variables duales du système peuvent être exprimées en fonction des variables complémentaires. Cependant, pour la contrainte de budget, considérée comme variable duale, la seule variable primale candidate au rôle de variable primale conjuguée est le numéraire.

Generators, extremals and bases of max cones

Max cones are max-algebraic analogs of convex cones. In the present paper we develop a theory of generating sets and extremals of max cones in ${{\mathbb R}}_+^n$. This theory is based on the observation that extremals are minimal elements of max cones under suitable scalings of vectors. We give new proofs of existing results suitably generalizing, restating and refining them. Of these, it is important that any set of generators may be partitioned into the set of extremals and the set of redundant elements. We include results on properties of open and closed cones, on properties of totally dependent sets and on computational bounds for the problem of finding the (essentially unique) basis of a finitely generated cone.Comment: 15 pages, 1 figure; v2: new layout, several new references, renumbering of result