The Implementation of Spectral Element Method in a CAE System for the Solution of Elasticity Problems on Hybrid Curvilinear Meshes

Modern high-performance computing systems allow us to explore and implement new technologies and mathematical modeling algorithms into industrial software systems of engineering analysis. For a long time the finite element method (FEM) was considered as the basic approach to mathematical simulation of elasticity theory problems; it provided the problems solution within an engineering error. However, modern high-tech equipment allows us to implement design solutions with a high enough accuracy, which requires more sophisticated approaches within the mathematical simulation of elasticity problems in industrial packages of engineering analysis. One of such approaches is the spectral element method (SEM). The implementation of SEM in a CAE system for the solution of elasticity problems is considered. An important feature of the proposed variant of SEM implementation is a support of hybrid curvilinear meshes. The main advantages of SEM over the FEM are discussed. The shape functions for different classes of spectral elements are written. Some results of computations are given for model problems that have analytical solutions. The results show the better accuracy of SEM in comparison with FEM for the same meshes

Numerical Estimation of Effective Mechanical Properties for Reinforced Plexiglas in the Two-Dimensional Case

The paper describes an algorithm for numerical estimation of effective mechanical properties in two-dimensional case, considering finite strains. The algorithm is based on consecutive application of different boundary conditions to representative surface elements (RSEs) in terms of displacements, solution of elastic boundary value problem for each case, and averaging the stress field obtained. Effective properties are estimated as a quadratic dependence of the second Piola-Kirchhoff stress tensor upon the Green strain tensor. The results of numerical estimation of effective mechanical properties of plexiglas, reinforced with steel wire, are presented at finite strains. Numerical calculations were performed with the help of CAE Fidesys using the finite element method. The dependence of the effective properties of reinforced plexiglas upon the concentration of wires and the shape of wire cross section is investigated. In particular, it was found that the aspect ratio of reinforcing wire cross section has the most significant impact on effective moduli characterizing the material properties in the direction of larger side of the cross section. The obtained results allow one to estimate the influence of nonlinear effects upon the mechanical properties of the composite

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ТЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЧАСТЕЙ

Large strains of composite solids made of incompressible isotropic nonlinear-elastic materials are analyzed for the case in  which the parts of these solids are preliminarily strained. The  approaches to exact analytical solutions of these problems are given  and developed in cooperation with V.An. Levin. He is a professor at  the Lomonosov Moscow University. The solution of these problems is  useful for stress analysis in members containing preliminarily stressed parts. The results can be used for the verification of industrial software for numerical modeling of additive  technologies. The problems are formulated using the theory of  repeated superposition of large strains. Within the framework of this  theory these problems can be formulated as follows. Parts of a  member, which are initially separated from one another, are subjected to initial strain and passes to the intermediate state. Then  these parts are joined with one another. The joint is performed by  some surfaces that are common for each pair of connected parts.  Then  the body, which is composed of some parts, is strained as a  whole due to additional loading. The body passes to the final state.  It is assumed that the ideal contact conditions are satisfied over the  joint surfaces. In other words, the displacement vector in the joined  parts is continuous over these surfaces. The exact solutions for  isotropic incompressible materials are obtained using known  universal solutions and can be considered as generalizations of these solutions for superimposed large strains. The following problems are considered in detail:— the problem of stress and strain state in two hollow circular elastic cylinders (tubes) one of which is preliminarily strained and inserted into another cylinder (the Lam´e-Gadolin problem);— the problem of torsion of a composite cylinder;— the problem of large bending strains of a composite beam consisting of some preliminarily strained parts (layers). The  mathematical statements of these problems are given, the methods  of solution are presented, and some results of solution are shown.  The impact of preliminary strains on the state of stresses and strains is investigated, and nonlinear effects are analyzed.В статье приведены и развиты разработанные совместно с профессором МГУ им. М.В.  Ломоносова В.Ан. Левиным подходы к точному аналитическому решению задач о больших  деформациях составных изделий (тел) из несжимаемых изотропных нелинейно-упругих  материалов, части которых предварительно деформированы. Решение этих задач  представляет интерес при анализе напряжений в элементах конструкций, изготавливаемых  из предварительно нагруженных частей. Результаты могут быть использованы для  тестирования промышленного программного обеспечения, предназначенного для  численного моделирования аддитивных технологий. Постановка задач осуществляется на  основе теории наложения больших деформаций и в рамках этой теории может быть  сформулирована следующим образом. Части изделия, первоначально не связанные между  собой, подвергаются начальному деформированию и переходят в промежуточное состояние. Затем эти части соединяются между собой. Соединение происходит по некоторым поверхностям, общим для каждой пары соединяемых частей. Далее тело, составленное из нескольких частей, деформируется как единое целое под действием приложенной к нему  дополнительной нагрузки и переходит в конечное состояние. Предполагается, что на  поверхностях, по которым соединены части тела, выполняются условия идеального  контакта, т.е. векторы перемещений в соединяемых частях изделия на этих поверхностях  совпадают. Точные решения для изотропных несжимаемых материалов найдены с  использованием известных универсальных решений и могут быть рассмотрены как  обобщение этих решений на случай наложения больших деформаций. В статье детально  рассмотрены следующие задачи:— задача о напряженно-деформированном состоянии в  двух полых круговых упругих цилиндрах (трубах), один из которых был предварительно  деформирован и вставлен в другой цилиндр (задача Ламе-Гадолина);— задача о кручении  составного цилиндра;— задача о больших деформациях изгиба составного бруса, состоящего из нескольких предварительно деформированных частей (слоев). Приведены  математические постановки этих задач, методы и некоторые результаты их решения.  Исследовано влияние предварительных деформаций на напряженно-деформированное  состояние, анализируются нелинейные эффекты

Динамические эффекты в решетчатых структурах, изготовленных с помощью аддитивных технологий

The influence of lattice structures on the propagation of elastic waves in these structures is analyzed. The statement of problem is formulated within the framework of linear elasticity under small strains. To solve this problem, the finite element method and the Fidesys CAEsystem were used. Different variants of plane lattice structures are modeled: the classical lattice and the lattice with uniformly curved strips across the plane: elevator and star-shaped lattices. The relation between the structure of lattice structures and the propagation of perturbations in these structures is analyzed. The dependence of wave velocity in curved lattice structures on the frequency of the emitted waves is analyzed. The applied conceptual model of the device for measuring the frequency of waves is developed.В статье исследовано влияние структуры решетчатых конструкций на распространение упругих волн в них. Постановка задачи сформулирована в рамках линейной теории упругости при малых деформациях. Для решения задачи использован метод конечных элементов, реализованный в пакете прочностного анализа Fidesys. Смоделированы различные варианты плоских решетчатых структур: классическая решетка с прямолинейными прутьями и решетки с равномерно изогнутыми прутьями: лифтовая и звёздчато-круговая решетки. Исследована зависимость между структурой решетчатых конструкций и распространением возмущений в них. Выполнен анализ зависимости скорости распространения волн в изогнутых решетчатых конструкциях от частоты. Предложена прикладная концептуальная модель прибора, измеряющего частоты волн

О численной оценке эффективных характеристик периодических ячеистых структур с использованием балочных и оболочечных конечных элементов с помощью CAE Fidesys

The development of additive technologies (3D printing) made it possible to manufactureparts and products of a regular porous and cellular structure (in order to reduce the weight ofthe structure). In this case, the characteristic cell size is much smaller than the scale of the wholeproduct. Numerical strength and related calculations of such structures require a preliminaryestimation of the effective properties of such a cellular structure. In this article, a method for thenumerical estimation of the effective elastic properties of regular cellular structures is presented,which is based on the numerical solution of boundary value problems of the theory of elasticityon a periodicity cell. Periodic boundary conditions in the form of restraints on the displacementsof opposite edges of the cell are successively applied to the cell. The boundary value problem ofthe theory of elasticity is solved for each type of boundary conditions, and the resulting stressfield is averaged over the volume. The effective properties of the cellular material are estimatedas a generalized Hooke’s law.Composite materials based on a rigid lattice skeleton filled with softer material are consideredin the paper. The calculations are carried out using the finite element method with the domesticFidesys CAE system. Beam finite elements are used in some calculations for the modeling of alattice skeleton. In some other calculations, a thin layer of a binder between the skeleton andthe matrix is taken into account. This layer is modeled using shell finite elements.Graphs of comparing the results of calculations of composite materials with a lattice skeletonmodeled by beam elements and the results of similar calculations in which the skeleton ismodeled by three-dimensional finite elements are given in the article. In addition, graphs ofcomparing the results of calculations in which the binder layer is modeled by shell elements andthe results of similar calculations in which the binder is modeled by three-dimensional elementsare given. The graphs show that with sufficiently thin framework elements (or with a sufficientlythin layer of the binder), the results are quite close. It confirms the applicability of beam andshell elements for the numerical solution of such problems.Развитие аддитивных технологий (3D-печати) сделало возможным изготовление деталей и изделий регулярной пористой и ячеистой структуры (с целью облегчения конструкции). При этом характерный размер ячейки намного меньше масштаба целого изделия. Численные прочностные и смежные с ними расчёты подобных конструкций требуют предварительной оценки эффективных характеристик такой ячеистой структуры. В данной статье представлена методика численной оценки эффективных упругих характеристик регулярных ячеистых структур, основанная на численном решении краевых задач теории упругости на ячейке периодичности. К ячейке последовательно прикладываются различные периодические граничные условия в виде связей, наложенных на перемещения противоположных граней ячейки. Для каждого вида граничных условий решается краевая задача теории упругости, полученное в результате решения которой поле напряжений осредняется по объёму. Эффективные свойства ячеистого материала оцениваются в виде обобщённого закона Гука.В работе рассматриваются композиционные материалы на основе жёсткого решётчатого каркаса, заполненного более мягким материалом. Расчёты проводятся методом конечных элементов с помощью отечественной CAE-системы «Фидесис». При этом в ряде расчётов для моделирования решётчатого каркаса используются конечные элементы балочного типа. В некоторых расчётах, помимо каркаса и матрицы, учитывается наличие тонкого слоя связующего между ними. Этот слой моделируется при помощи конечных элементов оболочечного типа.Приводятся графики сравнения результатов расчётов композиционных материалов с решётчатым каркасом с моделированием каркаса балочными элементами и результатов аналогичных расчётов, в которых каркас моделируется трёхмерными конечными элементами. Также приводятся графики сравнения результатов расчётов, в которых слой связующего моделируется оболочечными элементами, с результатами аналогичных расчётов, в которых связующее моделируется трёхмерными элементами. Графики показывают, что при достаточно тонких элементах каркаса (либо при достаточно тонком слое связующего) результаты получаются довольно близкими, что подтверждает применимость балочных и оболочечных элементов для численного решения таких задач