K-theory for C*-algebras : the hexagonal exact sequence

Aquest treball té com a objectiu introduir el lector a la teoria K per C∗-àlgebres demostrant-ne dos dels seus resultats centrals coneguts: La periodicitat de Bott i la successió exacta cíclica de sis termes. Aquests dos resultats constitueixen una eina essencial de cara al càlcul explícit dels K-grups d'una C∗-àlgebra, i han estat utilitzats amb èxit en l'estudi de diverses famílies. De cara a enunciar-los, ens desviem lleugerament de la literatura estàndard i introduï la notació K', que permet simplificar els resultats i definicions necessàries per entendre les seves demostracions.The aim of this work is to introduce the reader to C*-algebraic K-theory whilst proving two of its main known results: Bott periodicity and the hexagonal exact sequence. These constitute a determinant tool for the explicit computation of the K-groups of a C*-algebra, and have been used succesfully to study a variety of families. In order to state them, we deviate slightly from the standard literature and introduce the notation K', which allows us to simplify the results and denitions needed to understand their proofs

Teoria K per C*-àlgebres

Aquest treball té com a objectiu introduir el lector a la teoria K per C*-àlgebres demostrant-ne dos dels seus resultats centrals: La periodicitat de Bott i la subsegüent successió exacta cíclica de sis termes.De manera similar a la teoria K algebraica, a la teoria K per C*-àlgebres es construeix una família de functors Kn de la categoria de C*-àlgebres a la de grups abelians. Aquests functors, que assignen a cada C*-àlgebra A una família de grups abelians Kn(A), permeten deduir propietats estructurals de l'àlgebra. Per construir-los, cal destacar que l'enfoc que es dóna difereix lleugerament de l'original, fet que permet fer més concisa l'exposició. A l'hora de calcular els K-grups, la periodicitat de Bott permet reduir-nos a calcular només els grups K0 i K1. D'altra banda, la successió exacta cíclia de sis termes és una eina molt útil per calcular K0 i K1 de l'àlgebra en termes dels corresponents grups d'un ideal i del seu quocient respectiu

K-theory for C*-algebras: The hexagonal exact sequence

The aim of this work is to introduce the reader to C*-algebraic K-theory whilst proving two of its main known results: Bott periodicity and the hexagonal exact sequence. These constitute a determinant tool for the explicit computation of the K-groups of a C*-algebra, and have been used succesfully to study a variety of families. In order to state them, we deviate slightly from the standard literature and introduce the notation K', which allows us to simplify the results and denitions needed to understand their proofs.Keywords: Operator Algebras, Non-commutative Topology, K-Theory.MSC (2010): 46L05, 46L35, 46L80, 46L85

The range problem and dimension theory for the Cuntz semigroup

En aquesta tesi s'estudien diversos aspectes del semigrup de Cuntz associat a una C*-àlgebra, així com els anomenats semigrups de Cuntz abstractes. En particular, analitzem el problema del rang per la classe d'àlgebres AI separables, obtenint una caracterització completa. També s'introdueix una noció de dimensió per semigrups de Cuntz abstractes, que en el cas de funcions contínues sobre un espai topològic coincideix amb la dimensió usual de Lebesgue. Aquesta dimensió també es relaciona amb la dimensió nuclear d'una C*-àlgebra, i es prova que ambdues coincideixen en casos significatius. Es para especial atenció al cas zero dimensional, on es pot donar una caracterització d'aquests semigrups en termes de condicions de densitat d'uns elements privilegiats. Finalment, s'introdueix la noció de C*-àlgebres rarament disperses, i es prova que és una classe molt àmplia, incloent totes les àlgebres simples de dimensió infinita. Es donen diverses caracteritzacions d'aquest concepte, incloent una descripció en termes de propietats de divisibilitat del semigrup de Cuntz. Aquesta noció està íntimament lligada a l'anomenat Problema Global de Glimm, que també s'analitza a la tesi, donant-ne una reformulació mitjançant condicions del semigrup de Cuntz.En esta tesis se estudian varios aspectos del semigrupo de Cuntz asociado a una C*-álgebra, así como los llamados semigrupos de Cuntz abstractos. En particular, analizamos el problema del rango para la clase de álgebras AI separables, obteniendo una caracterización completa. También se introduce una noción de dimensión por semigrupos de Cuntz abstractos, que en el caso de funciones contínuas sobre un espacio topológico coincide con la dimensión usual de Lebesgue. Esta dimensión también se relaciona con la dimensión nuclear de una C*-álgebra, y se prueba que ambas coinciden en casos significativos. Se presta especial atención al caso cero dimensional, donde puede darse una caracterización de estos semigrupos en términos de condiciones de densidad de unos elementos privilegiados. Por último, se introduce la noción de C*-álgebras raramente dispersas, y se prueba que es una clase muy amplia, incluyendo todas las álgebras simples de dimensión infinita. Se dan diversas caracterizaciones de este concepto, incluyendo una descripción en términos de propiedades de divisibilidad del semigrupo de Cuntz. Esta noción está íntimamente ligada al llamado Problema Global de Glimm, que también se analiza en la tesis, dando una reformulación mediante condiciones del semigrupo de Cuntz.In this thesis various aspects of the Cuntz semigroup associated with a C*-algebra are studied, as well as the so-called abstract Cuntz semigroups. In particular, we analyze the rank problem by the class of separable AI algebras, obtaining a complete characterization. A notion of dimension for abstract Cuntz semigroups is also introduced, which in the case of continuous functions on a topological space coincides with the usual Lebesgue dimension. This dimension is also related to the nuclear dimension of a C*-algebra, and it is proved that both coincide in significant cases. Special attention is paid to the zero dimensional case, where a characterization of these semigroups can be given in terms of density conditions of some privileged elements. Finally, the notion of nowhere scattered C*-algebras is introduced, and it is shown that it is a very broad class, including all infinite-dimensional simple algebras. Various characterizations of this concept are given, including a description in terms of divisibility properties of the Cuntz semigroup. This notion is intimately linked to the so-called Global Glimm Problem, which is also analyzed in the thesis, giving a reformulation through conditions of the Cuntz semigroup.Universitat Autònoma de Barcelona. Programa de Doctorat en Matemàtique

Infective Endocarditis After Transcatheter Versus Surgical Aortic Valve Replacement

Abstract Background Scarce data are available comparing infective endocarditis (IE) following surgical aortic valve replacement (SAVR) and transcatheter aortic valve replacement (TAVR). This study aimed to compare the clinical presentation, microbiological profile, management, and outcomes of IE after SAVR versus TAVR. Methods Data were collected from the “Infectious Endocarditis after TAVR International” (enrollment from 2005 to 2020) and the “International Collaboration on Endocarditis” (enrollment from 2000 to 2012) registries. Only patients with an IE affecting the aortic valve prosthesis were included. A 1:1 paired matching approach was used to compare patients with TAVR and SAVR. Results A total of 1688 patients were included. Of them, 602 (35.7%) had a surgical bioprosthesis (SB), 666 (39.5%) a mechanical prosthesis, 70 (4.2%) a homograft, and 350 (20.7%) a transcatheter heart valve. In the SAVR versus TAVR matched population, the rate of new moderate or severe aortic regurgitation was higher in the SB group (43.4% vs 13.5%; P < .001), and fewer vegetations were diagnosed in the SB group (62.5% vs 82%; P < .001). Patients with an SB had a higher rate of perivalvular extension (47.9% vs 27%; P < .001) and Staphylococcus aureus was less common in this group (13.4% vs 22%; P = .033). Despite a higher rate of surgery in patients with SB (44.4% vs 27.3%; P < .001), 1-year mortality was similar (SB: 46.5%; TAVR: 44.8%; log-rank P = .697). Conclusions Clinical presentation, type of causative microorganism, and treatment differed between patients with an IE located on SB compared with TAVR. Despite these differences, both groups exhibited high and similar mortality at 1-year follow-up